Закон сохранения механической энергии. Абсолютно упругий удар.

 

1. Механическая система называется консервативной, если все действующие на нее внешние и внутренние непотенциальные силы не совершают работы (δА^нис ≡ 0), а все внешние потенциальные силы стационарны. Потенциальная энергия консервативной системы может изменяться только при изменении конфигурации системы. Следовате­льно, частная производная по времени от потенциальной энергии консервативной системы, характеризующая быстроту изменения этой энергии с течением времени при условии постоянства конфигурации системы, тождественно равна нулю:

Поэтому из (3.37) видно, что механическая энергия консервативной системы не изменяется с течением времени.

Этот закон называется законом сохранения механической энергии. В частности, он справедлив для замкнутых консервативных систем: механическая энергия замкнутой системы не изменяется, если все внутренние силы потенциальны либо не совершают работы. Например, силы трения покоя и гироскопические силы работы не совершают. Поэтому действие таких сил на систему не вызывает изменения ее механической энергии.

2. Рассмотрим применение закона сохранения механической энергии к расчету абсолютно упругого прямого центрального удара двух тел. Абсолютно упругим ударом называется такой удар, при котором механическая энергия соударяющихся тел не преобразуется в другие виды энергии.

Рис 5.2

Пусть два абсолютно упругих шара массами m₁ и m₂ движутся до удара поступательно со скоростями V₁ и V₂, направленными вдоль оси ОХ, проходящей через центры шаров (на рис. 5.2, а .скорости V₁ и V₂ направлены в одну сторону, причем V_1x> V_2x>0).

Нужно найти скорости u₁ и u₂ шаров после соударения (рис. 5.2, б).

В процессе удара систему соударяющихся упругих тел можно считать замкнутой и консервативной. Следовательно, для решения этой задачи можно воспользоваться законами сохранения механической энергии и импульса. Перед ударом и после его завершения соударяющиеся тела не деформированы, так что потенциальную энергию системы в этих двух состояниях можно считать одинаковой и равной нулю. Тогда из закона сохранения механической энергии имеем

 

(5.4)

По закону сохранения импульса,

(5.5)

Так как все скорости V₁, V₂, u₁ и u₂ направлены по оси ОХ, то из (5.5) следует, что

(5.6)

где V_1x, V_2x, u_1x и u_2x - проекции векторов V₁, V₂, u₁ и u₂ на линию удара — ось ОХ. Так как , , , то из (5-4) и (5.6) имеем

(5.7)

(5.8)

Совместное решение уравнений (5.7) и (5.8) дает

(5.8')

Из (5.8) и (5.8') окончательно получаем

(5.9)

Рассмотрим два частных случая.

1. Массы шаров одинаковы (m₁=m₂=m). Тогда

т. е. при ударе шары обмениваются скоростями.

2. Масса второго шара во много раз больше массы первого шара (m₂>>m₁). Тогда

Если при этом второй шар первоначально покоился (V₂=0), то

т. е. первый шар отскакивает от неподвижного массивного шара и движется в обратную сторону со скоростью u₁ = — v₁.

3. В случае косого центрального удара двух абсолютно упругих тел (например, шаров) удобно рассматривать две составляющие скорости каждого из тел до и после удара: нормальную (направленную вдоль линии удара) и касательную (направленную перпендикулярно линии удара). Если соударяющиеся тела гладкие, то можно пренебречь действием сил трения между ними во время удара. Соответственно при ударе не изменяются касательные составляющие скоростей тел:

(5.10)

Нормальные составляющие изменяются так же, как при прямом ударе:

В частности, при абсолютно упругом косом ударе гладкого шара о неподвижную плоскую стенку (m₂>>m₁, u₂=V₂=0)

т. е. шар отскакивает от стенки по закону зеркального отражения: угол отражения равен углу падения. Числовое значение скорости сохраняется (и\ —vi). Вектор изменения импульса Ар] шара при ударе направлен перпендикулярно стенке и равен

Соответственно импульс ударной силы, действующей на стенку, равен 2m₁V_1n.

 

Лекция№8.

Тема: Механика твердого тела.

Вопросы:

1) Момент импульса частицы относительно точки и оси.

2)Момент силы. Пара сил.

3) Уравнение моментов.

4) Момент импульса системы.

5)Закон сохранения момента импульса.

6)Момент импульса тела относительно неподвижной оси.

7)Момент инерции. Теорема Штейнера.

8) Уравнение динамики твердого тела вращающегося относительно неподвижной оси.

9)Плоское движение твердого тела. Уравнение динамики для этого движения. Кинетическая энергия.

10)Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.

11) Работа внешних сил при вращении твердого тела.

12)Гироскопа. Гироскопический эффект. Прецессия гироскопа.

Момент силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу (см. рис. 1).

.

Здесь - псевдовектор, его направление совпадет с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .