Векторы и скаляры - раздел Физика, КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ Величины, Для Задания Которых Достаточно Одного Числового Значения, Называютс...
Величины, для задания которых достаточно одного числового значения, называются скалярными. Примерами скаляров могут служить путь, масса, время и т. д.
Величины, для задания которых необходимы числовое значение и направление, называют векторами. Примерами векторов являются, например, перемещение, скорость, ускорение, сила и т. д. Векторы принято обозначать буквами со стрелкой (,.,). При отсутствии стрелки та же буква означает числовое значение или модульсоответствующего вектора. Таким образом, модуль вектора .
Модуль вектора – скаляр, причем всегда положительный. Показанная на рис. П. 1а операция сложения векторов символически записывается следующим образом:
. (П.1)
Рис. П.1.
В результате умножения вектора на скаляр а получается новый вектор, модулькоторого в а раз больше вектора , а направление совпадает с направлением вектора , если скаляр положителен, и противоположно ему, если скаляр отрицателен.
Скалярное произведение двух векторов и – это скалярная величина, равная произведению модулей векторов и , умноженному на косинус угла между ними:
, (П.2)
где в формулу введена проекция вектора на направление вектора (bа= bcosα) (рис. П.1б).
Векторное произведение векторов и – это вектор , равный по модулю произведению модулей векторов и на синус угла α между ними (рис. П.1в).
, c= absinα, (П.3)
Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , его направление можно найти, например, по правилу правого буравчика – вращательное движение буравчика должно совпадать с направлением кратчайшего поворота от к , тогда его поступательное движение дает направление .
2. Градиент скалярной величиныa. Пусть в пространстве каким-либо образом распределена скалярная величина а– это может быть поле температуры (а= Т), потенциальной энергии (а= U) и т. д. Такое поле можно охарактеризовать градиентом а. Под градиентом скалярной величины понимают вектор, который в каждой точке пространства направлен в сторону наиболее быстрого возрастания аи численно равный приращению величины а на единицу длины этого направления.
(П.4)
где - направление gradaв данной точке пространства; векторы - векторы единичной длины, указывающие направление осей Ох, Оу, Оzв пространстве (рис. П2). Они позволяют представить произвольный вектор в виде суммы его проекций на оси (рис. П2):
Рис. П.2.
(П.5)
При вычислении производной величины а по координате х в формуле (П.4) считается, что координаты yи zостаются постоянными – такая производная называется частной производной по координате х:
Аналогичные предположения принимаются при расчете частных производных по координатам yи z.
3. Циркуляция и поток вектора.
Рис. П.3.
Возьмем в неоднородном поле воображаемый замкнутый контур Г, укажем произвольно направление его обхода и введем вектор , равный по модулю элементарной длине dlконтура. В каждой точке вектор совпадает с касательной к контуру и направлен по обходу контура (рис. П.3а).
Тогда циркуляцией векторапо произвольному замкнутому контуру Гназывают интеграл следующего вида:
(П.6)
Можно утверждать, что если для поля вектора циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру Гравна нулю, то это поле является потенциальным (например, электростатическое поле вектора ). Если же циркуляция по произвольному замкнутому контуру Готлична от нуля, то поле вектора не является потенциальным, его называют вихревым полем.
Введем понятие потока Ф вектора.Возьмем в неоднородном поле вектора произвольную поверхность S, выделим на ней элементарную площадку dSи введем вектор , направленный вдоль вектора нормали к площадке (рис. П.3б). Модуль равен площади dSэлементарной площадки.
Тогда элементарным потоком dФ векторачерезплощадку dSназывают величину
Суммируя потоки dФ через все площадки dSповерхности S, найдем поток вектора через поверхность S:
(П.7)
Если учесть, что густота вектораопределяет модуль вектора в данной точке поля, то тогда поток вектора численно равен количеству Nлиний , пронизывающих поверхность S.
4. Дивергенция и ротор вектора.Для решения практических задач необходимо применять математический аппарат, позволяющий учитывать тип векторных полей не только в большом объеме пространства, но и в малой окрестности какой-либо точки. Для этого вводятся понятия дивергенции ()и ротора ()вектора .
Возьмем объем поля V, ограниченного замкнутой поверхностью S, и будем стягиватьповерхность в малую окрестность точки А(рис. П.4а)
Тогда дивергенцией вектора называют предел
(П.8)
Дивергенция характеризует наличие источников первого типа в малой окрестности точки А, например, электрических зарядов (рис. П.5а):
(П.9)
где ρ– плотность заряда.
В математике для можно записать следующее выражение:
(П.10)
Рис. П.4.
Введем понятие ротора вектора. Возьмем замкнутый контур Г, ограничивающий поверхность S, и будем стягивать контур в малую окрестность точки А (рис. П.4б). Тогда ротором вектора называют предел
(П.11)
Ротор (вихрь), например,характеризует наличие источников полей второго типа в малой окрестности точки А.
(П.12)
гдеj– плотность электрического тока.
В математике для можно записать следующее выражение:
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования... Ульяновский государственный технический университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Векторы и скаляры
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ПО ФИЗИКЕ
Часть 1. Механика. Электричество и магнетизм. Колебания
Методические указания для студентов дневной формы обучения машиностроительного факультета
С
Кинематика вращательного движения
Пусть м. т. движется со скоростью по окружности радиуса rвокруг неподвижной оси вращения (рис.1.4а). Положение точки на окружн
Динамика движения материальной точки. Законы Ньютона
Динамика изучает движение тел в связи с теми причинами (взаимодействиями между телами), которые обуславливают тот или иной характер движения. Механическое взаимодействие тела с другими телами описы
Сила тяготения, сила тяжести, вес тела
Ньютон установил закон всемирного тяготения – материальные точки притягиваются друг друга с силой F пропорциональной их массам m1 и m2
Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции
Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, которые движутся ускоренно относительно инерциальных систем, называют неинерциальными.Внеинерциа
Центр масс. Закон сохранения импульса
Под центром масс системы тел понимают точку в пространстве, положение которой относительно какой-либо ИСО определяется радиус-вектором
Кинетическая энергия. Работа. Мощность
Рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной частицы, на которую действует сила . Напишем уравнение движения этой частицы:
Потенциальная энергия
Потенциальной энергией можно характеризовать систему тел только в том случае, если между телами этой системы взаимодействие осуществляется посредством консервативных сил. Силы называют консервативн
Силы трения. Статическое и кинематическое трение
Всякое движущееся тело встречает сопротивление своему движению со стороны окружающей его среды и других тел, с которыми оно соприкасается. На любое движущееся тело действуют силы трения
Статическое трение
Рис. 3.4
Если к телу, лежащему на горизонтальной плоскости (рис. 3.4), приложит
Кинематическое трение
Закон Амонтона – Кулона для трения скольжения можно выразить формулой:
Fск=f'N, (3.12)
гдеf' – коэффициент трения скольжения, а
Условие неразрывности потока жидкости
Течение жидкости принято изображать с помощью линий тока – это линии, в каждой точке которых векторы скоростей частиц жидкости направлены по
Уравнение Бернулли
Рассмотрим течение идеальной несжимаемой жидкости по трубке тока. Под действием сил давления действующих внутри жидкостей, большой объем
Сила внутреннего трения
Идеальная жидкость, т. е. жидкость без трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуща вязкость или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том
Ламинарное и турбулентное течение
Наблюдается два вида течения жидкости (или газа). В одних случаях жидкость как бы разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. Такое течение называют лам
Следствия из преобразований Лоренца
Одновременность событий в разных системах отсчета.Пусть в системе К в точках с координатами х1 и х2 происходят одновременно два события в момент
Релятивистский закон сложения скоростей.
Пусть вдоль совпадающих осей Ох и О'х' систем отсчета К и К' в их положительном направлении с постоянной скоростью движется тело. Проекция вектора скорости тела на
Релятивистские выражения массы и импульса тела
Уравнения Ньютона инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея. Однако по отношению к преобразованиям Лоренца они оказываются не инва
Релятивистское выражение для энергии
Найдем выражение для кинетической энергии материальной точки в релятивистской механике. Приращение dTкинетической энергии материальной точки при элементарном перемещении
Электрические заряды. Закон Кулона
В природе существует два рода электрических зарядов – положительные и отрицательные. На основании ряда опытов было выявлено, что электрический заряд любого тела состоит из целого числа элементарных
Потенциальная энергия. Потенциал. Работа сил электрического поля
Взаимодействие между неподвижными зарядами осуществляется посредством электростатического поля: взаимодействуют не заряды, а один заряд в месте своего расположения взаимодействует с полем, созданны
Напряженность поля. Принцип суперпозиции полей
Количественной характеристикой силового действия электрического поля на заряженные частицы и тела служит векторная величина , называемая нап
Электрическое поле в диэлектрике
К диэлектрикам относятся вещества в которых нет свободных зарядов или их число настолько мало, что они не оказывают существенного влияния на их характеристики. Известно, что по срав
Поле заряженного проводника
К проводникам относятся вещества, проводящие электрический ток; в них имеются свободные заряды, которые способны перемещаться по проводнику под действием электрического поля. В металлических провод
Электроемкость конденсатора
Рассмотрим уединенный проводник, в окружающем пространстве которого нет других тел. Из формул электростатики следует, что заряд проводника qи его потенциал φ (он в условиях равновесия одинаков
Энергия электрического поля
Выведем формулу для энергии заряженного проводника. Рассмотрим работу внешних сил по увеличению заряда проводника от q1 = 0 до q2. Для этого будем малыми порциям
Правила Кирхгофа
Эти правила используются для расчета разветвленных цепей.
Для формулировки первого правила Кирхгофа введем понятие узла электрической цепи – это точка цепи, в которой сход
Сила Лоренца. Закон Ампера
На заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила, которую мы будем называть магнитной. Эта сила определяется зарядом q, скоростью его движения и магнитной индукцией
Магнитное поле в веществе
Все вещества являются магнетиками – при помещении их во внешнее магнитное поле они создают свое магнитное поле
Опыты Фарадея. Явление электромагнитной индукции
После десяти лет упорной работы Фарадею удалось показать, что не только электрический ток создает в окружающем пространстве магнитное поле, но и магнитное поле способно порождать в замкнутом провод
Токи Фуко
Токи Фуко – это индукционные токи, возникающие в массивных проводниках. Для таких проводников сопротивление Rбудет мало, и по этому индукционные токи (Ii = εi/R) д
Второе уравнение Максвелла в интегральной форма. Ток смещения
Основная идея теории Максвелла заключается во взаимосвязи электрических и магнитных полей: если переменное магнитное поле порождает в окружающем пространстве электрическое поле, то, в свою очередь,
Уравнения Максвелла
В основе теории Максвелла, позволяющей описать электрические и магнитные явления в любой среде, лежат записанные ниже уравнения.
1.
Гармонические колебания
К колебательным движениям относят такие движения, которые характеризуются той или иной степенью повторяемости во времени описывающих их величин. С колебаниями мы встречаемся при изучении самых разл
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Допустим, что м. т. может совершать колебания как вдоль оси х, так и вдоль перпендикулярной к ней оси у. Если возбудить оба колебания, м. т. будет двигаться по некоторой, вообще говоря, криволинейн
Затухающие колебания
Затухающие колебания наблюдаются в замкнутой механической системе (Fвнеш = 0), в которой имеются потери энергии на преодоление сил сопротивления, или в закрытом колебательном конт
Вынужденные колебания
Под вынужденными колебаниями понимают колебания, происходящие в системе в результате внешнего воздействия (внешней силы или внешнего напряжения), изменяющегося со временем по гармоническому закону.
Мощность в цепи переменного тока
Найдем мощность, выделяемую в цепи переменного тока. Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
,
.
,
). При отсутствии стрелки та же буква означает числовое значение или модульсоответствующего вектора. Таким образом, 
модуль вектора 
.
. (П.1)
, а направление совпадает с направлением вектора 
и 
– это скалярная величина, равная произведению модулей векторов 
, (П.2)
на направление вектора 
, равный по модулю произведению модулей векторов 
, c= absinα, (П.3)
перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы 
(П.4)
где 
- направление gradaв данной точке пространства; векторы 
- векторы единичной длины, указывающие направление осей Ох, Оу, Оzв пространстве (рис. П2). Они позволяют представить произвольный вектор 
(П.5)
, равный по модулю элементарной длине dlконтура. В каждой точке вектор 
(П.6)
). Если же циркуляция 
, направленный вдоль вектора нормали 
к площадке (рис. П.3б). Модуль 
(П.7)
)и ротора (
)вектора 
(П.8)
(П.9)
(П.10)
(П.11)
,характеризует наличие источников полей второго типа в малой окрестности точки А.
(П.12)
(П.13)
Новости и инфо для студентов