Спектры атома водорода по теории Бора

В атоме водорода вокруг ядра, несущего один электрический заряд е, движется один электрон. Ядро можно считать неподвижным, поскольку его масс в 1840 раз больше массы электрона; орбиты электрона можно в первом приближении полагать круговыми.

Определим полную энергию W электрона в атоме. Она слагается из кинетической энергии W_к поступательного движения электрона по орбите и потенциальной энергии W_п взаимодействия электрона с ядром.

Так как центростремительной силой, удерживающей электрон на орбите радиуса r, является кулоновская сила притяжения между электроном и ядром,

 

(8.1)

 

выражение кинетической энергии запишем в виде

 

(8.2)

 

Что касается потенциальной энергии электрона, то она должна быть отрицательна и равна

(8.3)

 

Поэтому (8.4)

 

Т.е. полная энергия электрона в атоме оказывается отрицательной и равной по абсолютному значению ее кинетической энергии.

Решая совместно уравнение (8.1) и (7.4) (), получим после простых преобразований выражение радиуса стационарных орбит атома водорода:

 

(8.5)

 

По формуле (8.5) можно рассчитать радиус любой стационарной орбиты атома водорода. Так, например, радиус ближайшей к ядру орбиты r₁ ≈ 0,53 ∙ 10^{-10 м.}

Подставляя в формулу (8.4) выражение радиуса (8.5), получим

 

(8.6)

По этой формуле можно рассчитать энергию электрона для любого стационарного состояния. Так, например, для состояния с n= 1 W₁≈ 21,68 ∙ 10^{- 19} Дж = - 13, 55 эВ.

	Рис. 8.1

 

 

В состоянии с n= 1 атом может находиться сколь угодно долго без воздействия извне. Это состояние называют основным состоянием.Все другие состояния атома (n > 1) - возбужденные. Для перевода атома из основного состояния в возбужденное состояние необходимо затратить энергию извне, т. е. возбудить атом.

Из формулы (8.6) следует, что энергетический спектр электрона в атоме водорода является дискретным и сходящимся (рис. 8.1а). Энергия электрона на стационарном уровне со значением главного квантового числа n, равного ∞, равна нулю (W_∞= 0). Электрон, обладающий положительным значением энергии, покидает ядро, происходит ионизация атома.

В возбужденном состоянии атом может находиться ограниченное время. Из возбужденного состояния атом самопроизвольно переходит в состояние с меньшей энергией, излучая квант энергии с частотой

(8.7)

где -энергия уровней, между которыми осуществляется переход, R= 3,29 ∙ 10¹⁵ с^-1 – постоянная Ридберга (в спектроскопических исследованиях используют значение R^'= R/c= 1,097 ∙ 10⁷ м^-1).

Спектр излучения атома водорода можно разбить на ряд групп (серий) спектральных переходов (рис. 8.1а и б). Совокупность переходов на состояния с энергией W_{n= 1}, образуют серию Лаймана. Для этой серии

 

Если n_к= 2, то возникает серия Бальмера:

 

Если n_к= 3, то возникает серия Пашена:

 

Учитывая, что длина волны спектрального перехода λ= с/v, нетрудно убедится, что серия Лаймана находится в ультрафиолетовой области спектра, линии серии Бальмера – в видимой области, а серии Пашена – в инфракрасной области спектра.

Теория Бора дала формулу, позволяющую объяснить спектр атомов водорода видимой области, известный к тому времени, предсказала существование спектров в ультрафиолетовой и инфракрасной областях, которые вскоре были обнаружены.