Загальним розв`язком рівнянь типу є будь-яка гармонічна функція, наприклад, синус. Значить, за цих умов для можна записати такий розв’язок: , до якого входять дві константи: A0 і j. Це константи інтегрування диференціального рівняння другого порядку. Перепишемо здобутий розв’язок для змінної =x(t):
. (1.2.12)
Для визначення констант інтегрування застосуємо початкові умови це початкова швидкість руху кінця мотузки, яка виникає внаслідок падіння муфти. Швидкість визначається з закону збереження механічної енергії:
Знайдемо вираз для швидкості руху в довільний момент часу: Скориставшись вказаними початковими умовами, маємо наступну систему рівнянь:
(1.2.13)
Звідси знайдемо:
. (1.2.14)
Тепер визначимо момент часу , коли кінчик мотузки припинить рух внаслідок її розтягування на максимальну величину:
. (1.2.15)
Значить, , або . Тому координата, що визначає положення муфти в момент часу t, має наступний аналітичний вираз:
(1.2.16)
Максимальна деформація нитки настає, коли муфта зупиняється. Таким чином, здобуваємо відповідь:
. (1.2.17)
Звичайно, її можна здобути і у більш простий спосіб, скориставшись законом збереження механічної енергії. Прирівнявши потенціальну енергію муфти перед падінням до роботи, яку вона виконує проти сил пружності, розтягуючи нитку, можна отримати квадратне рівняння для видовження x(t): . Але розв’язком цього рівняння все одно буде вищезазначений вираз (1.2.17). Тому ця задача є чудовою нагодою для практики в галузі застосування знань, що їх здобуто на лекціях з математичного аналізу.
Питання для самоконтролю до розділу
Динаміка матеріальної точки
1. Коли матеріальна точка називається вільною?
2. Що таке маса матеріальної точки?
3. Що таке імпульс матеріальної точки?
4. Яку механічну систему називають замкненою (ізольованою)?
5. Сформулюйте закон збереження імпульсу.
6. Які системи відліку називаються інерціальними?
7. Сформулюйте перший закон Ньютона.
8. Сформулюйте другий закон Ньютона.
9. Що означає „адитивність маси”?
10. Сформулюйте третій закон Ньютона.
11. Назвіть інваріанти перетворення Галілея.
Рух системи матеріальних точок
Досі ми вивчали рух однієї матеріальної точки, на яку не впливали інші матеріальні точки. Але дуже часто в процесі руху механічних об’єктів відбувається їхня взаємодія між собою. Саме такий механічний рух і вивчається в даному розділі.
Методика розв`язання задач про зіткнення
При розв’язанні задач на тему зіткнень між механічними об’єктами слід пам’ятати: якщо за умови задачі взаємодія є пружною, тоді можна використовувати як закон збереження імпульсу, так і закон збереження енергії. Продемонструємо це на прикладі наступної задачі. Якщо ж з умов задачі виходить, що взаємодія є непружною, тоді можна використовувати тільки закон збереження імпульсу. Щоправда є ще одна можливість скористатися законом збереження енергії при непружній взаємодії, якщо відомі втрати механічної енергії, бо в цьому випадку можна скласти рівняння балансу енергії.
Задача 1
Дано: Перша частинка пружно провзаємодіяла з другою частинкою, яка перебувала у стані спокою.
Знайти: частку їхніх мас у двох окремих випадках:
а). Зіткнення було лобовим, а частинки розлетілися у взаємно протилежних напрямках з однаковими за модулем швидкостями.
б). Частинки розлетілися симетрично по відношенню до напрямку початкового руху першої частинки, а кут розльоту склав .
Розв’язання:
Розглянемо випадок а), запишемо систему з двох рівнянь, яка відповідає законам збереження імпульсу та кінетичної енергії. При цьому, по-перше, спроектуємо вектори швидкостей на вісь, вздовж якої відбувається рух при лобовому зіткненні, що дозволить записати закон збереження імпульсу у скалярній формі, по-друге, множник 1/2 у виразі для кінетичної енергії для спрощення запису опустимо.
За умовами задачі , значить, , оскільки зіткнення є лобовим. Отже, (тут U1 та U2 додатні величини), тому маємо наступну систему рівнянь:
(1.3.35)
де літерами та позначено швидкості перед та після зіткнення. З першого рівняння системи (1.3.35) знайдемо зв'язок між швидкостями та :
. (1.3.36)
Піднесемо значення (1.3.36) у другий ступень та порівняємо з другим рівнянням системи (1.3.35): ; . Значить, маси частинок співвідносяться так:
. (1.3.37)
Рис. 1.3.5 |
Цікаво відзначити, що з аналізу (1.3.36) можна дійти висновку: тіла з однаковими масами при лобовому зіткненні не можуть розлетітися в протилежні боки.
Розв’язання задачі у випадку б) є більш складним, бо вимагає використання закону збереження імпульсу: у проекціях на дві взаємно перпендикулярні осі. Для поздовжнього напрямку, враховуючи умову задачі про симетричність руху (див. рис. 1.3.5), маємо:
. (1.3.38)
Друге рівняння здобувається при проектуванні імпульсів на вісь, що є перпендикулярною до швидкості :
(1.3.39)
Третє рівняння, що описує цю взаємодію, здобудемо з закону збереження кінетичної енергії:
. (1.3.40)
Скористаємося виразом (1.3.39) та знайдемо з (1.3.40) швидкість першої частинки:
. (1.3.41)
Підставимо з (1.3.39) до (1.3.38) та здобудемо інший вираз для :
. (1.3.42)
Отже, маємо систему двох рівнянь:
(1.3.43)
Звідси можна виключити швидкості руху та здобути рівняння для мас:
(1.3.44)
та нарешті: .
Таким чином, у випадку лобового зіткнення частинка, яка грала роль мішені, є втричі важчою за першу частинку, а при симетричному розльоті частинок маса частинки «мішені» є вдвічі легшою за .
Якщо взаємодія матеріальних точок є абсолютно непpужною, то така взаємодія описується тільки законом збереження імпульсу; кінетична енергія не зберігається, бо певна її частина витрачається на роботу проти сил, які не є механічними. Але і в таких задачах іноді існує обмежене поле використання закону збереження механічної енергії. Продемонструємо це на наступному прикладі.
Задача 2
Дано: Куля масою m, яка летіла горизонтально, влучила в тіло маси M>>m, яке підвішене на мотузках довжиною l та залишилася у ньому. Після абсолютно непpужної взаємодії мотузки відхилились на кут . Силами тертя та опору повітря можна знехтувати.
Знайти:
а). Швидкість кулі V перед тим, як вона застрягла.
б). Частку кінетичної енергії кулі, яку вона втратила через непружне зіткнення.
Рис. 1.3.6 |
Розв`язання:
Дана система не є замкненою, бо на тіло, що висить, діють сила тяжіння та натягу мотузки. Але вважаємо, що зіткнення відбулося миттєво, тому в горизонтальному напрямку зовнішні сили не діють. До того ж, зіткнення є лобовим, , тому можна записати закон збереження імпульсу в проекції на горизонтальний напрямок:
. (1.3.45)
Звідси можна знайти зв’язок швидкості кулі перед зіткненням V та швидкості U тіла M+m одразу після зіткнення:
. (1.3.46)
Хоча закон збереження механічної енергії не можна використовувати для опису непpужної взаємодії, але в цій задачі є проміжок часу, коли його таки можна застосувати. Цей проміжок часу відповідає руху новоутвореного тіла маси , в якому воно витратило свою початкову кінетичну енергію на роботу проти сил тяжіння та піднялося внаслідок цього на висоту h. Закон збереження повної механічної енергії можна застосовувати у даному випадку, оскільки сила натягу мотузки не виконує роботу (вектор цієї сили є перпендикулярним до вектора переміщення), а сила тяжіння є потенціальною. Отже, внаслідок виконання роботи тіло маси M+m піднімається на висоту h в полі сил тяжіння:
. (1.3.47)
Застосуємо закон збереження повної механічної енергії:
(1.3.48)
Підставимо (1.3.48) до виразу (1.3.46) та знайдемо швидкість кулі:
(1.3.49)
Кількість втраченої кінетичної енергії визначається як різниця :
. (1.3.50)
Відносна частка втраченої кінетичної енергії визначається в наступний спосіб:
. (1.3.51)
За умов задачі маса кулі є малою: . Отже, маємо можливість приблизно оцінити величину втрат механічної енергії:
Тобто, коли легка куля влучає у важку мішень, то майже вся її кінетична енергія витрачається на утворення отвору в мішені, різні дисипативні процеси, генерацію звуку тощо.
Питання для самоконтролю до розділу
Рух системи матеріальних точок
1. Як визначається „центр інерції системи матеріальних точок”?
2. Записати закон руху центра інерції.
3. Яку величину називають реактивною силою?
4. Як визначається робота сили при елементарному переміщенні?
5. Сформулюйте закон збереження кінетичної енергії.
6. Яке зіткнення називається абсолютно непружним?
7. Яке зіткнення називається пружним?
8. Яке зіткнення називається лобовим (центральним)?
Закон збереження повної механічної енергії
За умов дії консервативних сил та/або гіроскопічних сил повна механічна енергія системи матеріальних точок залишається незмінною. При цьому можуть відбуватися тільки перетворення потенціальної енергії у кінетичну та навпаки, але повний запас механічної енергії за таких умов не змінюється.
Робота зовнішніх сил , або (див. формулу (1.3.21)), отже, . Значить, повна енергія E механічної системи за умов дії консервативних та/або гіроскопічних сил зберігається:
. (1.4.5)
Нагадаємо, що, як і робота, механічна енергія вимірюється і обчислюється у Джоулях (в системі СІ).