Зв’язок потенціальної сили та потенціальної енергії

 

Як було показано раніше, механічна робота, за визначенням, пов’язана з силою в наступний спосіб: . Оскільки механічну роботу також можна визначити через зміну потенціальної енергії (1.4.4), то на часі дослідження питання про знаходження за відомим розподілом потенціальної енергії .

Нехай , тоді . За умов малого переміщення () потенціальну енергію можна розкласти в ряд Тейлора в малому околі поблизу точки :

 

. (1.4.6)

 

З іншого боку:. Отже,

 

. (1.4.7)

 

Незважаючи на те, що у виразі (1.4.7) ми маємо в знаменнику вектор, тим не менш цей вираз є математично вірним, просто він потребує наповнення фізичним змістом. Для цього припустимо, що нам відома залежність . Тоді для диференціала потенціальної енергії маємо:

 

. (1.4.8)

 

Нехай траєкторія, вздовж якої відбулося переміщення , є паралельною до осі x: y=const, z=const; тоді зміна потенціальної енергії

dU_y,z=-F_xdx; Þ F_x=-º. (1.4.9)

 

Аналогічно , . Скористаємося оператором Гамільтона: , тоді:

 

. (1.4.10)

 

У фізиці поверхні, на яких потенціальна енергія має певне значення, , називають еквіпотенціальними. Зрозуміло, що переміщення матеріальної точки уздовж еквіпотенціальних поверхонь не змінює потенціальної енергії. Це пов’язано з тим, що в цьому випадку консервативні сили не виконують роботу, бо вектори та є взаємно перпендикулярними. Уявні лінії у просторі, вздовж яких діють сили, називають силовими лініями. Силові лінії консервативних сил є перпендикулярними до еквіпотенціальних поверхонь.

Як відомо з теорії тензорного аналізу, векторний оператор градієнта застосовується до скалярної функції. Градієнт скалярної величини - це є вектор, що його спрямовано перпендикулярно до еквіпотенціальної поверхні у бік зростання даної функції. Величина градієнта дорівнює похідній від даної функції вздовж нормалі до цієї еквіпотенціальної поверхні.