Закон збереження моменту імпульсу

 

Назвемо моментом імпульсу та моментом сили , відповідно, наступні величини, які визначаються через векторні добутки:

 

; . (1.4.11)

 

Доведемо, що між векторами та існує такий саме зв'язок, як і між силою та імпульсом: =S . Для цього згадаємо другий закон Ньютона = , помножимо вираз для нього векторним чином на радіус-вектор: . Слід взяти до уваги також, що вектори швидкості та імпульсу є паралельними один одному, тому їхній векторний добуток дорівнює нулю , тоді:

 

. (1.4.12)

 

Таким чином, маємо основне рівняння динаміки обертального руху матеріальної точки:

 

. (1.4.13)

 

При цьому слід мати на увазі, що під значенням вектора в загальному випадку слід розуміти результуючий момент зовнішніх сил. Рівняння (1.4.13) також називають рівнянням моментів.

Для замкненої (зовнішні сили відсутні або їхній результуючий момент дорівнює нулю, ) ізольованої системи рівняння моментів (1.4.13) перетворюється в таке: . Значить, за цих умов момент імпульсу зберігається:

 

. (1.4.14)

 

Отже, момент імпульсу ізольованої системи матеріальних точок не змінюється за будь-яких внутрішніх взаємодій, що відбуваються всередині системи. Це твердження становить зміст закону збереження моменту імпульсу. Якщо взяти до уваги аналогію між імпульсом та моментом імпульсу, то видно, що рівняння (1.4.14) є подібним до закону збереження імпульсу. Цікаво, що закон збереження моменту імпульсу виконується також у випадку дії центральних сил, бо для них , і попри присутність при цьому зовнішніх сил моменти центральних сил внаслідок властивостей векторного добутку дорівнюють нулю, що призводить до рівняння .

Закон збереження моменту імпульсу носить векторний характер. Отже, можлива ситуація, коли зберігається тільки одна із складових вектора . Наприклад, , , але при цьому проекція рівняння (1.4.13) на вісь є нульовою, отже, . Тоді

Це означає, що закон збереження моменту імпульсу можна використовувати також і для частково ізольованих механічних систем.