Рух матеріальної точки у полі центральної сили

 

Для матеріальної точки, яка рухається в полі центральної сили за умов відсутності дисипації, виконується закон збереження механічної енергії. До того ж, як показано у попередньому підрозділі, для центральних сил векторний добуток , отже, виконується закон збереження моменту імпульсу . Це означає, що траєкторія руху механічного об’єкта в полі центральних сил лежить в одній площині, оскільки радіус-вектор та елементарне переміщення, що відбувається в процесі руху зі швидкістю , вектор , належать одній площині, що є перпендикулярною до вектора : , , Þ . Отже, радіус-вектор, що визначає положення матеріальної точки, у даному випадку залишається в площині, яка є перпендикулярною до моменту імпульсу , назавжди.

Порахуємо модуль моменту імпульсу: . Для цього запишемо радіус-вектор і вектор швидкості у декартовій та циліндричній системах координат:

, , (1.4.15)

, , . (1.4.16)

 

Звідси видно, що складова подовжує радіус-вектор на , а складова швидкості повертає радіус-вектор на кут dj.

Покажемо, що :

 

, (1.4.7)

=

= =r. (1.4.18)

 

Отже, ми довели, що

 

. (1.4.19)

 

Проаналізуємо, що це означає фізично. Для цього поділимо траєкторію руху на малі ділянки, що їх проходить матеріальна точка за однакові малі проміжки часу. Продемонструємо це за допомогою рис. 1.4.6. Обчислимо площу трикутника, що виділено на рис. 1.4.6, для чого слід згадати геометричний зміст векторного добутку: