Рух тіл змінної маси

 

Термін “змінна маса” в класичній механіці має інше значення, ніж у теорії відносності. У рамках класичної механіки досліджується повільний рух об’єктів, чия маса змінюється через втрати або набуття певної кількості речовини. Наприклад, дощова крапля збільшує свою початкову масу під час падіння у повітрі, яке є перенасиченою водяною парою; або інший приклад – маса реактивного літака зменшується за рахунок витікання газу, який утворюється у двигунах через згоряння палива. Повільність руху означає, що досліджуються випадки швидкостей, що є значно меншими за швидкість світла.

Рівняння руху механічних об`єктів, що мають змінну масу, принципово не відрізняються від звичайного другого закону Ньютона, бо вони є наслідками законів Ньютона. Ці рівняння становлять певний інтерес, головним чином, у зв`язку з розвитком ракетної техніки.

Елементарну теорію руху ракет побудовано на припущенні, що ракета разом з газами, що витікають, створює замкнену систему, нехтуючи при цьому тертям, дією зовнішніх сил гравітації сусідніх космічних об`єктів і таке інше. Повний імпульс такої системи з часом не змінюється. Газ, що утворюється при згорянні палива, викидається з ракети з великою швидкістю, що в свою чергу діє на ракету, надаючи їй прискорення у напрямку, який є протилежним до напрямку витікання газу.

Здобудемо рівняння, що описує рух тіл змінної маси. Для визначеності (яка не обмежує загальності) вважатимемо, що йдеться про політ ракети. Для цього скористаємося стандартним методом: розглянемо імпульс механічної системи «ракета плюс гази» у довільний момент часу t і у наступний, фізично безкінечно близький, момент часу t+dt, і знайдемо зміну імпульсу за цей проміжок часу.

Нехай у довільний момент часу ракета разом із паливом має масу m(t) і рухається зі швидкістю (t). При цьому її імпульс дорівнює (t)=m(t)(t). За елементарний проміжок часу маса ракети та її швидкість отримали, відповідно, прирости та : m(t)® m(t+dt)= m(t)+dm, (t)®(t+dt)=(t)+d . Тому кількість руху (імпульс) ракети разом із паливом, що в ній залишиться, на цей час стане добутком (t)® (t+dt)=. Крім того, на момент часу t+dt в системі виникне ще один компонент - це газ, який полишає ракету внаслідок згоряння палива. Маса новоутвореного газу , його швидкість відносно інерціальної системи відліку . При цьому слід узяти до уваги, що , оскільки повна маса системи «ракета плюс паливо» з часом зберігається. Таким чином, повний імпульс системи «ракета плюс паливо» в момент часу дорівнює:

 

. (1.3.7)

 

Обчислимо зміну імпульсу за проміжок часу dt:

 

(1.3.8)

 

Величиною другого порядку малості слід знехтувати. Тоді для зміни величини імпульсу можна записати: . Позначимо швидкість витікання газу відносно ракети: , тоді

 

(1.3.9)

 

З другого закону Ньютона маємо:

 

, (1.3.10)

 

де - це геометрична сума усіх зовнішніх сил, що діють на ракету. Порівнюючи два вирази (1.3.9) та (1.3.10) для , дістаємо:

 

(1.3.11)

 

Звідси маємо: , або в формі рівняння Мещерського:

 

. (1.3.12)

Величину називають реактивною силою. У випадку польоту ракети dm/dt<0, тому реактивна сила штовхає ракету у напрямку, протилежному до того, в якому гази вилітають із сопла двигуна ракети.

Розглянемо випадок, коли , тобто коли ракета летить у космосі далеко від Землі та інших планет та зірок так, що силою гравітаційного тяжіння можна знехтувати, або коли реактивна сила є набагато більшою за результуючу решти сил. Тоді рівняння (1.3.12) спрощується:

 

. (1.3.13)

 

Нехай ракета рухається прямолінійно, наприклад, вздовж осі . Тоді вектори та орієнтовано у взаємно протилежних напрямках, а маса ракети зменшується (dm/dt<0). Спроектуємо рівняння (1.3.13) на вісь і дістанемо скалярне рівняння:

 

(1.3.14)

 

Обмежимо наше дослідження простим випадком сталої швидкості витікання газів, коли >0. Виконаємо процедуру поділу змінних у співвідношенні (1.3.14), що в цьому випадку полягає у тому, щоб поділити рівняння (1.3.14) на m:

(1.3.15)

 

Проінтегруємо рівняння (1.3.15) від деякого початкового моменту часу t=t₀, коли V(t₀)=V₀ і m(t₀)=m₀, до поточного моменту часу t

 

(1.3.16)

 

та здобудемо:

 

. (1.3.17)

Рівняння (1.3.17) показує: для того, щоб ракета набула найбільшої швидкості, по-перше, слід обладнати її гарним двигуном з найбільшою швидкістю витікання газів із сопла ракети і, по-друге, виготовити ракету з найменшою корисною масою, m₀>>m(t). При чому перший шлях є більш ефективним, бо лінійна функція зростає швидше за логарифмічну.

Рівняння (1.3.17) можна переписати ще так:

 

(1.3.18)

 

Коли , тоді з (1.3.18) здобуваємо формулу Ціолковського:

 

(1.3.19)