Мета роботи

Побудова головних і діагональних перетинів еліпсоїда інерції досліджуваного тіла.

4.2 Загальні положення

Моментом інерції матеріальної точки відносно осі z називається добуток маси матеріальної точки m на квадрат її відстані r до осі обертання:

.

Момент інерції твердого тіла відносно осі z, являє собою суму моментів інерції матеріальних точок, з яких складається тіло:

.

Момент інерції тіла є мірою інертності тіла при обертальному русі. Основне рівняння руху має вигляд

,

де – результуючий момент усіх сил, що діють на тіло;

– кутове прискорення.

Моменти інерції твердого тіла відносно різних осей обертання різні. Для прямокутного паралелепіпеда три взаємно перпендикулярні осі, що проходять через середини протилежних граней паралелепіпеда (рис.4.1) називаються головними осями інерції. Моменти інерції I_x I_у, I_z відносно трьох головних осей називаються головними моментами. Якщо з початку показаної на рис. 4.1 декартової системи координат відкласти у кожному напрямку відрізок, довжина якого обернено пропорційна до квадратного кореня з момента інерції тіла відносно паралельній даному напрямку осі, то ми отримаємо поверхню у тривимірному просторі. Ця поверхня називається еліпсоїдом інерції тіла. Головні моменти інерції тіла визначають головні півосі еліпсоїда інерції.

Рис. 4.1

Для прямокутного паралелепіпеда момент інерції відносно головної осі (наприклад, осі Oz) визначаються за формулою

, (4.1)

де а_х , а_у – розміри тіла вздовж осей Оx, Оy відповідно.

Момент інерції маятника без досліджуваного тіла можна обчислити за формулою

, (4.2)

де Т₀ , Т_z – періоди обертальних коливань ненавантаженого і навантаженого маятника відповідно.

Головні моменти інерції I_x , I_y досліджуваного тіла можна знайти за формулами:

, . (4.3)

Перетин еліпсоїда інерції площиною, проведеною через головні осі, називається головним перетином. Крім головних моментів інерції I_x, I_y, I_z, можна визначити діагональні моменти інерції I_xy , I_xz ,I_yz (індекси вказують, у якій площині береться діагональ). Для цього паралелепіпед треба закріпити в рамці маятника так, щоб вісь обертання збігалася з діагоналлю одного з головних перетинів. Виміривши періоди коливань, знайдемо

. (4.4)

Знаючи головні I_x , I_y , I_z і діагональні I_xy , I_xz , I_yz моменти інерції, по восьми точках можна побудувати еліпс інерції для будь-якого головного перетину (рис.4.2).

Рис. 4.2

Закріпивши тіло так, щоб вісь обертання проходила через протилежні вершини (тобто, такі дві вершини, через які проходить просторова діагональ паралелепіпеда), і виміривши період коливань T_xyz, можна визначити діагональний момент I_xyz:

. (4.5)

По головним і діагональним моментам інерції по восьми точках можна побудувати діагональні перетини еліпсоїда інерції (рис.4.3).

Рис. 4.3