Механика

4.1.1. Материальная точка. Системы отсчета. Основные характе-ристики движения материальной точки.

 

Механическое движение тел – изменение их положения в пространстве с течением времени.

 

Основная задача механики: определение положения тела в пространст-ве в любой момент времени.

 

Система отсчёта - система координат, жёстко связанная с телом отсчё-та и способом измерения времени.

 

Материальная точка это тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.

 

Движение тел подразделяется на:

- поступательное – такое движение, при котором любая прямая, связанная с телом (например, проведенная через две точки) перемещается параллель-но самой себе;

 

- вращательное (точки тела описывают концентрические окружности, цен-тры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения);

 

- колебательное (возвратно-поступательное либо возвратно-вращательное).

 

Траектория – совокупность последовательных положений, занимаемых телом в процессе его движения.

 

Пройденный путь – расстояние, пройденное точкой вдоль её траекто-

рии.

 

Перемещение – вектор, направленный от положения материальной точки в начальный момент времени наблюдения к её положению в конце промежутка времени наблюдения.

 

Положение материальной точки в пространстве определяется с помощью радиус-вектора:

r	= xi + yj + zk
r

где i , j , k - единичные векторы, направленные по осям прямоугольной сис-

 

темы координат, x, y, z - координаты точки.

 

Кинематическое уравнение движения материальной точки:

 

r	(t) = xi	+ yj + zk
r

 

где x = f₁(t), y = f₂(t), z = f₃(t) - функции, выражающие зависимость координат точки от времени.

 

a = const;

r = r + r v v0 at;

4.1.2. Криволинейное движение материальной точки.

 

r

= Dr , где Dr

- вектор изменения перемещения.

Средняя скорость V

Dt

Мгновенная скорость

r

dr

.

V

=

dt

r

DV

Среднее ускорение a

= Dt .

2 r

r

d

Мгновенное ускорение

V =

dV

=

r

.

dt

dt 2

Составляющие ускорения при криволинейном движении:

a = a n + a t

где an=

V

- нормальная,

at=

dV

- тангенциальная составляющие ускорения,

R

dt

R - радиус кривизны траектории.

Модуль ускорения: a =

an2 + at2

4.1.3. Прямолинейное движение материальной точки.

 

При прямолинейном равнопеременном движении направление векто-ров скорости, ускорения и перемещения совпадает. Это движение с постоян-ным по величине ускорением. Если a > 0 движение называется равноуско-ренным, если a < 0 - равнозамедленным.

Уравнения для прямолинейного равнопеременного движения:

 

 

r r	r		r
	at 2
S = S0	+ v	0 t +

Прямолинейное движение с постоянной скоростью называется равно-мерным.

 

Уравнения для прямолинейного равномерного движения:

 

a = 0;

r ₌

v const;

^r ₌ ^r ₊ r

S S₀ vt

 

4.1.4. Движение материальной точки по окружности

 

Средняя угловая скорость:	r	Dj
w =	Dt
Мгновенная угловая скорость:	r	dj
w =
dt

 

b = const; r r r w = w0 + bt;

Мгновенное угловое ускорение:

	r	r		2 r
	b =	dw	=	d j
	dt	dt 2
Связь между линейной	и угловой скоростями при вращательном дви-
жении:	r
V = [w, R]

где R - радиус окружности, по которой движется материальная точка. Связь между ускорениями:

 

a_t = bR, a_n = w ² R

 

Период вращения Т - время оборота точки по окружности до совпадения с начальным положением.

 

Частота вращения - число полных оборотов в единицу времени:

 

n = _T¹ [c^-1 ]= [Гц]

При равномерном вращении за период Т радиус-вектор точки повер-нётся на угол 2p. Тогда угловая скорость точки называется угловой(цикли-ческой) частотой:

 

w = ^D_D^f_t = ²_T^p Þ w = 2pn

.

Уравнения для вращательного равнопеременного движения:

 

		r
r	0t +	bt	.
f = f0 + w

Уравнения для равномерного вращательного движения: b = 0;

r

w = const ;

 

r f = f₀ + wt.

 

4.1.5.Динамика.Законы Ньютона.Принцип относительности

 

Динамика – раздел механики, изучающий движение тел с учетом физи-ческих причин, вызывающих изменение движения.

 

Первый закон Ньютона: «Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие других тел не выведет его из этого состояния».

 

Инерция – явление сохранения телом состояния покоя или равномерно-го прямолинейного движения. Мерой инерции или инертностью является фи-зическая величина, называемая массой.

 

Принцип относительности Галилея: «Законы механики инвариантны относительно инерциальных систем отсчета».

 

 

Второй закон Ньютона: «Ускорение a , приобретаемое телом под дей-ствием силы F , направлено так же, как и сила, пропорционально силе и об-ратно пропорционально массе m тела».

r	F	r	r
a ~		Þ F = kma,
m

где F - результирующая действия всех сил на тело.

Единицу силы можно выбрать так, чтобы k = 1	r	-
Þ F = ma
основное уравнение динамики поступательного движения

Третий закон Ньютона: «Два взаимодействующих тела действуют друг на друга с силами, равными по значению и противоположными по направле-нию».

 

			F12 = -F21 ,
где F12 - сила действия первого тела на второе, а F21 - сила действия второго
тела на первое.	4.1.6. Импульс
Импульс тела (количество движения) – произведение массы тела на его
скорость:	r	r	éкг × м ù
	p = m	×v	ê			ú
	с
			ë	û
Импульс силы – произведение движущей силы на время ее действия:
	F × t	[Н∙с] .
Закон изменения импульса: импульс постоянной силы, действующей
на тело, равен изменению импульса тела.
r	r	=	r	r		r
F ×t = mv	- mv0	p - p0	= Dp, F = const.

Изолированная система – группа тел , взаимодействующих друг с дру-гом и не взаимодействующих ни с какими иными телами.

 

Закон сохранения импульса: в изолированной системе сумма импуль-

сов всех тел есть величина постоянная.		n
r	r	r	r	= const
m1v1	+ m2v2	+ ... + mivi + ... + mnvn	или å mivi = const

i =1

 

где n - число материальных тел замкнутой системы, m_i - их массы.

 

4.1.7. Движение тел переменной массы.

 

Уравнение Мещерского (второй закон Ньютона для тел переменной

 

массы):

dv

R

r

r

M

= -m

v

+ F

dt

отн

S

вн

где М -

масса ракеты с топливом;

vR - скорость ракеты; F - сопротивление

среды; mотн - масса газа, вылетающая в единицу времени; vS - скорость струи

относительно ракеты.

Формула Циолковского для реактивного движения:

m = m o e

-

V

Vоот

 

4.1.8. Гравитационные силы.

 

Сила гравитационного взаимодействия (закон всемирного тяготения):

 

r ⁼ _{m m} F G _r¹ ₂ ²

где G - гравитационная постоянная, m₁ и m₂ - массы взаимодействующих то-чек, r - расстояние между ними;

Сила тяжести – сила, с которой тело притягивается к Земле:

= ^r

P mg

Ускорение свободного падения:

 

g = G _R^M₂

где М – масса Земли, R = 6,4×10⁶ м – радиус Земли

 

Вес тела равен силе, с которой неподвижное относительно Земли тело действует на неподвижную горизонтальную опору или подвес. Поэтому вес тела равен силе тяжести, хотя это и не тождественные понятия:

 

- сила тяжести приложена к телу (центру масс);

 

- вес тела приложен к опоре или подвесу.

 

-

4.1.9. Силы упругости.

 

При деформации тела, составляющие его частицы смещаются друг от-носительно друга. Деформация называется упругой, если после устранения деформирующей силы тело восстанавливает первоначальную форму и раз-меры.

 

Виды деформаций: растяжение, сжатие, изгиб, кручение, сдвиг. Каж - дый вид деформации вызывает появление соответствующей силы упругости.

 

Закон Гука: упругая сила, возникающая при малых деформациях любо-го вида, пропорциональна величине смещения:

F = -kDx, где k – коэффициент жесткости.

 

Знак “-“ означает, что сила упругости направлена противоположно смещению и стремится вернуть тело в первоначальное положение.

 

Модуль Юнга (коэффициент, характеризующий упругие свойства ве-щества):

 

Е = _S^Fx_Dх⁰ [Па].

Модуль Юнга численно равен силе, растягивающей стержень единич-ной площади поперечного сечения S = 1 м² так, чтобы относительное

 

удлинение e = ^Dx было равно единице. ^x0

 

4.1.10. Силы трения.Силы инерции.

 

Трение называется внешним, если оно возникает при перемещении двух соприкасающихся тел.

 

 

Трение называется внутренним, если возникает между частями одного и того же сплошного тела.

 

Трение сухое - между поверхностями двух твердых тел при отсутствии прослойки (смазки) между ними.

 

Трение вязкое – между твердым телом и жидкой или газообразной сре-

дой.

 

При сухом трении различают:

 

Fmp = kFn	- трение скольжения
где k- коэффициент трения, Fn - сила нормального давления.
r
Fтр.кач. = m	Fn		- трение качения (m << k)
R
где m - коэффициент трения качения,	R – радиус катящегося тела.
Сила инерции:	r	r	r
			Fи = m(a¢	- a) = maи

где a - ускорение частицы относительно инерциальной системы отсчета ; a¢ - ускорение частицы относительно неинерциальной системы отсчета; m – мас-са частицы.

Сила Кориолиса:		r	r	]
Fк = 2m[v0w
где v0 - радиальная скорость движения тела; ω – угловая скорость неинерци-
альной системы отсчета; m – масса тела.
Ускорение Кориолиса:	r	r		r	]
	aк	= 2[v0	×w

 

4.1.11. Работа и энергия

 

Механической работой постоянной силы называется физическая вели-чина, равная произведению силы на модуль перемещения:

 

A = (F × S) = FS cosa _{[Дж] = [Н×м]}

 

При a< 90⁰ работа положительная, при a = 90⁰ работа равна нулю, при a> 90⁰ работа отрицательная – сила тормозит тело.

 

Мощность – физическая величина, равная отношению работы к проме-жутку времени, в течение которого она совершается:

 

N = ^dA_dt [Вт] = [Дж/с] = [Дж×м/с]

Энергия – физическая величина, характеризующаяся способностью те-ла или системы совершать работу при переходе из одного состояния в дру-гое.

 

Работа А, совершаемая системой при переходе из одного состояния в другое, равна разности энергий, присущих системе в этих состояниях:

 

A = W₀ – W_n,

 

Wтяг = mgh

где W₀ и W_n – энергии в исходном и конечном состоянии.

 

Полная энергия системы складывается из всех присущих системе видов энергии: химической, электрической, ядерной и др. видов энергии.

 

В изолированной системе выполняется закон сохранения энергии: ве-личина полной энергии изолированной системы остаётся постоянной, явля-ясь при этом неуничтожаемой, и может превращаться из одних видов в дру-гие:

 

W = const

 

Механическая энергия изолированной системы равна сумме кинетиче-ской и потенциальной энергии и не меняется со временем, если механическая энергия не превращается в другие виды энергии:

 

W_м = W_k + W _п = const

 

 

4.1.12. Кинетическая энергия тела

 

Кинетической энергией называется механическая энергия, связанная с

движением тела либо его частей.
Wк =	mv 2	[Дж]
где m – масса тела, v – его скорость.

 

4.1.13. Потенциальная энергия упругодеформированноготела

 

Потенциальная энергия упруго деформированного тела – это макси-мальная работа, совершаемая силами упругости по восстановлению формы и

размеров тела. ⁼ kx ²

^Wп ₂

где k – коэффициент жесткости материала, х – величина деформации (смеще-ния).

 

4.1.14. Потенциальная энергия тела в гравитационном поле

 

Потенциальная энергия тела в гравитационном поле – это работа, со-вершаемая силами тяготения.

 

W_n = G ^Mm_r

где G - гравитационная постоянная, М – масса Земли, m – масса тела, r - рас-стояние между ними.

 

Потенциальная энергия тела сил тяготения вблизи земной поверхности. где g – ускорение свободного падения, h – высота тела над уровнем земной

 

поверхности.

4.1.15. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары

 

Абсолютно упругий - удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие виды энергии. Кинетическая энергия полностью или час-тично переходит в потенциальную энергию упругой деформации и тела воз-вращаются к первоначальной форме, отталкиваясь друг от друга. Потенци-альная энергия снова переходит в кинетическую энергию, и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются условиями сохранения полной энергии и сохранением полного импульса системы.

r

2m

r

+ (m

- m

r

r

2m

r

+ (m

- m

r

v

)v

v

)v

v1 =

;

v2

=

m1 + m2

r

m1 + m2

где m1

r

и

-

скорости шаров до удара,

и m2 - массы шаров, v10

v20

v1

и v2 - скорости после удара.

Абсолютно неупругий – удар, при котором потенциальная энергия де - формации не возникает. Кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию. При абсолютно неупругом ударе вы-полняется лишь закон сохранения импульса. После удара тела движутся с одинаковой скоростью.

r	m	r		+ m		r
v			v
v =
	m1 + m

где v – скорость обеих материальных точек, m₁ и m₂ - массы частиц, v^r₁₀ и v^r₂₀ скорости до удара

 

4.1.16. Основной закон динамики вращения

 

Момент вращающей силы (вращающий момент) – векторное произве-дение радиуса окружности (плеча) r на силу F :

= ^r ´ = × × a [H×м]

M (r F) r F sin

Момент инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения - произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до некоторой оси: I = mr² [кг×м²]

 

где m - масса материальной точки, r - ее расстояние до оси вращения. Основной закон динамики вращательного движения (второй закон

 

Ньютона для вращающегося тела): момент вращающей силы, приложенной к телу, равен произведению момента инерции I тела на угловое ускорение β:

 

M = Ib

 

Теорема Штейнера: момент инерции тела массой т относительно непод-

вижной оси, не проходящей через центр масс и параллельной оси z, равен

J = J_z + ma²,

где J_z - момент инерции относительно оси z, проходящей через центр масс, а - расстояние между осями.