Момент силы и момент импульса

При вращательном движении важно знать не только величину и направление силы , но и точку ее приложения, то есть радиус-вектор (рисунок 39). Попробуйте открыть дверь, взяв за ручку или приложив ту же силу ближе к оси вращения. Поэтому для вращательного движения вводят понятие «момент силы».

Различают момент силы относительно центра (точки) и относительно оси.

Момент силы относительно точки О равен векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы и силы . (77)

Или в скалярном виде , , где -плечо силы – кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы.

Моментом силы относительно оси вращения называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы и ее составляющей , лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рисунок40)

, (78)

.

 

 

 

Рисунок 39 Рисунок 40

 

Из рисунка 40 видно, что только вызывает вращение тела, вызывает давление на опоры оси. Таким образом, момент силы , Н.м характеризует вращательный эффект силы при действии ее на тело; определяется по формулам (77) и (78), направление определяется векторным произведением: направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через и , и обращен в туже сторону, с которой вращение по кратчайшему пути от к происходит против часовой стрелки.

Понятие момента силы используется при расчете механизмов редукторов и шарнирных сочленений, подъемных устройств и кранов, различных инструментов и гаечных ключей и т.д. Момент силы и угловая скорость однозначно определяют мощность любого двигателя

.

Моментом импульса материальной точки , Н.м.с – называется векторное произведение радиус-вектора этой точки и ее импульса

. (79)

О

 

 

Рисунок 41 Рисунок 42

Для вычисления результирующего момента импульса твердого тела, его разбивают на элементарные точки , находят по формуле и суммируют .

Заменив и раскрыв двойное векторное произведение, учитывая, что , получаем

. (80)

Вектор направлен так же, как .

3.3 Динамика вращения твердого тела

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси ОО, проходящей через него (рисунок 42).

Точки с элементарными массами m₁, m₂,…, m_n, находящиеся на расстояниях r₁, r₂,…, r_n до оси вращения, движутся с различными скоростями u₁, u₂,..., u_n и ускорениями a₁, a₂, …, a_n, но одинаковыми угловыми скоростями w = w₁= w₂=...= w_n и одинаковыми угловыми ускорениями e = e₁= e₂=...= e_n.

По II закону Ньютона на каждую точку действует сила .

Умножим векторно на .

Раскроем двойное векторное произведение по правилу . Получим, учитывая

. (81)

Просуммируем (81) по всем точкам

, (82)

, (83)

- момент внешних сил, действующих на тело. (Именно внешних сил, так как внутренние силы попарно равны и противоположно направлены (Ш закон Ньютона), значит, суммарный момент всех внутренних сил будет равен нулю);

(84)

- момент инерции материальной точки относительно оси вращения.

или . (85)

- момент инерции тела относительно оси вращения.

Выражение (82) примет вид

, . (86)

Это и есть основной закон динамики вращательного движения.

Угловое ускорение тела пропорционально моменту сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела.

В динамике поступательного движения используются две величины, которые обладают способностью сохраняться при различных изменениях состояния системы: импульс и механическая энергия. В динамике вращательного движения также вводится величина и соответствующий закон сохранения. Этой величиной является момент импульса (или момент количества движения). Закон сохранения энергии для вращательного движения по-прежнему справедлив. Закон сохранения момента импульса находит широкое применение в самых разнообразных технологических устройствах: в конструировании и управлении самолетом, в космической технике, автоматике и т.д.