Графическое решение обратной задачи кинематики

Формулу (13) можно получить графически (рисунок9), используя зависимость скорости от времени.

Путь Графически путь равен сумме площадей 4-хугольника и треугольника /2 , т.е. .

В общем случае переменного движения график скорости изобразится некоторой кривой аb (рисунок 10) в координатах t и u.

Чему равен путь, пройденный телом (рисунок 2) за промежуток времени t₂ – t₁?

t₁ Δt_i t₂t

Рисунок 9 Рисунок 10

Разбивая этот промежуток на малые отрезки Dt такие, что скорость тела в течение этого времени постоянна, найдем площадь прямоугольника , равную элементарному перемещению Dх_i.

Просуммировав по всем Dt_i и взяв предел суммы, получим, что путь равен площади криволинейной трапеции t₁abt₂ .

С другой стороны, зная зависимость u = f(t) и граничные условия, координату можно рассчитать интегрированием: определить постоянную интегрирования или взять определенный интеграл.

Определенным интегралом непрерывной функции f(x) на отрезке ab называется предел суммы , при условии, что наибольшая разность Dх_i стремится к нулю и число слагаемых неограниченно увеличивается. Его обозначают (знак возник из первой буквы латинского слова summa): .

Формула Ньютона-Лейбница выражает связь между определенным интегралом от функции f(x) и ее первообразной

Через определенные интегралы выражают площади под плоскими кривыми, изображенными в различных координатах, судят о работе силы в механике F = f(x) , изменении внутренней энергии U = f(Т) или количестве теплоты Q = f(t) и прочее.

Таким образом, зная зависимость ускорения от времени, найдем скорость, а затем путь , .

По степени при t в уравнении пути можно судить о виде движения

х = A+Bt + Ct²+Dtⁿ .

Степень при t	Координата	Движение
	х = х₀	Тело стоит (х₀= А)
	х = х₀ + Bt	Равномерное (х₀= А, u = B)
	x = x₀ + Bt + Ct²	Равнопеременное (х₀= А, )
n>2	x = x₀ + Bt + Ct² + Dtⁿ	Переменное (х₀= А, u₀ = B; a₀ = 2C)

Коэффициенты А, В, С, … - алгебраические, поэтому возможна смена направления движения. В этом случае необходимо определить моменты времени, когда скорость обращается в нуль, затем найти путь, среднюю скорость, выполнив следующие операции:

1) подсчитать перемещения за каждый промежуток (от одной смены направления до другой). Результирующий путь равен сумме модулей отдельных перемещений Dx_i

2) рассчитать среднюю скорость движения за время движения Δt