СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
В координатном представлении
= r, 
= -iiÑ.
Коммутаторы этих операторов таковы :
= iidkl
Очевидно, что коммутатор оператора координаты с «чужим» компонентом импульса (скажем, 
с 
) равен нулю. Проверим, что
= ii
( 
и 
, аналогично ).
Имеем:
y(x) = 
y-y = x
+ii
(xy) =
= - ii x
+ ii x+ ii y = ii 
y,
откуда в силу произвольности y и получаем, что надо.
Итак, коммутатор координаты со «своим» импульсом отличен от нуля. Это накладывает ограничения на дисперсии координаты и импульса в заданном состоянии, называемые соотношениями неопределенностей. Проведем общее рассмотрение для наблюдаемых A и B, записывая
= i
,
где 
. Операторы 
и 
эрмитовы, и множитель i введен для того, чтобы оператор был также эрмитовым (сам коммутатор антиэрмитов). Введем операторы уклонения от среднего значения в заданном состоянии:
º -
, 
º -
.
Они эрмитовы и удовлетворяют тому же коммутационному соотношению:
= i.
Дисперсией наблюдаемой A (аналогично B) в состоянии y называется
Dy(A) º (DA)2 
.
Задача - получить ограничения на дисперсии наблюдаемых A и B.
Образуем скалярное произведение (D
y,Dy) и найдем его мнимую часть:
Im(Dy, Dy) = 1/2i{ (Dy, Dy) - (Dy, Dy)* }=
= 1/2i{( Dy, Dy)-( Dy, Dy)} =
= 1/2i{( y, DDy)-( y, DDy)} =
= 1/2i (y,
y) = 1/2i(y,
y) = 1/2áCñ.
Учтем теперь, что модуль мнимой части не больше модуля самого числа, а затем воспользуемся неравенством Коши - Буняковского:
| Im(Dy, Dy)| £ | (Dy, Dy)| £ 
=
= 
= 
º (DA)(DB).
Сравнивая с предыдущим, мы и приходим к общему соотношению неопределенностей:
DA×DВ l 1/2UáCñU.
В частности, для координаты и импульса = i, а потому áCñ = i, и получаем соотношение неопределенностей Гейзенберга:
DxDpx l i/2.
Ни в одном состоянии дисперсии координаты и импульса не могут обе быть нулями. Значит x и px совместно неизмеримы.