Центральное поле - это такое, для которого
V = V(r),r º ïrï.
Гамильтониан
= Ñ2 +V(r)
записываем в сферических координатах. Учитывая, что
Ñ2 = Ñr2 +Ñjq2,
и вспоминая, что
= -Ñjq2,= -i,
получим
= +V(r).
Отсюда видно, что
поскольку и не включают , а потому коммутируют с V(r), и поскольку
.
Таким образом, энергия, квадрат момента импульса и его проекция совместно измеримы. Поэтому они имеют общие собственные функции. Таковые и будем искать. Так как собственные функции - решения стационарного уравнения Шредингера:
y(r,q,j) = Ey(r,q,j),
то ищем решения с определенными L2 и Lz:
y = yE,l,m(r,q,j),
где l характеризует L2, m характеризует Lz.
Но общие собственные функции и нам известны - при фиксированном r (на сфере) это сферические гармоники Y lm (q,j):
Y lm (q,j) = l(l+1) Y lm (q,j), Y lm (q,j) = m Y lm (q,j).
Поэтому ищем решения в виде:
yE,l,m(r,q,j) = fElm(r) Y lm (q,j).
Подставляем в уравнение
yE,l,m(r,q,j) = 0,
учитывая, что вся угловая зависимость входит только в :
fElm(r) = 0,
(на сферическую функцию сократили). В это уравнение m не входит, а потому радиальные функции от m не зависят:
fElm(r) = fEl(r).
Логика, которая приводит к данному результату, такова: задача сферически симметрична, отсюда нет выделенных направлений, отсюда волновые функции стационарных состояний фактически не зависят от проекции момента m (точнее, от m не зависит энергия, а значит радиальная часть волновой функции).
Итак, для радиальной волновой функции получаем уравнение
fEl(r) = 0.
Удобно сделать замену неизвестной функции, вводя
REl(r) = rfEl(r).
Для функции REl(r) получаем уравнение
+REl = 0.
По форме оно очень похоже на одномерное уравнение Шредингера
+ [V(x) - E]y = 0,
но есть два существенных отличия:
· теперь задача ставится на полупрямой (0, +¥), а не на всей прямой, и граничное условие нужно задавать не только на бесконечности, но и в точке r=0;
· потенциальная энергия заменяется на эффективную потенциальную энергию
Vэфф(r) = º Vl(r),
(сравн. с классической механикой).