ЧЕТНОСТЬ

 

Ранее мы ввели оператор четности как такой:

y(r) = y(-r).

Так как гамильтониан зависит только от r, то он коммутирует с :

.

 

Поэтому значения четности (собственные значения ) являются интегралами движения. Кроме того, так как оператор четности коммутирует с и , то волновые функции y_E,l,m(r,q,j) должны обладать и определенной четностью. Найдем ее.

В сферических координатах пространственная инверсия r®-r сводится к подстановкам

r =r, q ® p-q, j ® j+p.

Поэтому

y_E,l,m(r,q,j) = f_El(r) Y _lm (p-q, j+p).

 

Из явного вида сферических гармоник

 

Y _lm (q, j) = A_lme^imjP_lm(cosq)

следует

 

Y _lm (p-q, j+p) = e ^im(j+p)P_lm(-cosq) = e ^imj e ^ijp e ^-imp(-1)^lP_lm(cosq),

 

а потому

y_E,l,m(r,q,j) = f_El(r)(-1)^l Y _lm (q, j) = (-1)^ly_E,l,m(r,q,j).

 

Таким образом, четность равна

 

P = (-1)^l.

 

При четных l волновые функции стационарных состояний четные, а при нечетных l они нечетные.