Мы уже рассмотрели свойства момента импульса одной частицы, который был связан с ее движением в пространстве и определялся как
= ´
Это есть орбитальный момент. Теперь мы хотим обобщить это понятие, для чего получим его несколько иным способом - из симметрийных соображений.
Рассматриваем систему нескольких частиц с волновой функцией
y(r1,...rN) º y(ra).
Произведем вращение системы координат на угол dj (вектор dj)направлен по оси вращения, а его модуль равен углу поворота). Это означает, что физическая система осталась той же самой, а приборы повернулись на угол dj. Радиусы- векторы изменятся:
r¢a = ra + dra , dra=dj´ra.
Преобразуются и значения y - функции, но так как в «новую» точку ra «придет» «старая» точка ra -dra,то должно быть
y¢(ra) = y(ra-dra).
Разлагая в ряд Тейлора, найдем:
y¢(ra) = y(ra-dra) = y(ra) -ra ay(ra) = (-ra a) y(ra)
= (-(dj´ra)a) y(ra) = (-djra a) y(ra) º
º (-djra ´ (-ia)) y(ra) = (- dj)y(ra).
Итак,
y¢(ra) = (-dj )y(ra), (*),
где
== (**)
В данном случае мы ничего нового не получили. Но важно, что момент импульса можно трактовать двумя способами. Согласно определению (*), оператор описывает преобразование волновой функции при малом вращении, т.е. является генератором вращения. Согласно определению (**) оператор выражается через координаты и импульсы так же, как в классической механике. Еще раз: в данном случае получилось, что это одно и то же. Но в общей ситуации определение (*) может оказаться более общим. Оператор (**) действует только на координаты волновой функции. Но у нее могут быть и другие какие-то переменные, на которые (**) не действует, а (*) - действует.
И такие дополнительные переменные действительно существуют у многих частиц (прежде всего у электрона). Это - спиновые переменные, являющиеся внутренними, врожденными степенями свободы частицы, никак не связанными с координатами. Обозначая их буквой s, запишем волновую функцию одной частицы как
y = y(r,s),
и в полной аналогии с рассмотренным частным случаем введем по определению оператор полного момента импульса как генератор вращений, т.е. преобразующий волновую функцию по закону
y¢(r,s) = (- dj)y(r,s).
Оператор можно представить в виде двух слагаемых:
=+.
Оператор есть рассмотренный ранее оператор орбитального момента, который действует только на координаты. Оператор есть новый оператор - оператор спина, который действует только на спиновые переменные s. Оператор спина можно определить как оператор ,действующий в системе покоя частицы. Значит это действительно внутренний, врожденный момент импульса частицы.
Найдем правила коммутации с операторами других физических величин. Пусть физическая величина F- векторная, и ей соответствует векторный оператор . Установим закон преобразования среднего значения Fпо произвольному состоянию y. С одной стороны имеем:
dF ºdáñy = áy¢êêy¢ñ-áyêêyñ »
áyê(+dj)(– dj)êyñ @ áyê[dj,]êyñ.
С другой стороны, как и для всякой векторной величины,
dF = dj´F = djáyêêyñ = áyêdj´êyñ.
Сравнение дает
[,dj] = idj´.
Проектируем на ось 1:
[1,dj11+dj22 + dj33] = i(dj23-dj32).
Сравниваем коэффициенты при dj1, а потом при dj2 :
[1,1]=0, [1,2] = i3.
Остальные случаи получаются проектированием на оси 2 и 3, или циклической перестановкой индексов в выписанных соотношениях:
[j,k] = iejkl l.
В частности, полагая =,получим коммутационные соотношения для компонентов самого момента:
[j,k] = iejkll.
Так как =+, [,]=(действуют на разные переменные) и
[j,k] = iejkll
то для спиновых операторов получаем те же коммутационные соотношения, что и для орбитальных:
[j,k] = iejkll.
Если оператор F-скалярный, то абсолютно аналогичные рассуждения, основывающиеся на том, что при вращении dF = 0, дают
[,k] = .
В частности, для квадратов полного момента и спина получаем
[k] = Þ [2,k]=