ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Получим закон гармонических колебаний на примере механического движения механических колебаний. Это вид колебаний, при котором тело поочерёдно и многократно совершает отклонения от своего положения равновесия в одну и другую сторону.
Рассмотрим колебания пружинного маятника вдоль горизонтальной оси при отсутствии силы сопротивления. Пружинный маятник представляет собой массивный шарик массой m, прикрепленный к пружине с ничтожно малой массой и жесткостью k. Другой конец пружины закреплен неподвижно. Если вывести шарик из равновесия и отпустить, то под воздействием силы упругости деформированной пружины система пружина–шарик придет в колебательное движение. Положение шарика на оси будем определять смещением s, т.е. расстоянием от положения равновесия до шарика (рис.1). Наша цель решить основную задачу механики – найти ответ на вопрос: где будет находиться тело в произвольный момент времени t, т.е. найти вид функции s = f(t)?
Примем за начало отсчета точку 0, в которой находится центр шарика в равновесном состоянии системы, т.е. при отсутствии деформации в пружине. Пусть в момент времени t шарик находится на расстоянии s от положения равновесия. Характер движения в данный момент времени определяется равнодействующей приложенных к шарику сил: 
. Т.к. трение по условию отсутствует, а сила тяжести 
перпендикулярна стержню, то характер движения будет определяться только силой упругости деформированной пружины:
. (1)
В соответствии со 2-ым законом Ньютона эта сила сообщает шарику ускорение 
, тогда в скалярном виде (1) можно записать:
, (2)
но т.к. a = d2s /dt2, то
. (3)
Разделим правую и левую часть (3) на m и обозначим k/m = 
. Сгруппировав все члены в левой части равенства, получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
или 
. (4)
Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение: к2 +
= 0, корни которого к1,2 = ±iω0 – мнимые числа. Тогда общим решением (4) будет:
s = С1cosω0t + C2sinω0t. (5)
Для любых С1 и С2 всегда можно подобрать другие произвольные постоянные А и φ0 такие, что С1 = Аsin φ0,1 а С2 = Аcosφ0,1, Тогда общее решение (5) примет вид:
s = А(sin φ0,1·cosω0t + cosφ0,1·sinω0t) = Аsin(ω0t + φ0,1). (6)
Если выражения для С1 и C2 поменять местами (С1 = Аcosφ0,2 а С2 = Аsin φ0,2), то общее решение будет иметь вид:
s = А(cos φ0,2·cosω0t + sinφ0,2·sinω0t) = Аcos(ω0t + φ0,2). (7)
Данные функции (6) и (7) и есть искомые кинематические уравнения гармонического колебания. Аргумент этой функции (w0t + φ0) называется фазой колебания; j0 – постоянная составляющая фазы называется начальной фазой; 
– собственная циклическая (круговая) частота колебаний данного пружинного маятника (
, 
, тогда 
); А – амплитуда колебаний, в данном случае максимальное значение смещения s. В общем случае, амплитуда А – это наибольшее значение величины, изменение которой с течением времени выбрали для описания изучаемых колебаний. Графики гармонического колебания представляют собой синусоиды (рис.2):
Получим уравнения, описывающие изменения скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания. Пусть s = Аcos(ω0t + φ0), тогда:
, (8)
. (9)
Как видно, скорость и ускорение тоже изменяются по гармоническим законам, но скорость опережает по фазе смещение на p/2, а ускорение на p (рис.3), т.е. ускорение находится в противофазе со смещением. В целом, тела, на которые действуют равнодейству-ющие вида F = -ks (такие силы называются квазиупругими), будут совершать гармонические колебания.
Рассмотрим процесс колебательного движения с энергетической точки зрения. Смещая тело из положения равновесия, мы деформируем пружину, сообщая тем самым системе запас потенциальной энергии. Отпустив тело, мы даем ему возможность двигаться к положению равновесия. При этом потенциальная энергия системы превращается в кинетическую. В момент прохождения положения равновесия потенциальная энергия полностью превращается в кинетическую. Продолжая движение по инерции, тело опять деформирует пружину, т.е. кинетическая энергия начинает превращаться в потенциальную. В момент, когда кинетическая энергия полностью превра
тится в потенциальную, смещение достигнет амплитудного значения, тело остановится и начнет двигаться обратно. Опять потенциальная энергия будет превращаться в кинетическую и т.д. (рис.4). Т.о., с точки зрения энергетической, механическое колебание – это процесс многократных, последовательных превращений потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
, (10)
, (11)
, (12)
т.е. полная энергия системы величина постоянная.