Радиус вектор, перемещение, траектория, путь. Вектор скорости, модуль вектора скорости. Уравнение пути

 

Начнем изучение механики с механики материальной точки. Положение точки удобно задать в прямоугольной системе координат. Система координат должна быть определенным, известным способом связана с телами отсчета. Для простоты будем рассматривать плоское движение, т.е. двумерную систему координат. Положение точки определяется координатами xи y.Вектор проведенный из начала координат в точку называется радиус-вектором точки (рис.2.1). Из рисунка 2.1 видно, что проекции вектора r на оси координат равны:

;(2.1)

( В дальнейшем для упрощения орты на чертежах изображать не будем). При движении точка “описывает” некоторую линию она называется траектори-ей. Длина траектории называется длиной пути (или короче - путь). Вектор, соединяющий начальное положение точки ( положение в момент времени ) и конечное ( в момент времени ) называется перемещением. На рисунке 2.1 это вектор D:

Средним вектором скорости за время называется вектор равный:

(2.2)

Мгновенной скоростью называется величина равная

(2.3)

Таким образом, мгновенная скорость равна производной от радиус-вектора по времени. Т.к. при вектор стремится установиться по направлению касательной (рис. (2.2)), то из (2.2) и (2.3) следует, что вектор направлен по касательной к траектории.

Подставим в (2.3) выражение (2.1)

(2.4)

 

 

Выразим вектор через его проекции , :

(2.5)

Из сравнения уравнений (2.4) и (2.5) видно, что проекции вектора скорости равны соответствующим производным от координат:

; (2.6)

Найдем модуль вектора скорости, исходя из (2.3) :

Из рис. (2.2) видно, что модуль вектора D, т.е. его длина, стремиться к длине дуги траектории, которая “ограничивает“ вектор. Следовательно, при , т.е. равен пути, которую проходит частица за время Dt. Таким образом, получаем:

(2.7)

Модуль вектора скорости равен производной от пути по времени. Модуль вектора скорости можно так же найти, зная его проекции
(рис. 2.3).

 

S

за время

 

Рис.2.3

 

Выразим путь ,предполагая, что известна скорость V(t) (рис.2.3). Интервал времени от до разобьем на малые промежутки . Тогда из (2.7) следует:

Весь путь S равен :

 

Чем меньше все промежутки , тем точнее мы найдем путь:

(2.8)

 

Отметим, что уравнение (2.8) можно получить просто математически из (2.7): dS = V(t) dt , проинтегрируем это равенство, считая, что при S = 0, а при путь равен S:

. Т.к., то получим уравнение (2.8)

Из свойств интегралов следует, что путь равен площади под графиком скорости.

 

Пример. Равномерным движением называется такое движение, при котором модуль скорости V постоянен (не меняется). Если V = const , то в интеграле (2.8) V можно вынести за знак интеграла:

( если , а ).