А. Вывод формул для тангенциального и нормального ускорений.

R   r

Направим единичный векторпо направлению скорости . Тогда

= V (3.1а)

На рис.3.1а показаны вектора и скорости для двух положений точек на криволинейной траектории. Подставим (3.1а) в (3.1).

(3.2а)

Первое слагаемое в (3.2а) есть вектор :

Следовательно, направлен так же как вектор , т.е. по направлению вектора , т.е. по касательной. Т.к. вектор - единичный, то

Второе слагаемое в (3.2а) есть нормальное ускорение:

(3.3а).

Найдем производную от единичного вектора ( рис. 3.2а).

По определению : (3.4а).

Направим единичный вектор так же как вектор D. Тогда:

, (3.5а)

где D- длина вектора D. Учитывая, что Dt®0, т.е. Dj - мал, длину Dt можно найти как длину дуги окружности с радиусом ==1 и центральным углом Dj (рис 3.2а): D=Dj = Dj (3.6а).

Подставим (3.5а) и (3.6а) в (3.4а) :

При Dt®0 направление вектора стремиться к направлению, совпадающему с направлением радиуса кривизны R :

при Dt®0 (3.7а)

Из рис. 3.1а и 3.2а видно

Подставим Dj в (3.7а) :

(3.8а).

Учитывая (3.8а) найдем из (3.3а) :

Т.е. вектор направлен по радиусу кривизны и равен по модулю .