Глава 5. Колебания. Волны

Глава 5. Колебания. Волны

Колебания. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Кинематическое уравнение гармонического колебания. Амплитуда, фаза, частота, период колебаний

 

Колебаниями называются процессы, отличающиеся определенной степенью повторяемости (например: качание маятника, колебания струны, изменение тока в колебательном контуре и т.п.).

Свободными или собственными колебаниями называют такие колебания, которые происходят в системе, представленной самой себе, после того как ее вывели из положения равновесия.

При вынужденных колебаниях на систему действует внешняя периодически меняющаяся сила. Частный случай вынужденных колебаний - автоколебания: моменты действия вынуждающей силы задает сама система.

В § 16 было показано, что вблизи положения равновесия, т.е. минимума потенциальной энергии, движение частицы имеет колебательный характер. Вберем нулевой уровень отсчета и начало координат так, что бы минимум и соответствовал точке (рис.17.1).

Вблизи минимума, т.е. при достаточно малых x, любая функция имеет вид параболы. Следовательно, для достаточно малых x

 

~x² (17.1)

Если выполняется условие (17.1), движение называют малыми колебаниями. Обозначим коэффициент пропорциональности в соотношении (17.1) k/2, где “” некоторая постоянная. Тогда

(17.2)

Из уравнения (13.3) получим:

(17.3)

Следовательно, вблизи минимума потенциальной энергии на частицу действует такая же сила, как сила упругости (уравнение (5.3)). Ее называют квазиупругой силой.

Запишем второй закон Ньютона:

. Т.к.

то (17.4)

Величина ; обозначим ее :

(17.5)

Подставим (17.5) в (17.4):

(17.6)

Уравнение (17.6) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Решением дифференциального уравнения (17.6) являются функции, имеющие вид:

(17.7а)

где A,- некоторые константы (то, что (17.7а) решение (17.6) можно проверить непосредственной подстановкой). Уравнения (17.7а) называются кинематическим уравнением гармонических незатухающих колебаний. (Отметим, что рассматриваемые колебания являются собственными)

Поскольку cosj = sin(j - p/2), то от первого уравнения (17.7а) всегда можно перейти ко второму и наоборот. В дальнейшем, для определенности, будем использовать первое из уравнений (17.7а):

(17.7)

В уравнении (17.7) x- величина отклонения от положения равновесия; - называется циклической частотой; - называется фазой колебания (измеряется в радианах); при t = 0 j = a, a - называется начальной фазой. Т.к. максимальное значение cosj = 1, то из (17.7) получим модуль максимального значения отклонения от положения равновесия :

T Рис 17.2 T t t1 t2 A A X

Величина А - называется амплитудой колебания. На рис.(17.2) показан график гармонических колебаний (т.е. график уравнения (17.7)).

Промежуток времени T, разделяющий два положения, у которых фаза отличается на 2 p называется период колебания (рис 17.2). Другими словами период - это время одного полного колебания. Из определения T получим:

;

 

(17.8)

Величина обратная периоду называется частотой колебания (17.9)

Из ур-ий (17.8), (17.9) получим единицы измерения величин T и n:

; (Герц)

 

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях. Энергия гармонических колебаний

Скорость Vx равна: (18.1) Подставим (17.7) в (18.1):