Вращательное движение абсолютно твёрдого тела

Механика абсолютно твёрдого тела.

Вращательное движение абсолютно твёрдого тела.

План

1. Центр масс абсолютно твёрдого тела, центр инерции, движение центра масс, теорема о движении центра масс

Кинетическая энергия вращающегося тела. Момент инерции материальной точки и тела

Момент инерции сплошного диска

Момент силы

Момент импульса

5. Уравнение вращательного движения твёрдого тела

Гироскопы

Разбив тело на элементарные массы его можно представить как сумму материальных точек; – радиус вектор,… Центр масс твёрдого тела – точка с радиусом-вектором = ;

Момент инерции играет роль массы при вращательном движении, то есть это мера инертности тела.

Y= = ;

Момент инерции сплошного диска.

Рисунок

Y=dm;

ρ – поверхностная плотность(кг/м³)

возьмём тонкое кольцо:

dm=ρds;

ds=2πrdr → dm=ρ2πrdr;

Y==2πρ=2πρ│R/0 =│R/0 = = ;

Сплошной цилиндр = ;

Кольцо, полый цилиндр Y= m;

Момент силы, момент импульса.

Момент силы относительно точки опоры можно представить в виде векторного произведения радиус-вектора точки приложения силы на силу.

= [×];

Векторнаправлен ┴ плоскости, в которой лежати, а направление векторапо правилу правого винта.

||= rF ||;

Когда сила приложена к одной из точек твёрдого тела, векторхарактеризует способность силы вращать тело вокруг точки О, относительно которой он берётся. Поэтому момент силы называется также вращающим моментом.

×];

= [] + [] = [×];

= [×]= ∑;

Момент импульса материальной точки относительно точки О называется векторная величина:

=[×],

где- радиус-вектор, определяющий положение частицы относительно точки О , а=– импульс частицы.

||= rP;

Векторперпендикулярен плоскости, в которой лежат вектораи, а направление его по правилу правого винта

L=Yw по аналогии с P=mv

5 Уравнение вращательного движения твёрдого тела.

Продифференцируем по t=[×]:

= [×] + [×] ;=;

=,║,= 0;

= [×];

=;

Производная по времени момента импульса материальной точки О равна моменту действующей силы относительно точки О .

Для системы материальных точек:

|=|;

Для твёрдого тела как и для системы материальных точек: производная момента импульса по времени равна суммарному моменту внешних сил, действующих на тело.

=∑ _внешн_.;

Это уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

d= dt;

Изменение момента импульса равно импульсу момента всех сил
M=Yξ; L=Yw; M= = Y = Yξ; Поступательное движение …
Гироскоп
У симметричного тела направление совпадает с . Гироскоп вращается относительно z сила втечение dt . Момент импульса получает приращение: d = dt , где - момент силы относительно точки О.
Наряду с прецессией, возникает нутация оси, размахи у быстро вращающихся волчков малы, ею пренебрегают.

Когда угловая скорость вращения волчка становится меньше определённой величины, он теряет устойчивость и падает.

У медленно вращающегося волчка нутация зыбка. На морских судах и винтовыз самолётах имеется много вращающихся частей: вал двигателя, ротор турбины…

При разворотах судна и качке на подшипники действует гироскопическая сила, это учитывают.

Угловая скорость прецессии оказывается пропорциональной величине внешнего момента силы.
Гироскоп обладает рядом интересны свойств, наблюдаемых у небесных тел, роторов турбин, установленных на судах и т.д… Свойства гироскопа проявляются при выполнении двух условий: 1) ось вращения…
Гироскопический эффект используют в технике (использование кардановой подвески).

При свободной оси гироскоп обладает двумя основными свойствами:

Если ось вращения направить на какую-нибудь звезду, то при любых случайных толчках она будет продолжать указывать на эту звезду, меняя свою ориентацию относительно других осей.

2) Под действием силы, стремящейся изменить положение оси, она будет отклоняться внаправлении перпендикулярном действию силы, при этом возникает вращение с постоянной угловой скоростью – прецессия.