Одномерные колебания однородной струны

Рассмотрим распространение продольных волн в однородной неограниченной струне с плотностью ρ. Движение каждого из элементов струны происходит лишь в направлении ее длины.

Выделим бесконечно малый элемент струны толщиной (рис.6.1). При распространении продольной волны на этот элемент действуют упругие силы: слева , справа , где - площадь поперечного сечения струны, σ – нормальное упругое напряжение. Результирующая этих сил . Под действием силы F элемент испытывает смещение. Обозначив u(x, t) смещение центра масс элемента , запишем по второму закону Ньютона уравнение его движения:

.

Здесь - масса элемента , - его ускорение. Разделив на S, имеем:

.

При x0 получаем . Согласно закону Гука , где Е - модуль упругости (модуль Юнга); - деформация в точке, тогда

.

 

 

Для смещения получаем уравнение

 

. (6.1)

Это обычное волновое уравнение для упругих волн, распространяющихся вдоль струны. Решение этого уравнения будем искать в виде бегущей продольной монохроматической волны: , где - амплитуда колебаний; t-время, -круговая частота, -волновое число.

Подставив это решение в (6.1), получим:

-

- для упругой волны, распространяющейся в неограниченно протяженной струне, частота колебаний линейно зависит от волнового числа (рис.6.2). При этом скорость распространения волны для данного материала величина постоянная, т.к. Е и ρ зависят только от материала. Так для железной струны , , .

 

 

6.2.Упругие волны в монокристаллах

Процессы распространения упругих волн в кристаллах много сложнее процессов распространения электромагнитных волн. Электромагнитные волны всегда поперечные, упругие (звуковые) волны могут быть как поперечными, так и продольными. Продольные волны - это волны сжатий и растяжений, поперечные - волны деформаций сдвига. В каждом заданном направлении в кристалле распространяются в общем случае три поляризованные упругие волны с разными скоростями.

Рассмотрим распространение упругих волн в кристалле, плотность которого ρ. Внутри кристалла выберем элементарный параллелепипед с ребрами , параллельными кристаллографическим осям координат x,y,z (рис.6.3).

При движении упругой волны по кристаллу каждая грань элементарного параллелепипеда под действием напряжения совершает небольшие перемещения. Для поступательного перемещения элементарного параллелепипеда при распространении упругой волны вдоль направления х имеем следующее: на грань х действует напряжение , на параллельную ей грань - напряжение . Результирующая сила, действующая в направлении х, равна: . Другие силы, действующие в направлении х , вызваны изменением внутри параллелепипеда напряжений и , так что в направлении х результирующая сила равна

.

Пусть -компоненты вектора смещения центра масс параллелепипеда. Уравнение движения параллелепипеда в направлении х под действием напряжений имеет вид:

.

Оно имеет три решения.

Первое решение , оно описывает продольную волну, скоскорость распространения которой в направлении [100] (т.е. в направлении оси х) равна .

Второе решение описывает поперечную волну (волна сдвига), волновой вектор которой направлен вдоль ребра куба и совпадает с направлением х, эта волна дает смещение υ по направлению оси y: , скорость распространения ее в направлении [100]

,

где c_y - упругая постоянная поперечной волны в направлении [100].

 

Третье решение - это волна сдвига, волновой вектор которой направлен по оси х, смещение w происходит вдоль оси z:

,

скорость распространения ее в направлении [100] , где c_z-упругая постоянная.

 

Таким образом, для одного и того же волнового вектора , параллельного направлению [100], возникают три упругие волны - одна продольная и две поперечные. При этом две независимые волны сдвига имеют одинаковые скорости. В случае произвольного вектора имеют место три поляризованные волны, распространяющиеся с разными скоростями, которые не зависят от частоты колебаний. При этом , чем меньше плотность и чем меньше жесткость кристалла, тем выше скорости распространения упругих волн. Круговая частота ω~, т.е. результат тот же, что и для упругой струны.