Колебания одноатомной линейной цепочки

Рассмотрим цепочку из N одинаковых атомов с массой M и межатомным расстоянием a, атомы могут перемещаться вдоль прямой линии. Каждый атом в такой системе обладает одной степенью свободы. Эта модель хорошо описывается примитивной ячейкой Браве, в которой положение атомов определяется вектором трансляции , где n-целое число, указывающее положение равновесия атомов в цепочке.

Будем считать, что в момент времени t=0 смещен атом с номером n=0 от положения равновесия на расстояние (рис.6.4). Атомы связаны друг с другом, поэтому возбуждение распространится по цепочке в виде волны сжатия, и все остальные атомы сместятся от положения равновесия.

Пусть и_n(x, t) - смещение в какой-то момент времени t n-ого атома относительно его положения равновесия в точке с координатой x_n=na. Если смещения атомов из положений равновесия малы по сравнению с расстоянием а, то силы межатомного взаимодействия можно считать квазиупругими, пропорциональными смещению. Атомы в цепочке как бы связаны между собой упругими пружинками, каждая из которых характеризуется упругой постоянной С, а смещение u_n описывает колебания атома вблизи положения равновесия.

Найдем уравнение движения n-ого атома. Будем считать, что силы короткодействующие, и рассматриваемый атом взаимодействует только с (n+1) и (n-1) атомами. Взаимодействие n-ого атома с другими (n-2, n+2 и т.д.) пренебрежительно мало. На n-ный атом действуют квазиупругие силы, результирующая которых равна:

,

где β-силовая постоянная, которая связана с упругой постоянной .

Уравнение движения n-ого атома:

, (6.2)

где M-масса атома.

 

Найдем нормальные моды колебаний, т.е. такие типы движения, при которых все атомы колеблются во времени с одной и той же частотой ω по закону exp(-ωt). Будем искать решение уравнения (6.2) в виде

,

здесь и₀ определяет смещение атома с номером n=0 в момент t=0, -волновое число;

ω - циклическая частота данной моды.

Из этого решения ясно, что вид нормальной моды полностью определяется заданием смещения единственного атома с номером n=0. После подстановки этого решения в (6.2) имеем:

- каждому значению волнового числа k соответствует определенное значение ω² , причем ω² является четной функцией аргумента k. Дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в линейной цепочке из одинаковых атомов (рис.6.5) имеет вид:

.

 

Частота колебаний n-ого атома не зависит от n, т.е. все атомы цепочки колеблются с одинаковой частотой ω , которая принимает максимальное значение при , т.е. при , при этом .

Таким образом, отличие дискретной цепочки от непрерывной состоит в том, что частота ω и волновое число k не пропорциональны. Это связано с дисперсией волн. Короткие волны вследствие инерции, обусловленной массами частиц, распространяются медленнее, чем длинные волны. Наличие дисперсии волн проявляется в отклонении кривой от линейной зависимости, справедливой для упругой струны (прямая на рис.6.5). Цепочка из одинаковых атомов ведет себя в отношении распространения акустических волн как упругая струна только при .

Скорость распространения акустической волны вдоль дискретной цепочки в отличие от скорости распространения волны вдоль упругой струны зависит от длины волны:

.

Фазовая скорость упругой волны в среде с дискретной структурой равна

,

групповая скорость , где υ_зв- скорость звука в данной среде.

При малых значениях волнового числа k (рис.6.6) фазовая и групповая скорости совпадают и равны скорости звука: . Из рис.6.6 видно, что групповая скорость, с которой переносится энергия колебаний атомов в цепочке, для самых коротких длин волн, т.е. для , обращается в ноль. Это означает, что такие моды колебаний характеризуют в цепочке стоячие волны вида

,

которые являются результатом сложения двух бегущих волн с равными амплитудами, частотами и длинами, но распространяющихся в противоположных направлениях.

Состояние атомов дискретной цепочки описывается уравнением движения линейного гармонического осциллятора. Полная энергия такого осциллятора складывается из его кинетической и потенциальной энергий: , где – нормальная координата, М – масса осциллятора.

В квантовой механике гармонический осциллятор описывается оператором Гамильтона , где - оператор импульса, - оператор координаты.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид:

,

Решением уравнения Шредингера являются возможные (собственные) значения энергии:

,

n=0,1…-главное квантовое число. Энергия осциллятора имеет лишь дискретные значения.

Член представляет нулевую энергию. Он показывает, что даже при Т=0 К атомы не находятся в положениях равновесия, а совершают колебания.

Таким образом, полная тепловая энергия колебаний атомов в цепочке складывается из энергии нормальных колебаний, ведущих себя подобно линейным гармоническим осцилляторам с собственной частотой ω_κ .