Квадратные, треугольные, диагональные, симметрические матрицы. Единичная матрица.

Занятие 1. Матрицы. Операции над матрицами.

1.1. Операции с матрицами: равенство матриц; умножение матрицы на число; сложение матриц; перемножение матриц. Основные свойства операций сложения и умножения матриц.

1.2. Транспонирование матрицы.

1.3. Квадратные, треугольные, диагональные, симметрические матрицы. Единичная матрица.

1.4. Возведение квадратной матрицы в натуральную степень.

Сначала вспомним определение матрицы. Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов, записанная в круглых скобках или двойных прямых чертах.

Пример 1.

1) - матрица размером , содержащая 3 строки и 2 столбца.

2) - матрица размером .

3) - матрица размером . Матрицу с одним столбцом часто называют вектор-столбцом.

4) - матрица размером . Матрицу с одной строкой также называют вектор-строкой.

Элементы матрицы обозначаются , где первый индекс означает номер строки, - номер столбца, на пересечении которых стоит соответствующий элемент. Так в примере 1 для матриц имеем

, где .

1.1. Операции над матрицами.

1.1.1. Равенство матриц. Матрица равна матрице , если у обеих матриц одинаковые размеры и , т.е. совпадают соответствующие элементы этих матриц для всех возможных наборов индексов .

Пример 2.

1) .

2) , т.к. .

3) , т.к. матрицы имеют различные размеры.

1.1.2. Умножение матрицына число происходит по правилу:

, где .

Пример 3.

1) .

2) .

1.1.3. Сложение матриц и возможно только для матриц с одинаковыми размерами и производится по правилу: , где .

Пример 4.

1) .

2) .

Операции сложения матриц и умножение матриц на число обладают следующими свойствами:

- свойство коммутативности сложения матриц;

- свойство ассоциативности сложения матриц;

- первый закон дистрибутивности;

- второй закон дистрибутивности.

1.1.4. Нахождение разности матриц определяется с помощью рассмотренных выше операций умножения матрицы на число и сложения матриц: . Аналогично, .

Пример 5.

1) .

2) .

1.1.5. Перемножение матриц.Матрицу можно умножить слева на матрицу (или матрицу можно умножить справа на матрицу ) и, тем самым, найти произведение только тогда, когда число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы . Если под матрицами написать их размеры, то

, (1)

где

. (2)

Формула (1) показывает, какие размеры будет иметь матрица , а формула (2) определяет правило, по которому находятся элементы матрицы . Говорят также, что элемент матрицы есть результат «скалярного произведения» -й строки матрицы на -й столбец матрицы .

Пример 6.Найти и , если .

1) .

(скалярному произведению 1-й строки матрицы на 1-й столбец матрицы)=

(скалярному произведению 1-й строки матрицы на 2-й столбец матрицы)=

(скалярному произведению 2-й строки матрицы на 1-й столбец матрицы)=

(скалярному произведению 2-й строки матрицы на 2-й столбец матрицы)=

Следовательно, .

(скалярному произведению 1-й строки матрицы на 1-й столбец матрицы )=

(скалярному произведению 1-й строки матрицы на 2-й столбец матрицы )=

(скалярному произведению 1-й строки матрицы на 3-й столбец матрицы )=

(скалярному произведению 2-й строки матрицы на 1-й столбец матрицы )=

(скалярному произведению 2-й строки матрицы на 2-й столбец матрицы )=

(скалярному произведению 2-й строки матрицы на 3-й столбец матрицы )=

(скалярному произведению 3-й строки матрицы на 1-й столбец матрицы )=

(скалярному произведению 3-й строки матрицы на 2-й столбец матрицы )=

(скалярному произведению 3-й строки матрицы на 3-й столбец матрицы )=

Следовательно, .

Операции умножения матриц и сложения матриц имеют следующие свойства:

- свойство коммутативности умножения матриц в общем случае

не выполняется(это видно уже из примера 6);

- свойство ассоциативности умножения матриц;

- первый закон дистрибутивности;

- второй закон дистрибутивности.

1.2. Транспонирование матрицы. Транспонирование матрицы обозначается и означает операцию переписывания строк (столбцов) матрицы в виде соответствующих столбцов (строк).

Пример 7.

1) .

2) .

3) .

Отметим, что .

1.3. Квадратные, треугольные, диагональные, симметричные матрицы. Единичная матрица.

Матрица называется квадратной, если число строк и столбцов в ней одинаково.

Примеры квадратных матриц:

1) - матрица с размерами - квадратная матрица 1-го порядка;

2) - матрица с размерами - квадратная матрица 2-го порядка;

3) - квадратная матрица 3-го порядка.

Элементы квадратной матрицы -го порядка образуют главную диагональэтой матрицы. Квадратная матрица называется треугольной, если под ее главной диагональю (или над ее главной диагональю) все элементы равны нулю.

Примеры треугольных матриц:

, - верхне-треугольные матрицы 2-го и 3-го порядка соответственно;

- нижне-треугольные матрицы 3-го и 4-го порядка соответственно.

Квадратная матрица называется диагональной,если все элементы при .

Примеры диагональных матриц:

, , - диагональные матрицы 2-го, 3-го и 4–го порядка соответственно.

Для диагональных матриц выполнен закон коммутативности умножения матриц .

Квадратная матрица называется симметрической, если или другими словами .

Например,

, симметрические матрицы.

Единичными матрицами называются диагональные матрицы, у которых все диагональные элементы равны единице. Эти матрицы обычно обозначаются буквой .

Примеры единичных матриц:

, , - единичные матрицы 2-го, 3-го и 4–го порядка соответственно. Эти матрицы получили такое название в связи с тем, что для любой матрицы размера выполнены равенства и . Если же - квадратная матрица порядка , то .