Определитель, содержащий нулевую строку (или нулевой столбец) равен нулю.

Например,

.

. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на ее главной диагонали.Напомним: квадратная матрица является треугольной, если все ее элементы, стоящие под (или над) главной диагональю равны нулю.

Например,

, ,

.

. Если какая-то строка (столбец) определителя имеет общий множитель , то число можно поставить множителем перед определителем, уменьшив при этом соответствующую строку (столбец) в раз.

Например,

,

В первом определителе множитель 2 вынесен из второй строки.

Во втором определителе множитель 4 вынесен из третьего столбца.

С помощью свойств вычисление любого определителя можно свести к вычислению определителя треугольной матрицы.

Пример 7. Вычислить определитель .

Решение.

Здесь при вычислении заданного определителя были проведены следующие преобразования.

1) В 1-м определителе (с индексом 1 внизу справа) ко 2-му столбцу прибавили 1-й столбец, умноженный на .

2) В полученном 2-м определителе (с индексом 2 внизу справа) поменяли местами 1-й и 2-й столбцы. При этом изменился знак.

3) В полученном 3-м определителе (с индексом 3) поменяли местами 2-ю и 4-ю строки. Опять поменялся знак.

4) В полученном 4-м определителе (с индексом 4) к 3-й строке прибавили 2-ю строку и к 4-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на число .

5) В полученном 5-м определителе (с индексом 5) к 3-й строке прибавили 4-ю строку.

6) В полученном 6-м определителе (с индексом 6) к 4-й строке прибавили 3-ю строку, умноженную на число 4.

7) Полученный определитель (с индексом 7) вычислили, пользуясь свойством .

В заключение отметим следующие факты:

1. Определители матриц и равны, т.е. .

2. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей, т.е. .