Если функции α(х) и β(х) являются бесконечно малыми при х®а, и если α(х) ~ γ(х), β(х) ~ η(х), то .
Пример 5. Вычислить предел, используя принцип замены эквивалентных:
.
Пример 6. Найти .
Решение. Заменим ax – 1 ~ x · lna. Тогда .
Определение 3. Если отношение двух бесконечно малых величин само бесконечно мало (), то α(х) называется величиной более высокого порядка малости, чем β(х), а β(х) – величиной более низкого порядка малости, чем α(х).
В этом случае записывают: , где символ «о» (символ Ландау) называется «о»-малое.
Из определения предела для следует, что в некоторой δ-окрестности точки а, или . Говорят, что α(х) имеет более низкий порядок роста, чем β(х). Тогда запишем последнее выражение в виде . Рассматривая функцию α(х) как бесконечно малую более высого порядка по сравнению с β(х) при х → а, можем пренебречь знаками обеих функций: изменение знака не приводит к изменению порядка функции. Поэтому модули можно снять, и тогда: .
Пример 7., поэтому х = о(4) при х → 0.
Свойства символа «о»-малое
1. .
2. , где с = const ≠ 0.
3. Если , то .
4. .
5. Если , то . Последняя запись означает, что к функции β(х) прибавляется некоторая другая функция, о которой известно только то, что она является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с β(х).
Если две различные функции α(х) и β(х) удалось представить в виде
,
,
то это не означает, что α(х) = β(х), так как под видом о(γ(х)) в этих двух случаях могут скрываться разные бесконечно малые функции.
С использованием символа «о» запись для эквивалентных можно представить в виде асимптотического равенства, например:
sin(x) = x + o(x) при х → 0,
(1 + х)p – 1 = px + o(x) при х → 0.
Пример 6. Докажем последнее асимптотическое равенство, т.е. надо показать, что .
Решение. Положим (1 + х)p – 1 = y. Очевидно, что y → 0 при х → 0.
Тогда (1 + х)p = y + 1,
откуда
p·ln(1 + х) = ln(y + 1).
Поэтому