1-й замечательный предел: .
Означает, что sinх ~ х (эквивалентные бесконечно малые) при достаточно малых х, т.е. при х®0.
Используется при вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции.
Пример 1. Найти .
Решение. При подстановке x=0 получим неопределенность типа [0/0]. Чтобы воспользоваться 1-м замечательным пределом, заменим , умножим числитель и знаменатель на 3х и 5х и используем свойства пределов:
.
2-й замечательный предел: .
Если положить , то 2-й замечательный предел запишется в виде .
Число e – иррациональное; 2 < e < 3 (более точно e ≈ 2,718281…).
Пример 2. Найти .
Решение. Обозначим x=2t. Очевидно, что t®¥ при x®¥. Имеем .
Согласно теореме о пределе сложной функции, 2-й замечательный предел можно записать в виде: .
или, если положить , то .
Пример 3. Найти предел
Решение.