В понятии предела при х → х0 считается, что х ≠ х0. Если же функция существует в этой точке х0, то это обстоятельство в определении предела не учитывается.
Теперь рассмотрим случай, когда f(х0) существует, причем .
Итак, пусть функция у = f(x) определена в точке х = х0. Тогда говорят, что функция непрерывна, если для точек х, близких к точке х0, значения f(x) и f(х0) также близки друг к другу. Смысл утверждения «если х близко к х0, то f(x) близко к f(х0)» можно записать с помощью символов: «если х → х0, то f(x) → f(х0)».
Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если предел этой функции при х → х0 совпадает со значением функции в этой точке: .
Таким образом, функция f(x) является непрерывной в точке х0, если выполняются три условия:
1) f(x) существует в точке х0;
2) f(x) имеет предел в точке х0;
3).
Определение непрерывности функции позволяет менять местами символы предела lim и функции f. Действительно, так как , то для непрерывной в точке x = х0 функции можно записать: .
Это дает основание сформулировать следующее правило: Если функция f(x) непрерывна в точке х0, то при вычислении предела функции при х → х0 надо вместо х в выражение f(x) подставить х0. Полученное число и является пределом функции f(x) в точке х = х0.
Можно также сказать, что функция у=f(x) является непрерывной в точке х=х0, если в этой точке отсутствует разрыв функции. Рассмотрим несколько случаев.
1) Функция у=f(x) имеет односторонние пределы: конечный предел справа =f(х0+0) и конечный предел слева = f(х0 – 0). Допустим, что эти пределы равны, но значение функции в точке х = х0 не существует (эта точка на кривой у=f(x) «выколота»), т.е. f(х0 + 0) = f(х0 – 0) ≠ f(х0). Говорят, что функция в точке x = x0 имеет устранимый разрыв (можно эту точку в кривую «вставить») (рис.1).
Рис.1
Определение 2. Точка x = x0 – точка устранимого разрыва, если предел функции f(x) в этой точке существует, но функция в ней либо не определена, либо значение f(х0) функции в точке x0 не равно пределу функции в этой точке: .
Подобный разрыв можно устранить, если дополнить разрывную функцию до непрерывности так:
Пример 1. Функция f(x) = в точке x = 0 не является непрерывной, так как нарушено 1-е условие непрерывности – существование f(0), в самой точке x=0 эта функция не определена. Однако f(x) имеет предел, равный единице: . Поэтому точка x = 0 – точка устранимого разрыва. Этот разрыв можно устранить, если доопределить функцию в этой точке значением предела в ней, т.е. ввести новую функцию
Эта функция g(x) является непрерывной на всей числовой прямой.
Пример 2. Исследовать непрерывность функции в точке x = 0 (рис.2). В точке x = 0 эта функция не определена, значит, функция не является непрерывной. Точка x = 0 – точка устранимого разрыва, так как .
Рис.2
Пример 3. В точке x = 0 функция y = |sign x| не является непрерывной (рис.3). Первые два условия непрерывности выполнены, поскольку
f(0) = |sign(0)| = 0,
, (x = 0 – точка устранимого разрыва).
но нарушено 3-е условие: .
Рис.3
2) Пусть конечные пределы функции у = f(x) в точке x = x0 и справа, и слева существуют, но они не равны, т.е. f(х0 + 0) ≠ f(х0 – 0). Функция в этой точке делает «скачок» (рис.4). Точка x=x0 в этом случае называется точкой неустранимого разрыва 1-го рода.
Рис.4
Определение 3.Точка x = x0 – точка разрыва 1-го рода функции f(x), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы:
Пример 4.f(x) = sign x = (лат. signum – знак). Функция задана на всей числовой оси (-∞, ∞), а область ее значений состоит из трех чисел: -1, 0, 1 (рис.5). Стрелки означают, что полупрямые не достигают точек на оси ординат, так как при x = 0 значение функции определено по другому соответствию: f(0) = 0. То есть 1-е условие непрерывности соблюдается.
Рис.5
2-е условие непрерывности нарушено – в самой точке x = 0 не существует , хотя функция имеет конечные левый и правый пределы:
Сама же точка x = 0 является точкой разрыва 1-го рода функции sign x, поскольку пределы слева и справа не равны друг другу.
3) Определение 4. Точка x = x0 называется точкой разрыва 2-го рода функции f(x), если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен (рис.6).
Рис.6
Пример 5. Для функции f(x) = 1/х точка x = 0 – точка разрыва 2-го рода, поскольку .
Пример 6. Для функции f(x) = sin(1/х) точка x = 0 – точка разрыва 2-го рода, так как ни левого, ни правого предела функции в этой точке не существует.
Итак, точка x = x0 является точкой непрерывности функции у=f(x), если существуют конечные пределы справа и слева, и эти пределы равны значению функции в этой точке, т.е.
f(х0 + 0) = f(х0 – 0) = f(x0).
Если эти равенства не выполняются или хотя бы один из односторонних пределов не существует, то точка x = x0 – точка разрыва функции, причем:
1) если существуют односторонние пределы, но
f(х0 + 0) = f(х0 – 0) ≠ f(x0) или f(x) в точке x0 не определена, то x0 – точка устранимого разрыва или
f(х0 + 0) ≠ f(х0 – 0) = f(x0), то x0 – точка разрыва 1-го рода.
2) если хотя бы один из пределов f(х0 + 0) или f(х0 – 0) не существует или бесконечен, то точка x0 – точка разрыва 2-го рода.
Замечание 1. График непрерывной функции в точке рисуется при прохождении этой точки без отрыва ручки от листа бумаги.
Замечание 2. На языке (ε – δ) определение непрерывности повторяет определение предела, за исключением поведения функции в точке х0.
Определение 5. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ(ε) > 0, что для всех х из промежутка |х – х0| < δ выполняется неравенство |f(x) – f(x0)| < ε.
В кванторах это определение выглядит так:
.
Для доказательства непрерывности функции f(x) в точке х0 воспользуемся определением передела и 3-м условием непрерывности .
Обозначим х – х0 = Δx. Тогда условие непрерывности можно переписать:
.
По определению предела |f(x0 + Δx) – f(x0)| < ε.
Обозначим f(x0 + Δx) – f(x0) = α(х). Тогда |α(х)| < ε, а это означает, что α(х) есть бесконечно малая функция, т.е. .
Следовательно, доказательством непрерывности функции f(x) в точке х0 может служить равенство нулю предела
.
Отсюда сформулируем определение непрерывности на языке приращений.
Дадим значению аргумента х0 произвольное приращение Δх = х – х0. Тогда функция f(x) получит приращение Δу, определяемое как разность наращенного и исходного значений функции: Δу = f(х0 + Δх) – f(x0) = f(x) – f(x0) (рис.7).
Рис.7
Определение 6. Функция f(x) – непрерывная в точке x = x0, если она определена в этой точке, и бесконечно малому приращению аргумента Δх→0 соответствует бесконечно малое приращение функции Δу→0:
Определения 1 и 5 эквивалентны, поскольку фразы «если х → х0, то f(x)→f(х0)» и «если Δх = (x – x0) → 0, то Δу = (f(x) – f(x0)) → 0» равнозначны.
Определение 7. Функция f(x) – непрерывная на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [а, b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.
Теорема 1. Основные элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.
Поэтому можно считать, что для каждой основной элементарной функции ее область непрерывности совпадает с её областью определения D(f).
Пример 6. Показать, что функция у = х2 непрерывна в любой точке х0 числовой оси.
Решение: Составим разность f(х0 + Δх) – f(x0) = (х0 + Δх)2 – x02 и и возьмем её предел при Δх → 0:
Значит, функция у = х2 непрерывна в любой точке х0.
Теорема 2. Все элементарные функции непрерывны в областях их определения.
Пример 7. Доказать непрерывность функции у = sin х на всей области определения.
Решение. Составим разность sin (х + Δх) – sin х,
Это означает, что функция у = sin х непрерывна в любой точке х числовой оси.
Отсюда сформулируем правило: Если функция f(x) элементарна, и точка x0 принадлежит области определения этой функции, то при вычислении предела функции при х → х0 надо вместо х в выражение f(x) подставить х0. Полученное число и является пределом функции f(x) в точке х = х0:
Если f(x) – элементарна и х0 є D(f), то .
Замечание. Это правило верно лишь для элементарных функций. Непрерывность функции в любой точке области определения не гарантируется для неэлементарных функций. Так, функция у = [х], хотя и определена на всей числовой прямой, разрывна во всех целых точках. Другая неэлементарная функция – функция Дирихле, определенная на всей числовой прямой, имеет разрыв в каждой точке.