Реферат Курсовая Конспект
Часть ІІΙ. Теория вероятностей - раздел Механика, Часть ІіΙ. Теория Вероятностей. ...
|
Часть ІІΙ. Теория вероятностей.
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей.
Элементы комбинаторики.
Определение 1. Комбинаторика – это раздел математики, изучающий вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов.
Определение 2. Различные группы, составленные из каких – либо элементов, и отличающиеся одна от другой либо их порядком, либо элементами, называются соединениями.
Различают три вида соединений:
Перестановки;
Сочетания;
Предмет теории вероятностей.
В единичных случаях наступление многих явлений заранее предсказать нельзя, но если рассматривать их как массовые, однородные явления, то выявляются определенные закономерности.
Например, при подбрасывании монеты нельзя предсказать, какой стороной она упадет (орел или решка), при достаточно большом числе бросаний вскрывается закономерность: орел и решка выпадают приблизительно поровну.
Рождение близнецов - случайное событие, по при изучении этого события как массового, установлена закономерность: на каждые 1000 родов приходится в среднем 12 двойняшек и на каждые 8000 родов-1 тройня.
Устойчивость обнаруживают все массовые однородные явления: всхожесть семян, урожайность культур, плодовитость и продуктивность животных, число поражений мишени при большом числе выстрелов из одного и того же орудия и т.д.
Изучение закономерностей однородных массовых случайных явлений составляет предмет теории вероятностей и основанной на ней математической статистики.
Основные понятия теории вероятностей. Пространство элементарных событий.
Испытание - это опыт, наблюдение, эксперимент.
Событие – это результат (исход) испытания.
Пример: сев зерен – испытание; всходы – событие
События обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, … .
Определение 3. Событие называется случайным, если при данных испытаниях оно может произойти или нет; достоверным, если обязательно произойдет при данных испытаниях; невозможным, если при данных испытаниях никогда не произойдет.
Случайные события:
Пример: Бросают игральную кость.
Выпало 6 очков – событие случайное
- ǀǀ - четное число очков – событие достоверное
- ǀǀ - 0 очков событие невозможное.
Множество всех исходов данного явления называется пространством элементарных событий, относящихся к этому явлению.
Классификация случайных событий. Множество всех исходов данного
Определение 1. Событие , состоящее в не появлении события А, называется ему противоположным.
Пример: А – попадание в цель; - промах.
Определение 2. События А, В, С называются несовместными, если в условиях данных испытаний возможно появление только одного из них, т.е. они не могут появиться одновременно.
Пример:
Классическое определение вероятности.
Используется, когда исходы равновозможны и число их конечное.
Определение 1. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих данному событию исходов к общему числу всех возможных и равновозможных исходов испытания.
Это классическое определение вероятности.
Пример: В коробке 30 карандашей, из них 5 красных. Карандаши перемешали. Какова вероятность того, что достанем красный карандаш.
Свойства вероятностей событий:
1. Вероятность достоверного события = 1
Вероятность невозможного
события = 0
Вероятность случайного события находится в пределах от 0 до 1, т.е. это правильная положительная дробь.
4. Вероятность любого события удовлетворяет неравенству:
Статистическая вероятность события.
Пример. Произошел обрыв телефонной линии, соединяющей пункты A и B, расстояние между которыми 2000м.
Какова вероятность того, что обрыв произошел в 400м от пункта A?
Решение.
L=2000, l =400
P=400:2000=0,2
Тогда
, а т.к. события А и В могут произойти вместе только в «k» случаях, то
, ч.т.д.
Следствие 1. Теорема (1) легко обобщается на случай произвольного числа событий
Глава 3. Повторение независимых испытаний.
Б) Число вызовов, поступающих на телефонную станцию в единицу времени;
В) Число самолетов, принимающих в аэропорт за какую- нибудь единицу времени.
Наивероятнейшее число появлений события А в серии
n – независимых испытаний.
Определение 1. Наивероятнейшим числом наступления события А в серии
n – независимых испытаний называется такое число наступлений этого события, которому соответствует наибольшая вероятность.
При решении такого вида задач пользуются специальными таблицами.
Свойства функции Ф(х):
1. Функция Ф(х) нечетная, т.е. ;
2. Наименьшее значение функция принимает в точке х=0 ;
3. Наибольшее значение функция принимает при х=5 ;
4. Для всех х>5 берут значение .
Пример: Вероятность того, что вес зерен гороха 0,25г. = 0,3. К.в.т.,ч. среди взятых 200 штук, с этим весом будет от 50 до 70 штук.
Следствие. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n – независимых испытаний вероятность того, что:
а) Число m наступлений события А отличается от произведения не более, чем на величину (по абсолютной величине), т.е.
б) Частость события А заключена в пределах от α до β (включительно), т.е.
, где
в) Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа
Пример 1: В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют морозильники. К.в.т.,ч. от 280 до 360 семей из 400 имеют морозильники.
Воспользуемся следствием (а)
Пример 2: По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. К.в.т.,ч. из 1000 новорожденных доля (частость) доживших до 50 лет будет:
А) заключена в пределах от 0,9 до 0,95
Глава 4. Дискретная случайная величина.
Основные понятия.
Определение 1. Величина х, принимающая в зависимости от некоторых обстоятельств значения , имеющие определенные вероятности, называется случайной величиной и обозначается: .
Определение 2. Дискретной - называется такая случайная величина, которая принимает отдельные изолированные значения.
Пример 1: Если х – число попаданий в цель (0, 1, 2, 3 …).
Пример 2: х – количество зерен в колосе (0, 1, 2 … 50).
Пример 3: х – количество студентов, которые учатся на «хорошо» и «отлично».
Определение 3. Совокупность значений случайной величины и соответствующих им вероятностей называется законом распределения случайной величины.
… | ||||
… |
Пример: Пусть х - число выпавших очков на игральной кости:
Для наглядности закона распределения дискретной случайной величины его можно изобразить графиком в виде полигона илимногоугольника распределения вероятностей.
Полученная ломаная линия соединяет на плоскости точки с координатами. Причем, соединяют с (0;0), а - с .
Сама случайная величина.
Прибор
уровень помех Х | |||
0,6 | 0,3 | 0,1 |
Прибор
уровень помех Y | |||
0,7 | 0,2 | 0,1 |
Какой прибор лучше?
Решение:
М(Х) = 1∙0,6 + 2∙0,3 + 3∙0,1 = 1,5
М(Y) = 1∙0,7 + 2∙0,2 + 3∙0,1 = 1,4
M(X) M(Y)
Второй прибор лучше!
Свойства :
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной величине.
с | |
Постоянный множитель выносят за знак математического ожидания.
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.
Сорт
Пшеница Х | |||
0,1 | 0,7 | 0,2 |
Сорт
Пшеница Y | |||
0,2 | 0,5 | 0,3 |
Какой сорт лучше?
Решение:
M(X) = 18∙0,1 + 20∙0,7 + 22∙0,2 = 20,2
M(Y) = 18∙0,2 + 20∙0,5 + 22∙0,3 = 20,2
M(X) M(Y)
Д(X) = (
Д(Y) = (
Д(X) Д(Y)
2 сорт лучше!
- единицы измерения те же, что у случайной величины.
- единицы квадратные.
Свойства :
Дисперсия постоянной величины
Равна 0.
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, но в квадрате.
Дисперсия алгебраической суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
4.
5. Дисперсия числа появлений события А в «n» независимых испытаниях равна
Глава 5. Непрерывная случайная величина.
Способы задания непрерывной случайной величины.
Определение 1. Случайная величина называется непрерывной, если она принимает все значения некоторого интервала (конечного или бесконечного).
Например: длина стебля; рост человека; длина ступни.
Непрерывная случайная величина может быть задана следующими способами:
А) Табличный
Б) Графический
В) Аналитический
Табличный способ
Непрерывная случайная величина задается таблично в виде закона распределения, который представляет из себя таблицу, в первой строке которой перечислены интервальные изменения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности или частости.
… | |||||
… |
Пример: Дается распределение длины колоса пшеницы, где х - длина колоса, N = 100
Графическое задание.
Непрерывную случайную величину можно изобразить графически - гистограммой.
Определение 2.Гистограммой распределения вероятностей (частостей или частот) называется ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы изменения случайной величины, а высотами вероятности, частоты или частости.
Для непрерывной случайной величины можно построить и полигон, взяв середины интервалов.
28.3 Аналитическое задание непрерывной случайной величины.
Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов.
Пример: Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир
Нормальное распределение.
(Закон распределения Гаусса).
Нормальный закон распределения является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся аналогичных условиях.
Математическое ожидание
Найти вероятность того, что средний вес пойманной рыбы заключается в пределах от 300г до 485г.
Определить вес самой большой и самой малой рыбы.
Решение1:
2.По правилу «трех сигм»:
Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке акад. Колмогорова А.Н., совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату почти не зависящему от случая.
Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным. К ним относятся теорема Чебышева, теорема Маркова, теорема Чебышева-Маркова.
Теорема Чебышева - Маркова.
Теорема 1. При достаточно большом числе независимых случайных величин , дисперсия каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа В, для произвольного сколь угодно малого числа Е справедливо неравенство:
Среднее арифметическое случайных величин при возрастании их числа проявляет свойство устойчивости, т.е. стремится по вероятности к неслучайной величине, которой является среднее арифметическое математических ожиданий этих величин.
Пример: Для определения средней урожайности культуры взято на выборку с площади n=2000га по 1м2 с каждого гектара. С какой вероятностью можно ожидать, что средняя выборочная урожайность культуры будет отличаться от среднего истинного урожая этой культуры не более, чем на 0,25ц, если дисперсии не превышают 4,5.
Решение: n=2000га,=0,25, B=4,5.
Итак, P>0.964
Центральная предельная теорема Ляпунова.
Рассмотренный выше закон больших чисел устанавливает факт приближения средней большого числа случайных величин к определенным постоянным. Центральная предельная теорема состоит из группы теорем, устанавливающих связь между законом распределения суммы случайных величин и его предельной формой - нормальным законом распределения.
– Конец работы –
Используемые теги: часть, Теория, вероятностей0.065
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Часть ІІΙ. Теория вероятностей
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов