рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Часть ІІΙ. Теория вероятностей

Часть ІІΙ. Теория вероятностей - раздел Механика, Часть ІіΙ. Теория Вероятностей. ...

Часть ІІΙ. Теория вероятностей.

Глава 1. Основные понятия теории вероятностей.

Элементы комбинаторики.

Определение 1. Комбинаторика – это раздел математики, изучающий вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов.

Определение 2. Различные группы, составленные из каких – либо элементов, и отличающиеся одна от другой либо их порядком, либо элементами, называются соединениями.

Различают три вида соединений:

Перестановки;

Сочетания;

Размещения.

Обозначаются перестановки

Предмет теории вероятностей.

В единичных случаях наступление многих явлений заранее предсказать нельзя, но если рассматривать их как массовые, однородные явления, то выявляются определенные закономерности.

Например, при подбрасывании монеты нельзя предсказать, какой стороной она упадет (орел или решка), при достаточно большом числе бросаний вскрывается закономерность: орел и решка выпадают приблизительно поровну.

Рождение близнецов - случайное событие, по при изучении этого события как массового, установлена закономерность: на каждые 1000 родов приходится в среднем 12 двойняшек и на каждые 8000 родов-1 тройня.

Устойчивость обнаруживают все массовые однородные явления: всхожесть семян, урожайность культур, плодовитость и продуктивность животных, число поражений мишени при большом числе выстрелов из одного и того же орудия и т.д.

Изучение закономерностей однородных массовых случайных явлений составляет предмет теории вероятностей и основанной на ней математической статистики.

Основные понятия теории вероятностей. Пространство элементарных событий.

Испытание - это опыт, наблюдение, эксперимент.

Событие – это результат (исход) испытания.

Пример: сев зерен – испытание; всходы – событие

События обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, … .

Определение 3. Событие называется случайным, если при данных испытаниях оно может произойти или нет; достоверным, если обязательно произойдет при данных испытаниях; невозможным, если при данных испытаниях никогда не произойдет.

Случайные события:

Пример: Бросают игральную кость.

Выпало 6 очков – событие случайное

- ǀǀ - четное число очков – событие достоверное

- ǀǀ - 0 очков событие невозможное.

Множество всех исходов данного явления называется пространством элементарных событий, относящихся к этому явлению.

Классификация случайных событий. Множество всех исходов данного

Определение 1. Событие , состоящее в не появлении события А, называется ему противоположным.

Пример: А – попадание в цель; - промах.

Определение 2. События А, В, С называются несовместными, если в условиях данных испытаний возможно появление только одного из них, т.е. они не могут появиться одновременно.

Пример:

Замечание.

Определение 3. События А и В называются независимыми, если появление одного из них изменяет вероятность наступления другого. Пример: Два стрелка стреляют в цель.

Классическое определение вероятности.

Используется, когда исходы равновозможны и число их конечное.

Определение 1. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих данному событию исходов к общему числу всех возможных и равновозможных исходов испытания.

Это классическое определение вероятности.

Пример: В коробке 30 карандашей, из них 5 красных. Карандаши перемешали. Какова вероятность того, что достанем красный карандаш.

Свойства вероятностей событий:

1. Вероятность достоверного события = 1

Вероятность невозможного

события = 0

Вероятность случайного события находится в пределах от 0 до 1, т.е. это правильная положительная дробь.

4. Вероятность любого события удовлетворяет неравенству:

Относительная частота (частость) события.

Определение 1. Относительной частотой события А называется отношение числа испытаний, в которых событие наступило к общему числу проведенных… Пример: В партии 100 изделий, из которых 4- бракованные. Какова частость появления бракованного изделия?

Статистическая вероятность события.

Пусть проведена серия N- испытаний

- событие А наступило раз … . ………. .. ………… … …. - событие А наступило раз.

Геометрическое определение вероятности.

Пушка                

Пример. Произошел обрыв телефонной линии, соединяющей пункты A и B, расстояние между которыми 2000м.

Какова вероятность того, что обрыв произошел в 400м от пункта A?

Решение.

L=2000, l =400

P=400:2000=0,2

Алгебра событий.

Для совместных событий: или А, или В, или А и В вместе. Для несовместных событий: или А, или В.

Понятие условной вероятности.

Определение 1. Вероятность события В, зависящего от А, вычисленная при условии, что произошло А, называется условной…

Теорема умножения двух зависимых событий.

Доказательство: Пусть проводится «n» независимых испытаний.

Тогда

, а т.к. события А и В могут произойти вместе только в «k» случаях, то

, ч.т.д.

Следствие 1. Теорема (1) легко обобщается на случай произвольного числа событий

При этом вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

, т.е. теорема (1) обладает коммутативностью умножения Пример: См. условие предыдущей задачи. К.в.т.,ч. 1, 2, 3 августа будут… А – 1.08. – дождь

Теорема умножения для независимых событий.

Теорема. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий. Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению…

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Доказательство:

Следовательно,

Пример: В денежно - вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выиг Следствие 1. Данная теорема справедлива для «n» несовместных событий.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

где Данное утверждение следует из того, что противоположные события образуют… Пример. Если вероятность попадания в цель р = 0,8, то вероятность промаха q = 0,2.

Теорема сложения для совместных событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного… В случае 3-х и более совместных событий формула будет очень громоздка. Так, для 3-х событий:

Вероятность появления только одного события.

Имеем событие Пример: Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для 1-го стрелка = 0,7, для…

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

, где Доказательство: По условию события (гипотезы) образуют полную систему => они единственно возможные и несовместные. Т.к. гипотезы -…

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров,

По второй гипотезе - По третьей гипотезе - Искомую вероятность найдем по формуле:

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.

- формула Байеса Доказательство: Воспользуемся теоремой умножения вероятностей событий А и в двух формах:

Гипотезы

- ‒ ǀǀ ‒ 2-м ‒ ǀǀ ‒ ‒ ǀǀ ‒

Глава 3. Повторение независимых испытаний.

Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Теорема . Вероятность того, что в серии n – независимых испытаний с постоянной вероятностью наступления события в каждом отдельном испытании и ненаступления…

Что из 4 яиц будет 2 курочки или

Далее определим вероятность того, что в

1) менее m раз: ; 2) более m раз: ; 3) не менее m раз: ;

Локальная теорема Лапласа.

Теорема. Вероятность того, что в серии n – независимых испытаний событие А наступит m раз, если только вероятность появления события в каждом отдельном…

Теорема Пуассона.

, где

Это формула Пуассона (формула редких событий).

2. Параметр λ можно искать иначе, если указано среднее число появления события за единицу какой – нибудь области и размер области, то тогда… 3. Закону Пуассона подчиняются: а) Число α- частиц, испускаемых радиоактивным изотопом в единицу времени;

Б) Число вызовов, поступающих на телефонную станцию в единицу времени;

В) Число самолетов, принимающих в аэропорт за какую- нибудь единицу времени.

Теорема Пуассона чаще всего применяется в теории массового обслуживания.

Пример 2: Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того,…

Наивероятнейшее число появлений события А в серии

n – независимых испытаний.

Определение 1. Наивероятнейшим числом наступления события А в серии

n – независимых испытаний называется такое число наступлений этого события, которому соответствует наибольшая вероятность.

Формулы нахождения наивероятнейшего числа.

2. Если - дробное, то находят из неравенств: Пример: Вероятность всхожести семян 0,8. Найти наивероятнейшее число всходов, если посадили 38 зерен?

Интегральная теорема Лапласа.

Пусть проводится серия n – независимых испытаний на наступление события А, в… Теорема. Вероятность того, что событие А в серии n – независимых испытаний появится не менее - раза и не более - раз…

При решении такого вида задач пользуются специальными таблицами.

Свойства функции Ф(х):

1. Функция Ф(х) нечетная, т.е. ;

2. Наименьшее значение функция принимает в точке х=0 ;

3. Наибольшее значение функция принимает при х=5 ;

4. Для всех х>5 берут значение .

Пример: Вероятность того, что вес зерен гороха 0,25г. = 0,3. К.в.т.,ч. среди взятых 200 штук, с этим весом будет от 50 до 70 штук.

Следствие. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n – независимых испытаний вероятность того, что:

а) Число m наступлений события А отличается от произведения не более, чем на величину (по абсолютной величине), т.е.

б) Частость события А заключена в пределах от α до β (включительно), т.е.

, где

в) Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа

Пример 1: В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют морозильники. К.в.т.,ч. от 280 до 360 семей из 400 имеют морозильники.

Воспользуемся следствием (а)

Пример 2: По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. К.в.т.,ч. из 1000 новорожденных доля (частость) доживших до 50 лет будет:

А) заключена в пределах от 0,9 до 0,95

Б) будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине).

Глава 4. Дискретная случайная величина.

Основные понятия.

Определение 1. Величина х, принимающая в зависимости от некоторых обстоятельств значения , имеющие определенные вероятности, называется случайной величиной и обозначается: .

Определение 2. Дискретной - называется такая случайная величина, которая принимает отдельные изолированные значения.

Пример 1: Если х – число попаданий в цель (0, 1, 2, 3 …).

Пример 2: х – количество зерен в колосе (0, 1, 2 … 50).

Пример 3: х – количество студентов, которые учатся на «хорошо» и «отлично».

Определение 3. Совокупность значений случайной величины и соответствующих им вероятностей называется законом распределения случайной величины.

Пример: Пусть х - число выпавших очков на игральной кости:

Для наглядности закона распределения дискретной случайной величины его можно изобразить графиком в виде полигона илимногоугольника распределения вероятностей.

Полученная ломаная линия соединяет на плоскости точки с координатами. Причем, соединяют с (0;0), а - с .

Действия над дискретными случайными величинами.

Определение 2. Алгебраической суммой дискретных случайных независимых величин х и у называется новая случайная величина , которая принимает… с вероятностями . Определение 3. Произведением двух дискретных случайных величин х и у называется новая случайная величина ,…

Среднее арифметическое взвешенное.

Определение 1. Средним арифметическим взвешенным называется сумма…

Сама случайная величина.

Математическое ожидание.

Определение 1. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений значений случайной величины на соответствующие…

Прибор

уровень помех Х
0,6 0,3 0,1

Прибор

уровень помех Y
0,7 0,2 0,1

Какой прибор лучше?

Решение:

М(Х) = 1∙0,6 + 2∙0,3 + 3∙0,1 = 1,5

М(Y) = 1∙0,7 + 2∙0,2 + 3∙0,1 = 1,4

M(X) M(Y)

Второй прибор лучше!

Свойства :

Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной величине.

с

Постоянный множитель выносят за знак математического ожидания.

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Математическое ожидание алгебраической суммы двух независимых случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий.

5. Математическое ожидание числа появлений события А в «n» независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления… 6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно 0.

Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Дисперсия.

Определение 1. Дисперсией случайной величины х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического… или

Сорт

Пшеница Х
0,1 0,7 0,2

Сорт

Пшеница Y
0,2 0,5 0,3

Какой сорт лучше?

Решение:

M(X) = 18∙0,1 + 20∙0,7 + 22∙0,2 = 20,2

M(Y) = 18∙0,2 + 20∙0,5 + 22∙0,3 = 20,2

M(X) M(Y)

Д(X) = (

Д(Y) = (

Д(X) Д(Y)

2 сорт лучше!

- единицы измерения те же, что у случайной величины.

- единицы квадратные.

Свойства :

Дисперсия постоянной величины

Равна 0.

Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, но в квадрате.

Дисперсия алгебраической суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

4.

5. Дисперсия числа появлений события А в «n» независимых испытаниях равна

Среднее квадратическое отклонение.

- характеристика рассеивания, но имеющая ту же размерность, что и сама… Свойства :

Глава 5. Непрерывная случайная величина.

Способы задания непрерывной случайной величины.

Определение 1. Случайная величина называется непрерывной, если она принимает все значения некоторого интервала (конечного или бесконечного).

Например: длина стебля; рост человека; длина ступни.

Непрерывная случайная величина может быть задана следующими способами:

А) Табличный

Б) Графический

В) Аналитический

Табличный способ

Непрерывная случайная величина задается таблично в виде закона распределения, который представляет из себя таблицу, в первой строке которой перечислены интервальные изменения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности или частости.

Пример: Дается распределение длины колоса пшеницы, где х - длина колоса, N = 100

Составить таблицу распределения по частостям.

От непрерывной случайной величины можно перейти к дискретной, заменив интервал изменения непрерывной случайной величины серединой каждого интервала.

Графическое задание.

Непрерывную случайную величину можно изобразить графически - гистограммой.

Определение 2.Гистограммой распределения вероятностей (частостей или частот) называется ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы изменения случайной величины, а высотами вероятности, частоты или частости.

Для непрерывной случайной величины можно построить и полигон, взяв середины интервалов.

28.3 Аналитическое задание непрерывной случайной величины.

Непрерывную случайную величину можно задать еще с помощью функции

Определение 1. Функцией распределения (интегральной функцией распределения) называется вероятность того, что случайная величина Х примет значения в… , т.е. Свойства функции

Плотность распределения вероятностей.

- первообразная для Плотность распределения вероятностей , как и функция распределения , является…

Если случайная величина принимает значения в замкнутом интервале

Пример: Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х. Найти…

Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, возможные значения которой находятся в интервале , с плотностью вероятности . 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные…

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины определяется дисперсия непрерывной случайной величины.

или Если возможные значения принадлежат всей оси ОХ, то

Числовые характеристики случайных величин, отражающих особенности распределения.

Если вероятность или плотность вероятности достигает не в одной, а в… Определение 2. Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, которое определяется…

Отсюда следует, что

Тогда имеем: кривая распределения более полога справа

Основные законы распределения вероятностей случайных величин.

Дискретная случайная величина называется распределенной по биномиальному закону, если его вероятности находятся по формуле Бернулли.   Рk,n=Ckn· pk · qn-k

Геометрическое распределение.

  p, p ·q, p ·q2, …, p · qk – бесконечная геометрическая прогрессия со…

Показательное распределение.

график этой функции имеет вид: ;

Равномерное распределение.

Определение 1. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке , если на этом отрезке плотность распределения…

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов.

Пример: Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир

Выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты.

случайная величина имеет равномерный закон распределения на отрезке . Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более полминуты равна:

Нормальное распределение.

(Закон распределения Гаусса).

Нормальный закон распределения является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся аналогичных условиях.

Нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины. Значит, это распределение можно задать в виде плотности вероятности.

, где а-математическое ожидание и -среднее квадратическое отклонение. По формуле функция распределения примет вид

Математическое ожидание

Дисперсия

Определение 3. Дисперсия нормально распределенной случайной величины Х равна квадрату среднего квадратического отклонения. Пример: Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины,…

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трех сигм.

, где Ф (х) – функция Лапласа Правило «трех сигм»: Если случайная величина имеет нормальное распределение, то отклонение этой величины от ее математического ожидания по…

Найти вероятность того, что средний вес пойманной рыбы заключается в пределах от 300г до 485г.

Определить вес самой большой и самой малой рыбы.

Решение1:

2.По правилу «трех сигм»:

Распределения, связанные с нормальным распределением.

Определение 1. Распределением с k степенями свободы называется распределение суммы квадратов k независимых случайных величин, распределенных по… , где имеет нормальное распределение

Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке акад. Колмогорова А.Н., совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату почти не зависящему от случая.

Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным. К ним относятся теорема Чебышева, теорема Маркова, теорема Чебышева-Маркова.

Теорема Чебышева - Маркова.

Теорема 1. При достаточно большом числе независимых случайных величин , дисперсия каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа В, для произвольного сколь угодно малого числа Е справедливо неравенство:

Среднее арифметическое случайных величин при возрастании их числа проявляет свойство устойчивости, т.е. стремится по вероятности к неслучайной величине, которой является среднее арифметическое математических ожиданий этих величин.

Пример: Для определения средней урожайности культуры взято на выборку с площади n=2000га по 1м2 с каждого гектара. С какой вероятностью можно ожидать, что средняя выборочная урожайность культуры будет отличаться от среднего истинного урожая этой культуры не более, чем на 0,25ц, если дисперсии не превышают 4,5.

Решение: n=2000га,=0,25, B=4,5.

Итак, P>0.964

Центральная предельная теорема Ляпунова.

Рассмотренный выше закон больших чисел устанавливает факт приближения средней большого числа случайных величин к определенным постоянным. Центральная предельная теорема состоит из группы теорем, устанавливающих связь между законом распределения суммы случайных величин и его предельной формой - нормальным законом распределения.

Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.

то закон распределения суммы при неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией .

– Конец работы –

Используемые теги: часть, Теория, вероятностей0.065

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Часть ІІΙ. Теория вероятностей

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Теория анархии и теория правового государства применительно к России
Границы, в пределах которых каждый может двигаться без вреда для других, определяются законом, подобно тому как граница двух полей определяется… История нашей страны – это история мучительного искания. Многие русские мыслители пытались глобально осмыслить историю их глубоко любимой Родины.Из этого получались мысли о…

Теория вероятности
Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Например, Ферм, Бернулли, Паскаль.Позднее развитие теории вероятностей определились… Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев,… При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины…

Теория вероятностей
Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью, равной, например 0,75, ещё не представляет само по себе окончательной ценности,… Имеющие научный и практический интерес выводы такого рода обычно основаны на… Предмет теории вероятностей Предмет теории вероятностей.Для описания закономерной связи между некоторыми условиями S и…

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ЗАДАЧАХ
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ...

Непосредственный подсчет вероятностей в рамках классической схемы. Теоремы сложения и умножения вероятностей
типовой расчет по теории вероятностей... типовой расчет по математической статистике... Типовой расчет по теории вероятностей...

Теория химического строения органических соединений. Электронная природа химических связей. Предпосылки теории строения. Теория химического строения. Изомерия
Органические вещества в своем составе наряду с другими элементами всегда содержат углерод. Изучение соединений углерода — их строения, химических… Из всех химических элементов только углерод образует такое большое число… По образованию оксида углерода (IУ) при горении или по обугливанию вещества при нагревании легко установить…

Часть II ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА СПОРТА
Ориентации... Система соревнований... Система спортивной тренировки Система факторов оптимизации...

Теория вероятности
Теория вероятности и математическая статистика – это наука, занимающаяся изучением закономерностей массовых случайных явлений, то есть… Такие же закономерности, только в более узкой предметной области… С развитием рынка постепенно сращивается вероятность и статистика, особенно наглядно это проявляется в управлении…

Математические основы программирования. Теория схем программ. Семантическая теория программ
Следуя А П Ершову мы употребляем термин теоретическое программирование в качестве названия математической дисциплины изучающей синтаксические... В настоящее время сложились следующие основные направления исследований... Математические основы программирования Основная цель исследований развитие математического аппарата...

По дисциплине Теория вероятностей
среднего профессионального образования Ярославской области... Ярославский градостроительный колледж...

0.034
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам