рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение - раздел Механика, Министерство Образования И Науки Российской Федерации Федеральное Государ...

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

«Российский государственный профессионально-педагогический университет»

Машиностроительный институт

Кафедра механики

 

ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

 

По дисциплине

для студентов всех форм обучения направления подготовки 140400.62 Электроэнергетика и электротехника профиля подготовки

ВВЕДЕНИЕ

Задания и методические указания к выполнению контрольных работ по дисциплине «Теоретическая механика» составлены на основании рабочей программы, разработанной в соответствии с ФГОС для направления подготовки 140400.62 Электроэнергетика и электротехника.

Содержание дисциплины «Теоретическая механика» предусматривает изучение общих законов равновесия и движения материальных тел; основных методов динамического расчета точки и твёрдого тела, систем тел.

Для формирования компетенций, соотнесенных с общими целями ООП ВПО, следует не только глубоко изучить теоретический материал, но и получить твердые навыки в решении задач. С этой целью необходимо самостоятельно решить достаточно большое их количество по всем разделам курса из соответствующих сборников и выполнить ряд специальных заданий.

В методических указаниях приведены решения типовых задач и задания для выполнения контрольных работ по основным разделам курса «Теоретическая механика» («Статика твёрдого тела», «Кинематика точки и твёрдого тела», «Динамика точки», «Динамика системы и твёрдого тела»).

Перед тем, как приступить к выполнению индивидуального задания, приведенного в каждом разделе, надо изучить соответствующий раздел теории, а также разобраться в примерах решений задач, изложенных в методических указаниях. Затем попытаться решить самостоятельно своё индивидуальное задание, а для закрепления материала рекомендуется решить несколько аналогичных задач из сборника задач по теоретической механике И. В. Мещерского [1].

Все задания контрольных работ составлены в Международной системе единиц (СИ). После нахождения искомых величин следует проставлять их размерность.

При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие требования:

1. Не следует приступать к выполнению контрольных работ, не изучив соответствующего раздела и не решив рекомендованных задач. Если студент основные положения теории усвоит слабо и не разберет подробно приведенные в учебнике примеры, то при выполнении контрольных работ у него возникнут затруднения.

2. Контрольные работы имеют индивидуальный характер: расчетные схемы и числовые данные каждой задачи выбираются в соответствии с учебным шифром (тремя последними цифрами номера зачетной книжки студента). По цифрам шифра определяются строки, а порядковые номера цифр в шифре указывают столбцы в таблице с данными задачи. На пересечении соответствующих строк и столбцов находят условия для вариантов данной задачи.

При возникновении вопросов по индивидуальному заданию обращаться к преподавателю.

3. Каждую контрольную работу желательно выполнять в отдельной тетради, ручкой с синей или черной пастой, четким почерком. Возможно оформление работы на компьютере. Необходимо оставлять поля 40 мм с левой стороны листа для замечаний рецензента, а после решения каждой задачи – 1–2 чистых листа для указаний рецензента. На обложке (титульном листе) должны быть четко написаны: название контрольной работы, наименование дисциплины; фамилия, имя, отчество студента; группа; учебный шифр студента; регистрация работы в деканате (для заочной формы обучения).

4. Перед решением задачи указывается номер задачи и записываются исходные данные, а также - что требуется определить (текст задачи можно не переписывать). Далее выполняют эскиз с учетом условий решаемого варианта задачи; все углы, действующие силы, количество тел и их расположение на нем должны соответствовать этим условиям. Эскиз должен быть аккуратным и наглядным, его размеры должны быть такими, чтобы можно было ясно показать векторы всех сил, скоростей, ускорений и т. д., а также оси координат.

5. Решение каждой задачи должно сопровождаться краткими пояснениями и четкими эскизами. Следует избегать многословных пояснений и пересказа учебника. Необходимо указывать размерность всех величин и подчеркивать окончательные результаты. Во всех случаях в числе удерживайте не более трех значащих цифр, так как излишняя точность ведет к непроизводительной трате времени.

6. Работы, выполненные с нарушением данных указаний, не проверяются и не засчитываются.

7. При чтении текста каждой задачи следует учесть, что большинство рисунков дано без соблюдения масштаба. На рисунках к задачам все линии, параллельные строкам, считаются горизонтальными, а перпендикулярные строкам – вертикальными (это в тексте задач специально не оговаривается). Также считается, что все нити (веревки, тросы) являются нерастяжимыми и невесомыми; нити, перекинутые через блок, по блоку не скользят; катки и колеса (в кинематике и динамике) катятся по плоскостям без скольжения. Все связи считаются идеальными. Когда тела на рисунке пронумерованы, то в тексте задач и в таблицах P1, l1, r1 и т.п. означают вес или размеры тела 1, а P2, l2, r2 – тела 2 и т.д.

8. После проверки контрольной работы студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и выполнить все указания преподавателя. Если работа не зачтена, следует в кратчайший срок исправить выявленные ошибки и представить ее вторично на проверку. Все исправления как в зачтенной, так и в незачтенной контрольной работе следует поместить в этой же тетради после рецензии преподавателя. Отдельно от работы исправления не рассматриваются.

9. При сдаче зачета или экзамена по дисциплине необходимо представлять зачтенные по данному разделу курса контрольные работы.

1. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО РАЗДЕЛУ «СТАТИКА»

Задача 1.1.

Условие: Жесткая рама (рис. 1.1 – схемы 1 – 10, табл. 1.1) закреплена в точке … В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом . На раму действует пара сил с…

Пример решения задачи 1.1

Жесткая пластина (рис. 1.2) имеет в точке неподвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке. Определить реакции в точках и , вызываемые действующими нагрузками, если , , , , , , .

Решение. 1. Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси и изобразим действующие на пластину силы: силу , пару сил с моментом , натяжение троса (по модулю ) и реакции связей , , (реакцию неподвижной шарнирной опоры изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

 

Таблица 1.1

Цифры шифра 1 цифра шифра 2 цифра шифра 3 цифра шифра
Схема
F1
α1

F2
α2

F3
α3

F4
α4

       
Точка приложе-ния   Точка приложе-ния   Точка приложе-ния   Точка приложе-ния          
H - - - - K
- - D E - -
K - - - - E
- - K H - -
D - - - - E
- - H - - D
E - - K - -
- - D - - H
H - - D - -
- - E K - -

 


 

Схема 1   Схема 2   Схема 3
 
A
B
C
D
E
H
K
M
P
30°
a
a
3a
a
a

B
2a
A
C
D
E
H
K
M
P
30°
a
a
a

M
60°
E
A
D
K
P
H
B
2a
2a
 
 
С

Схема 4   Схема 5   Схема 6  

P
30°
A
B
C
D
E
H
K
M
2a
2a

 
P
30°
A  
B
D
E
H
K
M
C
2a
2a

P
60°
A
B
C
D
E
H
M
K
2a
2a
a
a
a

Схема 7 Схема8 Схема9

60°
P
A
B
C
D
K
M
E
H
a
a
2a
a
a

60°
P
A
K
D
C
H
E
B
M
2a
a
a

P
30°
A
K
D
C
E
B
H
M
a
2a
a
a

Схема 10

30°
P
A
B
M
D
C
K
H
E
2a
2a
2a
a

Рис. 1.1 Схемы к задаче 1.1

β
P
A
B
C
M
D
β
y
x
XA
T
γ
YA
RB
F´´
F
a
3a
α

Рис. 1.2. Пример решения задачи 1.1.

 

2. Для получения плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы относительно точки воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу на составляющие и ( , ) и учтем, что .

Получим:

, ;

, ;

,

.

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Ответ: , , . Знаки указывают, что силы и имеют направления, противоположенные показанным на рис. 1.2.

Задача 1.2.

Если силы не образуют сходящуюся систему, а расположены как угодно в пространстве, то их можно привести к одному центру, с добавлением главного… Условия равновесия, заключаются в том, что главный вектор и главный момент… Следует иметь в виду, что при нахождении проекции силы на ось часто бывает проще сначала найти ее проекцию на…

Пример решения задачи 1.2

Условие. На горизонтальный вал насажено колесо радиусом r1 = 12 см и прикреплен перпендикулярно оси вала рычаг СD длиной l = 20 см, образующий с горизон­тальной плоскостью угол α2=30°. Веревка, намотанная на колесо и натягиваемая грузом F=1,2 кН, сходит с колеса по касательной, наклоненной под углом α1=60° к горизонту. Пренебрегая весом вала, колеса, рычага и трением в блоке, определить вертикальную силу Р, при которой вал находится в равновесии, а также реакции подшипников А и В, если a = b = c = 1,8 м (см. рис. 1.3, схема 10).

Решение. К валу кроме силы Р, действующей на рычаг СD, приложена реакция веревки (сила натяжения) T, численно равная силе тяжести груза F, так как по условию задачи трения в блоке нет (рис. 1.4, а). Направлена эта реакция вдоль веревки в ту сторону, куда веревка тянет блок. Реакции подшипников RA и RB, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси Аy, разложим на составляющие по осям координат RAx, RAz, RBx и RBz. Направление реакций выбирается произвольно.

 

Рис. 1.4. Пример решения задачи на статическое равновесие пространственной системы сил

 

Для составления уравнений равновесия рассмотрим вид с положительного направления координатных осей, например с оси Ay (рис. 1.4, б).

Условия равновесия пространственной системы сил:

 

Из последнего соотношения найдем

 

Из пятого соотношения определим

 

Из четвертого соотношения вычислим

Из третьего соотношения найдем

 

Из первого соотношения найдем

 

Модули реакций подшипников:

 

Для определения направления реакции найдем угол между соответствующей реакцией и осью x:

 


2. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО РАЗДЕЛУ «КИНЕМАТИКА»

Задача 2.1

Таблица 2.1 Цифра шифра 1-я цифра шифра 2-я цифра шифра 3-я цифра шифра t1, с t2, c t3, c … Условия: 1. По заданному уравнению вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси j= j (t) определить: 1) угловую…

Пример решения задачи 2.1

Условие. Тело, вращаясь равноускоренно с угловым ускорением e=2 рад/с, имеет в момент времени t1=2,5 с угловую скорость w1=40 рад/с. Определить: 1) скорость и ускорение точки тела, отстоящей на расстоянии h=55 см от оси вращения в момент t2=7 с; 2) число оборотов N тела за время t3=10 с; 3) уравнение вращательного движения тела, если в начальный момент времени t0=0 начальный угол поворота j0=0.

Решение. 1. При равноускоренном вращении угловая скорость тела изменяется по закону .

Зная значение угловой скорости w1 в некоторый момент времени t1 и угловое ускорение e, можно найти начальную угловую скорость w0 (при t0=0):

.

Отсюда угловая скорость тела в момент времени t2=7 с будет равна

 

Скорость v и ускорение a точки М тела, отстоящей на расстоянии h=55 см от оси вращения, в момент времени t2 = 7 c будут равны:

 

Направление векторов скорости и ускорений указаны на рис. 2.2.

Число оборотов тела за время t3=10 с определим по соотношению

,

где n (t) – число оборотов тела за секунду в данный момент времени.

 

В рассматриваемой задаче

об.

Рис. 2.2.
Уравнение вращательного движения тела получим из соотношения , умножив обе его части на дифференциал времени dt: . Интегрируя полученное дифференциальное уравнение с учетом начальных условий (t0=0, j0=0):

 

получим

 

 

Задача 2.2

Условие: Точка М движется по хорде диска (см. рис. 2.3, схемы 1, 3, 4), по диаметру…  

Пример решения задачи 2.2

Условие. Точка М движется по ободу диска радиусом R=20 см согласно закону s = АМ = 6 t sin(pt/3). Диск вращается вокруг неподвижной оси О1О2, лежащей в плоскости диска, в направлении, указанном стрелкой, с постоянной

угловой скоростью w=0,5 рад/с. Определить абсолютную скорость точки М в момент времени t1=5 с (рис.2 .4).

Рис. 2.4
Решение. В данной задаче относительное движение точки – движение по ободу диска относительной системы отсчета, связанной с диском; переносное движение – вращение вместе с диском вокруг неподвижной оси; абсолютное движение – движение точки относительно неподвижной оси.

Определим параметры относительного движения точки:

а) положение точки М в заданный момент времени t=5 с:

М

Знак минус означает, что точка М в рассматриваемый момент времени находится в области отрицательных значений дуговой координаты s;

б) определим центральный угол a и отрезок MN:

в) найдем проекцию относительной скорости точки М на касательную в данный момент времени (рис. 2.5).

 

  Рис. 2.5
Определим модуль переносной скорости точки М как вращательной скорости той точки диска, где в данное мгновение находится точка М

.

М
Вектор переносной скорости перпендикулярен плоскости диска и направлен в сторону его вращения.

Модуль абсолютной скорости точки М (рис. 2.5.) найдем по формуле:

Вектор абсолютной скорости направлен по диагонали прямоугольника, построенного на относительной и переносной скоростях как сторонах.

 

Абсолютное ускорение точки М равно (рис. 2.6) геометрической сумме относительного отн , переносного пер и кориолисова кор ускорений: абс = отн + пер + кор , или с учетом условий задачи в развернутом виде абс = отн + отн + пер + кор

где при t1=5с касательное ускорение в относительном движении:

 
отн = ;

нормальное ускорение в относительном движении:

отн = ;

нормальное ускорение в переносном движении:

пер = ;

кориолисово ускорение:

кор = .

Положительный знак отн показывает, что вектор отн направлен в сторону положительных значений S; вектор отн направлен по нормали к траектории движения точки в относительном движении, т.е. по нормали к окружности радиусом MN к её центру, вектор кор направлен согласно правилу векторного произведения векторов и отн (рис. 2.6)

Модуль абсолютного ускорения точки М находим способом проекции на оси х, у и z (рис. 2.6):

абс x = пер+ отн cos - отн sin =13,6 + 4,1cos 24,8 – - sin 24,8 = 5,37 см/с2

абс y = - отн sin - отн cos = 4,1sin 24,8 – 28,5cos24,8 = = -27,6 см/с2 абс z = кор = 6,6 см/с2

абс = см/с2

 

 

Рис.2.6.

Направление вектора абс определяется его углами с осями координат:

( абс ^, ) = аrс cos = абс cos = 79,3

( абс ^, ) = аrс cos = абс cos = 162,7

( абс ^, ) = аrс cos = абс cos = 76,8

 

 

Задача 2.3

Ускорение ползуна в данный момент времени можно найти с помощью векторной формулы распределения ускорений точек плоской фигуры, спроектировав ее на… Условие: Кривошип ОА длиной R вращается вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью w и приводит в движение шатун…

Пример решения задачи 2.3

Условие. Кривошип ОА длиной R=64 см вращается вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью w=1 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной L=72 см и ползун В. Для положения механизма, заданного значениями углов a=45°, b=30,° найти скорость и ускорение ползуна В. Схема механизма приведена на рис. 2.8.

Рис. 2.8
Решение. 1. Определим скорость точки А как вращательную вокруг неподвижной точки О по соотношению . Для определения скорости точки В найдем положение мгновенного центра скоростейР, для чего покажем направление скоростей точек А и В, а затем из точек А и В восстановим перпендикуляры к их скоростям vA и vB. Точка пересечения перпендикуляров будет являться мгновенным центром скоростей Р (см. рис. 2.8).

Рассмотрим движение шатуна в данный момент времени как вращательное относительно оси, проходящей через мгновенный центр скоростей Р перпендикулярно неподвижной плоскости, по отношению к которой происходит плоское движение. Угловая скорость шатуна в этом случае

определяется из соотношения , а скорость ползуна В как вращательная – из соотношения .

Расстояния АР и BP определим из решения треугольника АВР, применив теорему синусов. Для заданного положения механизма получим

, откуда

 

Подставив найденные значения расстояний в соответствующие формулы, получим . Направления скоростей показаны на рис. 2.8.

2. Для определения ускорения ползуна B воспользуемся векторным равенством:

, (1)

 

где – ускорение ползуна В;

– ускорение точки А, выбранной за полюс;

– осестремительное (нормальное) ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А;

– вращательное (касательное) ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А.

Ускорение точки А кривошипа при равномерном вращении вокруг неподвижной оси О состоит только из осестремительной составляющей, модуль которой определяется формулой . Вектор ускорения точки А направлен к оси вращения (рис.2.9), .

Осестремительное ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А:

.

Рис. 2.9.
Рассчитать вращательное ускорение обычным способом не представляется возможным, так как величина углового ускорения звена АВ неизвестна. Несмотря на это обстоятельство, векторное равенство (1) позволяет найти ускорение ползуна В. Для этого воспользуемся тем, что нам известно направления вектора (он перпендикулярен ускорению ) и вектора ускорения искомого ускорения (вдоль прямолинейной траектории точки В).

Проведем вектор ускорения точки В, предполагая, что он направлен противоположно скорости точки В. Спроектируем векторное равенство (1) на ось u, перпендикулярную ускорению и проходящую через точки А и В, получим . Отсюда

 

Знак минус показывает, что истинное направление ускорения точки В противоположно принятому.


3. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО РАЗДЕЛУ «ДИНАМИКА»

Задача 3.1

Таблица 3.1 Цифра шифра 1-я цифра шифра 2-я цифра шифра 3-я цифра шифра v0, м/с a, м b,…

Условия

2. Тело М весом Р брошено вертикально вверх (см. рис. 3.1, схема 5) или вниз (см. рис. 3.1, схема 6) со скоростью v0. При движении на тело действует… 3. Груз весом Р движется прямолинейно по горизонтальной плоскости. На груз… 4. Груз весом Р движется вверх (см. рис. 3.1, схема 9) или вниз (см. рис. 3.1, схема 10) по шероховатой наклонной…

Пример решения задачи 3.1.

Условие. Груз весом Р движется вниз по шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол a=30°с горизонтом. Коэффициент трения скольжения груза о плоскость f=0,16. В начальный момент груз находился в положении Мо на расстоянии a=9 м от начала координат и имел скорость v0=30 м/с. Определить уравнение движения груза в заданной системе координат (рис. 3.2).

Рис. 3.2
Решение. 1. Пусть тело в произвольный момент времени t занимает положение М на наклонной плоскости. Освободим тело от связи (шероховатой наклонной плоскости), заменив ее действие нормальной составляющей реакции N и силой трения Fтр. Тогда тело будет двигаться под действием системы трех сил (Р, N, Fтр).

1. Примем тело за материальную точку. Проектируя основное уравнение динамики точки

на оси декартовых координат Оx и Оy (ось Оx совпадает с направлением движения точки), получим два дифференциальных уравнения:

Здесь m – масса точки; – проекции ускорения точки на соответствующие оси.

Так как тело движется прямолинейно вдоль оси Оx, то проекция ускорения на ось Оy равна нулю, следовательно, уравнение (3.2) примет вид .

Сила трения по закону Кулона равна . С учетом этого выражения дифференциальное уравнение (3.1) примет следующий вид:

.

После замены , где – ускорение свободного падения тела, и очевидных преобразований получим следующее дифференциальное уравнение второго порядка:

.

Для понижения порядка уравнения произведем замену , получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

.

Разделив переменные, проинтегрируем дифференциальное уравнение с учетом начальных условий (при t=0, vx=v0):

Произведем замену для понижения порядка уравнения и, разделив переменные, проинтегрируем дифференциальное уравнение второй раз с учетом начальных условий (при t=0 x=x0=a):

Подставив в соотношение (4.4) значения заданных величин, получим окончательно следующее уравнение движения груза:

 

Задача 3.2

Телу массой m сообщена начальная скорость v0, направленная вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. На тело действует…   Рис.3.3

Пример решения задачи 3.2.

Дано: m=40 кг, v0=10 м/с, t2=8 с, Р0=0, t3=12 с, Р1=250 Н, Р2=300/200 Н, α=30°, f=0,1.

Определить v1, v2, v3 и t1, t2, t3.

Решение

Покажем силы, действующие на тело (рис. 3.3): вес , нормальную реакцию плоскости , силу и силу трения скольжения , направив её противоположно начальной скорости, т.е. вниз по наклонной плоскости.

Построим график Р=Р(t) по заданным значениям Р0, Р1, Р2, Р3 (рис. 3.4)

Рис. 3.4.

1. Для тела, принимаемого за материальную точку, составим уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения в проекциях на ось Х для промежутка времени от 0 до t:

mv1x - mvox = ΣS ix;

где ΣS ix=Gt1 - Ft1 + Spx.

Проекция импульса переменной силы Р за t1 с:

Spx= .

Этот интеграл определяется как площадь треугольника ОВМ на графике Р=Р(t):

Spx==375Нс

Учитывая, что сила трения скольжения F=fN=fG cosα, получаем уравнение (1) в следующем виде:

mv1x-mv0x=-gt1 sinα-fg cosα t1+375,

откуда

v1x=v0x-gt1 sinα – fg cosα t1+,

т.е. v1x=10-9,8130,5-0,19,810,873+=10-14,72-2,76+9,38=2,10 м/с ,

таким образом, v1= v1x=2,10 м/с.

2. Для определения скорости тела в момент времени t2 составим уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения, для промежутка времени t2-t1 :

mv2x- mv1x= ΣSix

где ΣSix=-G(t2-t1)- F(t2-t1) + Spx.

Проекция импульса переменной силы Р за (t2-t1) с выражается площадью трапеции МВСL S на графике Р=Р(t):

Spx= - =1375 Н

Поэтому уравнение имеет вид

mv2x-mv1x=-mg(t2- t1) sinα -fmg cosα(t2- t1)+1375,

откуда

v2x=v1x-g(t2- t1) sinα – fg cosα(t2- t1)+=

=2,10-9,810,5-0,19,810,875+=2,10-24,52-4,27+34,38=7,68 м/с .

Таким образом,

v2=v2x=7,68 м/с .

3. Уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения и составленное для промежутка времени t3-t2, дает возможность определить скорость тела v3 в момент t3:

mv3x-mv2x= ΣSix

где ΣSix=-G(t3-t2)- fG cos(t3-t2)+Spx.

Проекция импульса переменной силы Р за (t3-t2) с выражается площадью трапеции УDEK :

Spx= =700 Н

тогда v3x=v2x-g(t3- t2) sinα – fg cosα(t3- t2)+=

=7,68-9,810,5-0,19,810,874+=7,68-19,62-3,41+17,5=2,15 м/с .

Таким образом, v3=v3x=2,15 м/с.

Задача 3.3.

Массы звеньев 1 и 2 механизма равны соответственно m1 и m2, а масса поднимаемого груза 3 – m3. Момент сил сопротивления вращения ведомого звена 2… Схемы механизмов показаны на рис.3.5, а необходимые для реше­ния данные… Haйти: уравнение вращательного движения звена механизма, указанного в последней графе табл.3.3. Определить также…

Пример решения задачи 3.3

Пусть: m1 =100, m2 = 150, m3 = 400 кг, М=4200+200t Нм, МС =2000 Нм = соnst,

R1=60, R2=40 cм, r2=20 cм, ix1=20√2, ixb= 30см, w10= 2c-1.

Найти уравнение вращательного движения звена второго механизма), а также окружное усилие S в точке касания звеньев 1 и 2 и натяжение нити Т в момент времени t1 (рис.3.6) .

Решение

К звену 1 механизма приложена сила тяжести , движущий момент М, составляющие реакции подшипника , , окружное усилие и нормальная реакция звена 2.

К звену 2 механизма приложена сила тяжести , момент сил сопротивления , составляющие реакции подшипника , , натяжение нити Т , к которой подвешен груз 3, окружное усилие и нормальная реакция звена 1.

К грузу 3 приложена сила тяжести , и натяжение нити Т.

 

Рисунок 3.6.

 

Очевидно: = - , = - и .

Составим дифференциальное уравнение вращения звена 1 вокруг неподвижной оси :

= .

Главный момент внешних сил, приложенных к звену 1 относительно оси

Момент М приводит в движение систему и поэтому принят положительным, а момент, создаваемый усилием , препятствует вращению звена 1 и, следовательно, отрицателен.

Дифференциальное уравнение вращательного движения звена 1 примет вид .

Выразим угловое ускорение звена 1 через угловое ускорение звена 2.

Так как , то .

Тогда уравнение принимает следующий вид:

Для составления дифференциального уравнения вращения вокруг оси звена 2 , к которому подвешен груз 3, применим теорему об изменении кинетического момента

 

Кинетический момент системы 2-3 относительно оси

,

где - кинетический момент звена 2, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси ;

- момент количества движения груза 3 , движущегося поступательно со скоростью V. Так как V= ,

,

где - приведённый к оси момент инерции системы 2-3.

Главный момент

 

Момент, создаваемый усилием , приводит к движению системы 2-3 и поэтому принят положительным, а момент силы тяжести груза и момент сил сопротивления препятствует движению системы и, следовательно, отрицательны.

Таким образом, получаем

 

Дифференциальное уравнение вращения звена 2:

= .

В полученной системе уравнений

 

Неизвестные усилия и угловое ускорение . Исключим , для чего первое уравнение этой системы умножим на , второе на и сложим соответствующие части уравнений:

( ) ,

Отсюда .

Данное выражение определяет в общем виде угловое ускорение звена 2 механизма.

Учитывая исходные данные, найдём:

= 100 (0,2 )2 = 8 кг м2,

= + = 150·0,32 + 400·0,22 =29,5 кг м2

тогда

Интегрируем это выражение дважды:

+ 0,4597t + ; 0,672 t3 + 0,230 t2 + C1t + C2

Для определения постоянных интегрирования используем начальные условия задачи: при t = 0; = 0;

2 · = 3

Следовательно, = С1 ; = С2 , т.е. С1 = 3 с-1 , С2 = 0.

Уравнение угловой скорости звена 2 имеет вид

2,017·t2 + 0, 4597·t + 3, с-1 .

Искомое уравнение вращательного движения звена 2 имеет вид

0,672·t3 + 0,230·t2 + 3t, рад.

Окружное усилие S можно определить из уравнения:

, при t = 1 c

Рис. 3.7.
S =

=

Рис.11.5
Для определения натяжения нити Т составим дифференциальное уравнение вращения звена 2 в следующем виде (Рис.3.6):

= , из которого T= ,

при t = 1 c

Рис. 11.5.
Т=

Задача 3.4.

Условие

Таблица 3.4. Цифра шифра 1-я цифра шифра 2-я цифра шифра 3-я цифра шифра r, см S, м M, Н м …   Рис. 3.8. Схемы к задаче 3.4

Пример решения задачи 3.4.

Условие. Однородный каток В весом Q=4 кН и радиусом R и груз А весом Р=2 кН, соединенные гибкой нерастяжимой и невесомой нитью, помещены на шероховатую поверхность, наклоненную к горизонту под углом a=300 (рис. 3.9). Нить переброшена через невесомый блок О радиусом 30 см. К свободному концу нити приложена сила F, линейно зависящая от величины перемещения s: F=9,0+0,15×s (кН). Каток катится без скольжения; коэффициент трения скольжения груза о плоскость f=0,1, момент сил сопротивления в подшипнике блока М=300 Н м. Определить скорость груза А, когда он переместится на величину s=3 м. В начальный момент система находилась в покое.

Рис. 3.9
Решение. Формула, выражающая теорему об изменении кинетической энергии механической системы в конечной (интегральной) форме, имеет вид

(1)

где T, T0 – кинетическая энергия системы соответственно в конечный и начальный моменты времени;

– суммы работ соответственно всех внешних и внутренних сил, действующих в данной системе.

В рассматриваемой задаче система состоит из катка, груза, блока и нити. Система сил, действующих на систему, включает активные силы Q, P, F, реакции связей NA, NB, Fсц, Fтр, Rx, Ry и момент трения в блоке M.

Найдем сумму работ всех внешних сил системы на соответствующих перемещениях точек их приложения:

 

Работы сил NА и NB равны нулю, так как направления этих сил составляют прямой угол с направлениями перемещений точек их приложения. Работа силы сцепления Fсц и работы реакций Rx и Rу равны нулю, так как эти силы приложены к неподвижным точкам. Работы сил F, Р, Q, Fтр и пары сил с моментом М определим следующим образом:

 

После суммирования получим

. (2)

Рассматриваемая механическая система состоит из абсолютно твердых тел, соединенных идеальной нитью. Для таких систем с идеальными связями сумма работ всех внутренних сил равна нулю

. (3)

Рассчитаем кинетическую энергию системы в начальном и конечном положениях.

По условию задачи система в начальный момент находилась в покое, следовательно, ее кинетическая энергия в этот момент равна нулю T0=0.

Кинетическая энергия груза А, движущегося поступательно, равна

,

где – масса груза А; – скорость груза.

Кинетическая энергия катка В, совершающего плоское движение, равна

,

где – масса катка В;

vC – скорость центра масс С катка, ;

– момент инерции катка относительно оси, проходящей через его центр масс;

wВ – угловая скорость катка, .

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел, входящих в нее:

(4)

Подставляя выражения (2) – (4) в формулу (1), выражающую теорему об изменении кинетической энергии системы, получим

,

откуда искомая скорость груза А, в момент, когда он переместится на расстояние 3 м, равна

 


 

Список литературы

Основная :

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для втузов / 19-е изд., стер.- М.: Высш.шк., 2009.- 416 с.: ил.

2. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике: Учебное пособие, 50-е изд., стер. / Под ред. В.А. Пальмова, Д.Р. Меркина.- СПб.: Издательство «Лань», 2010.-448 с.: ил.

 

Дополнительная :

1. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах: Учеб. пособ. – М.: Политехника, 1995 – 670с.

2. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики: Учеб. для вузов. – М.: Изд-во МГУ, 1992. - 524 с.

3. Сборник задач по теоретической механике: Учеб. пособие для студентов вузов / Будник Ф.Г., Зингерман Ю.М., Зеленский Е.И.; под ре. Кельзона А.С. – Высш. шк., 1987. – 176 с.

4. Никитин Е.М. Теоретическая механика для техникумов.- 12-е изд., испр.- М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1988.- 336 с.

5.Техническая механика: Учеб. для техникумов / Эрдеди А.А. и др.- 2-е изд. перераб.- М., Высш. школа, 1980.- 446 с., ил.

 


 

Задания и методические указания

к выполнению контрольных работ по дисциплине

«Теоретическая механика»

 

 

Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага для множ. аппаратов. Печать плоская. Усл. печ. л. ____ . Уч.- изд. л.___ . Тираж____ экз. Заказ____

ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет, Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.


Ризограф ФГАОУ ВПО РГППУ. Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.

– Конец работы –

Используемые теги: Федеральное, Государственное, Автономное, образовательное, учреждение0.083

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ... федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего... Красноярский государственный педагогический университет...

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ... САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ... СОДЕРЖАНИЕ...

Федеральное государственное образовательное учреждение
Федеральное государственное образовательное учреждение... Высшего профессионального образования... Кузбасский институт...

Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
ПЕРМСКИЙ ИНСТИТУТ ФИЛИАЛ... федерального государственного бюджетного образовательного учреждения... высшего профессионального образования...

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования... НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО...

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Содержание Список рекомендованной литературы ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ И СОСТАВ ПРОЕКТА... Список рекомендованной литературы... Основы проектирования строительства и реконструкции железных дорог Учебник Под общ ред Ю А Быкова и...

Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Описание рентгенологических снимков с различными легочными синдромами... Обсуждение данных исследования каждого снимка...

Благотворительная деятельность в сфере образования (автономные образовательные учреждения)
Многочисленные изменения структуры учреждений образования привели к появлению новой организационно-правовой формы субъектов образовательной… Одной из особенностей функционирования автономного образовательного … Такой механизм формирует постоянный доход за счет благотворительной деятельности организаций, а значит, создает основу…

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального... Уральский государственный университет путей сообщения...

Актуальные проблемы разграничения предметов ведения и полномочий между федеральными органами государственной власти и органами государственной власти субъектов Российской Федерации
Совет Федерации, в свою очередь, приступил к обсуждению проблемы разграничения полномочий центра и регионов. В частности, председатель Со-вета Федерации Сергей Миронов, открывая заседание… Одна из самых ост-рых проблем российского федерализма касается двусторонних договоров феде-рации и…

0.037
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам