Указания к решению задач

 

Используется единый подход к изучению жидкостей и газов, т. к. в ряде механических явлений их поведение определяется одинаковыми параметрами и идентичными уравнениями. Поэтому пользуются единым термином «жидкость».

1. Давление жидкости – скалярная физическая величина, определяемая нормальной поверхностной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади:

, , , Па = Н/м².

2. Закон Паскаля: жидкость (или газ) передает производимое на нее поверхностными силами внешнее давление по всем направлениям без изменения.

3. Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны жидкости направленная вверх сила, равная весу жидкости, объем которой совпадает с объемом погруженной в жидкость части тела:

, ,

где r – плотность жидкости, V – объем погруженной в жидкость части тела.

Жидкость, плотность которой с изменением давления не изменяется, называется несжимаемой.

Рис. 1.6.1

4. Давление в жидкости.

– давление на свободной поверхности жидкости, часто оно равно атмосферному.

В точке А, погруженной в жидкость на высоту h, давление равно р (рис. 1.6.1) ,

где – гидростатическое давление.

5. Уравнение неразрывности, трубка тока, уравнение расхода.

• Уравнение неразрывности:.
• Для стационарного случая , .
• В случае одномерного течения имеем .

Рис. 1.6.2

Векторная линия – линия, в каждой точке которой вектор касателен к ней. Если через каждую точку замкнутого контура провести векторную линию – для вектора скорости, то получим замкнутый объем, ограниченный векторной поверхностью, который принято называть трубкой тока. По определению перенос массы возможен лишь вдоль трубки тока. Тогда объемный расход через трубку тока на стационарном режиме будет равен , м³/с,

где V – скорость, м/с, S – площадь поперечного сечения трубки тока, м².

Массовый расход через трубки тока

, кг/с,

где r – плотность жидкости, кг/м³.

6. Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости:

,

где – полное давление, р – статическое давление, – гидростатическое давление, – динамическое давление.

7. Идеальная жидкость – физическая абстракция – жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения.

Формула Торричелли, определяющая скорость истечения идеальной жидкости через малое отверстие в открытом широком сосуде:

,

где h – глубина, на которой находится отверстие относительно свободной поверхности жидкости в сосуде.

8. Формула Пуазейля, определяющая расход жидкости через поперечное сечение трубки:

, м³/с,

где r – радиус трубки, l – ее длина, DР – разность давлений на концах трубки, h – динамическая вязкость жидкости.

9. Число Рейнольдса для потока жидкости:,

где – среднемассовая скорость течения жидкости, l – определяющий размер, – кинематическая вязкость.

Для движения шарика в жидкости или течения жидкости по трубам:

,

где u – скорость шарика, d – диаметр шарика или внутренний диаметр трубки.

При числах Рейнольдса, меньших некоторого критического значения , движение жидкости является ламинарным. При значениях движение жидкости переходит в турбулентное.

Критическое число Рейнольдса для движения шарика в жидкости ; для потока жидкости в трубах .

10. Формула Стокса, определяющая силу сопротивления F, действующую со стороны потока жидкости на медленно движущийся в ней шарик:

,

где r – радиус шарика, u – его скорость.

Формула справедлива для скоростей, при которых .

 

1.6.2. Примеры решения задач

 

ЗАДАЧА 1. На столе стоит цилиндрический сосуд, наполненный водой до уровня H = 20 см от дна. Если в воду (r = 1 г/см³) опустить плавать тонкостенный никелевый стакан (r¢ = 8,8 г/см³), то уровень воды поднимется на h = 2,2 см. Определить уровень H₁ воды в сосуде, если стакан утопить.

ДАНО: H = 20 см = 0,2 м r = 1 г/см3 = 103 кг/м3 r¢ = 8,8 г/см3 = 8,8×103 кг/м3 h = 2,2 см = 2,2×10–2 м

H1 – ?

АНАЛИЗ: В случае, когда стакан плавает в воде (рис. 1.6.3 б), сила тяжести, действующая на стакан, уравновешивается силой Архимеда:

. (1.6.1)

а) б) в) Рис. 1.6.3

Если стакан утопить (рис. 1.6.3 в), то объем сосуда, наполненного водой, будет равен сумме объема воды (рис. 1.6.3 а) и объема никеля:

. (1.6.2)

РЕШЕНИЕ: Сила тяжести, действующая на стакан:

. (1.6.3)

Силу Архимеда найдем по закону Архимеда:

, (1.6.4)

где S₁ – площадь дна стакана, x – высота стакана, находящегося в воде (рис. 1.6.3 б).

Подставим (1.6.3) и (1.6.4) в (1.6.1):. (1.6.5)

Распишем выражение (1.6.2):, (1.6.6)

где S – площадь дна сосуда.

Для случая, когда стакан плавает (рис. 1.6.3 б), запишем, что общий объем будет равен сумме объема воды и объема стакана, находящегося в воде:,

отсюда. (1.6.7)

Подставим (1.6.7) в (1.6.5):.

Отсюда выразим объем никеля:. (1.6.8)

Из (1.6.6) выразим Н₁ и подставим в (1.6.8):.

Проверка размерности: .

Расчет: м.

ОТВЕТ: Н₁ = 20,2 см.

 

ЗАДАЧА 2. Открытый сверху цилиндрический сосуд высотой h заполнен доверху идеальной жидкостью. В дне сосуда открыли малое отверстие, площадь которого в n раз меньше площади отверстия сосуда. Считая n >> 1, найти, через какое время вся жидкость вытечет из сосуда.

ДАНО: h

t – ?

АНАЛИЗ: Скорость u, с которой будет опускаться уровень жидкости в сосуде, не постоянна. Поэтому сначала найдем время dt, за которое убыль высоты уровня равна dx:

. (1.6.9)

Связь между u и высотой уровня x найдем из уравнений неразрывности и Бернулли, а затем, проинтегрировав уравнение (1.6.9), найдем искомое время t.

Рис. 1.6.4

РЕШЕНИЕ: Запишем уравнение неразрывности струи и уравнение Бернулли для двух сечений: на высоте x и на выходе из отверстия:

(1.6.10)

и . (1.6.11)

В уравнении (1.6.11) учтено, что давление р₀ в обоих сечениях одинаково (атмосферное). Учитывая, что , из уравнения (1.6.10) получим:

. (1.6.12)

Подставим (1.6.12) в (1.6.11):.

Учитывая, что n >> 1, получим:. (1.6.13)

Подставим (1.6.13) в (1.6.9):.

Интегрируем в пределах: по t от нуля до t, по x от h до нуля:.

Проверка размерности: .

ОТВЕТ: .

 

ЗАДАЧА 3. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинарным. Движение считать установившимся.

ДАНО: h = 1480 мПа×с = 1480×10–3 Па×с rсв = 11,3 г/см3 = 11,3×103 кг/м3 rгл = 1,26 г/см3 = 1,26×103 кг/м3

dmax – ?

АНАЛИЗ: Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как одно целое, движется и прилипший к телу слой жидкости. Этот слой вследствие внутреннего трения увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости от размеров и формы тела, его скорости, а также свойств жидкости и определяется безразмерным числом Рейнольдса.

Если тело, движущееся в жидкости, имеет форму шара диаметром d, то, (1.6.14)

а критическое значение этого числа .

Скорость выразим из второго закона Ньютона.

Рис. 1.6.5

РЕШЕНИЕ: На свинцовый шарик, падающий в глицерине, действуют три силы (рис. 1.6.5):

1) сила тяжести шарика:, (1.6.15)

где V – объем шарика;

2) выталкивающая сила, определяемая по закону Архимеда:

.(1.6.16)

3) сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса:

.(1.6.17)

При установившемся движении шарика в жидкости () согласно второму закону Ньютона:

или в скалярном виде:. (1.6.18)

Подставим (1.6.15), (1.6.16) и (1.6.17) в уравнение (1.6.18):,

откуда. (1.6.19)

Подставим (1.6.19) в (1.6.14) и выразим диаметр шарика:.

Максимальное значение диаметра d_max, при котором движение остается еще ламинарным, соответствует критическому значению числа Рейнольдса Re_кр. Поэтому:

.

Проверка размерности:

.

Расчет:м.

ОТВЕТ: м.

 

ЗАДАЧА 4: В трубу А насосом нагнетается вода. Скорость течения воды в трубе В известна и равна u_В. Сечение труб А и В одинаково и равно S, сечение трубки С составляет S₁. Определите разность уровней в манометре. Плотность манометрической жидкости r_м. Течение жидкости считать ламинарным.
(рис. 1.6.6). Трубы А и В горизонтальны.

ДАНО: SA = SB = S SC = S1 uB, r, rм

h – ?

АНАЛИЗ: Так как А, В и С горизонтальны, то потенциальная энергия жидкости в них одинакова. По условию задачи предполагается, что жидкость идеальная, а, следовательно, будет справедливо уравнение Бернулли:

Рис. 1.6.6

. (1.6.20)

В дополнение к уравнению Бернулли используем уравнение неразрывности:

. (1.6.21)

На основании указанных законов можно построить решение задачи.

РЕШЕНИЕ: Из (1.6.21) находим

.

Из (1.6.20) имеем

,

.

Именно эта разность давлений и уравновешивается столбиком h манометрической жидкости

,

.

Проверка размерности является очевидной.

ОТВЕТ: .

 

 

1.6.3. Задачи для самостоятельного решения