Лшеу қателіктері

Барлық өлшеулер қаншалықты нақтылап жүгізілгенмен де, тек жуық нәтижесін береді және өлшеу қателіксіз болмайды.

Қандай да бір х физикалық шаманы п рет өлшенді дейік, нәтижесінде осы шаманың х₁, х₂,… х_n мәндер қатары алынды. Өлшеуді орындаған кезде, нәтижені біліп қана қоймай, оның дәлдігі жайлы хабардар болу керек. Көптеген жағдайларда х шамасының өлшем мәндері х₁, х₂… х_n болғанда, бұл өлшеудің орташа арифметикалық нәтижесі <х> болып табылады. Бұл кезде өлшенген шама мәнінің интервалын ±Dx көрсету қажет;

<х> +Dx - өлшенген шаманың дәл үлкен мәні; <х>-Dx – дәл кіші мәні.

Dx шамасы өлшеу нәтижесінің қателігі немесе қателік деп аталады, ал <х>+Dx интервалыны мен <х>-Dx интервалына дейінгі аралық (сенімді) дәлме-дәл интервал делінеді. <х> - орташа мәнінің шындықтан айырмашылығы, ол Р-ның дәлме-дәл болуынан шығады. Ол бір тектес өлшеу түрлерінің нәтижелерінің үлесіне тең, яғни Dx шамасының шындықтан айырмашылығы сандық мәнінде болады. Сенім аралығы e- берілген Р ықтимал бойынша, <х> нүктесінде кесіндінің 2e сандық осі центрмен бірге өлшенетін х шаманың мәнін өзіне қосу арқылы анықталады.

Анықтаушы Р₀ ықтимал үшін өлшеу қателіктері болып табылады. Өлшенген нәтиже шаманың дәл мәніне сәйкес келуі үшін үлкен Р ықтимал алынады. Бұл жағдайда, ±e =kDx интервалының аралығы қалыптасады, мұнда k коэффициенті Р/Р₀ қатынасы бойынша анықталады.

k = Р/Р₀

 

Егер құралдың көрсетуі бойынша өлшеу нәтижелерін қайта жөндеп, көп немесе аз қателіктерін тапсақ, онда өлшеудің жөнделген нәтижелерінің орташа арифметикалық мәні мына формула бойынша табылады:

 

Әдетте жалпы қабылданған өлшеудің стандарт қателіктерінің орнына орташа квадраттық қателіктер алынады. Ол өлшеу қателіктерінің жақсы жуықтайтын кездейсоқ шамалары үшін Гаусс анықтамасының дисперсиясына тең.

Өлшеу нәтижесінің орташа арифметикалық мәнінен алынған орташа квадраттық ауытқу мына формуламен анықталады:

 

 

Орташа квадраттық қателіктің ауытқуы S_<x> шамасының орташа арифметикалық қателігін <x> түсіндіреді.

түріндегі жазу сондай дәлдікпен алынған <х> - тің кез келген барлық өлшеуінің 68% , аралығына келетіндігін көрсетеді. Басқаша айтқанда алынған нәтиже дұрыс нәтижеден Р=68% сенім ықтималдығымен аралығында болады. Өлшеу нәтижесінің аралықтарында болу ықтималдығы 95,4%, ал - 99,7% болады.

Өлшеу қателіктері Гаустың таралуымен тек шексіз үлкен өлшеулер санына сәйкес келеді. Аз өлшеулерде өлшеу нәтижесінің кездейсоқ қателігінің сенім аралығын есептеуде Стьюдент таралуы қолданылады:

 

e=±t_p.n S_<x>

 

мұндағы, ±t_p.n - n рет бақылау саны үшін және Стьюдент коэффициенттік кестесі арқылы Р сенім интервалымен анықталатын Стьюдент коэффициенті.

 

Стьюдент коэффициенттерінің кестесі.

Р – сенім ықтималдылығы.

n - өлшеу саны.

 

nP	0,5	0,6	0,7	0,8	0,09	0,95	0,0989	0,999
	0,82 0,77 0,74 0,73 0,72 0,71 0,71 0,70 0,69 0,69 0,68 0,68 0,68 0,67	1,38 1,06 0,98 0,94 0,92 0,90 0,90 0,90 0,88 0,87 0,86 0,85 0,85 0,85 0,84	2,0 1,3 1,3 1,2 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,0 1,0 1,00	3,1 1,9 1,6 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4 1,3 1,3 1,2 1,3 1,3 1,3	6,3 2,9 2,4 2,1 2,0 1,9 1,9 1,9 1,8 1,8 1,7 1,7 1,7 1,7 1,6	12,7 4,3 3,2 2,8 2,6 2,4 2,4 2,3 2,3 2,1 2,1 2,0 2,0 2,0 2,0	31,8 7,0 4,5 3,7 3,4 3,1 3,00 2,9 2,8 2,6 2,5 2,4 2,4 2,4 2,3	636,6 31,6 12,9 8,6 6,9 6,0 5,4 5,0 4,8 4,1 3,9 3,6 3,5 3,4 3,3

Кестеден көрініп тұрғандай 7-10 рет өлшеу және шексіз көп ретті өлшеу кезінде де орташа квадраттық қателіктерді қолдануға болады. Автоматты өлшеу кезінде өлшеу саны өте үлкен болуы мүмкін, алайда өлшеу санының артуы орташа квадраттық қателіктердің азаюына әкеледі және қателік интервалы аралығында сенім ықтималдылығын өзгертпейді.

Қателіктерді жүйелі және кездейсоқ деп екі түрге бөлуге болады. Олардың арасындағы айырмашылық: жүйелі қателіктер шамасы және таңбасы жағынан тұрақты, ал кездейсоқ қателіктер, керісінше, өзінің шамасы мен таңбасын өзгертіп тұрады. Кездейсоқ қателіктерді көп рет өлшеу арқылы кемітуге болады. Жүйелі қателікті мұндай жолмен кеміту мүмкін емес. Кездейсоқ қателікті статистикалық әдістермен өңдеуге болады, ал жүйелі қателіктерге бұл әдістер қолданылмайды.

Жүйелі қателіктер өлшеу қондырғыларының қателіктерінен пайда болады (жөнді істемейтін секундомер, қисық сызғыш, тілшелі құрал, яғни тілшесі өлшеу алдында нөлге келтірілмеген), тәжірибені жүргізу шартының алдын ала дайындалған теориядан айырмашылығынан, тәжірибе әдістемесінің жеткіліксіз болуынан пайда болады.

Жүйелі қателіктерді анықтау үшін ешқандай жалпы ереже жоқ. Олардың әр түрлі жағдайда пайда болуы арнайы зерттеулерді қажет етеді, сондықтан жүйелі қателіктерді толығымен ескермеуге болмайды, оларды тек кездейсоқ қателіктер тобына ауыстыруға болады.

Кездейсоқ қателіктер тәжірибелерде болады және ол көп мөлшердегі факторлар қосындысы әсерлерінің нәтижесі болып табылады, ал олардың әрқайсысының әсерін ескеру мүмкін емес. Кездейсоқ қателіктерді тудыру көздері: бақылаушының аз ғана қателігі, қондырғыға әсер ететін кездейсоқ әсерлер (мысалы, механикалық вибратор) және басқалар. Кездейсоқ қателіктерді алып тастауға болмайды, бірақ олардың ықпалын көп өлшеулер көмегімен нәтижелерін математикалық өңдеу арқылы ескеруге болады.

Кездейсоқ қателіктің түрлілігі – өрескел қателік немесе байқамай қалатын қателік болып бөлінеді. Олар тәжірибе жүргізушінің анық зер салмауынан болады (мысалы, өлшеуіш құрал арқылы дұрыс өлшемеу, санақты дұрыс жазбау және т.с.с.) Көп жағдайда, байқамай жіберілетін қателіктер көп ретті өлшеулер кезінде анық білінеді, себебі сәйкес санаудың басқалардан айырмашылықтары болады. Нәтижені қайта өңдеген кезде ондай санауды алып тастау керек.

Жүйелі қателіктерді ескере отырып, өлшеу нәтижесінің жалпы қателігінің сенім аралығын былай жазамыз:

 

 

мұндағы q - жүйелі қателік, бұл оқу зертханасындағы өлшеуіш құралдың шкаласы бөліктерінің құнымен бағаланады немесе өлшеуіш құралда көрсетіледі.

Кейбір жағдайларда жалпы қателіктердің сенім аралығы мына формула бойынша есептеледі:

 

Өлшеудің соңғы нәтижесін мына түрде жазамыз: х=<x>±Dх;

Мысалы, r= (7,70±0,72) 10³ кг/м³, P=0,95.

Өлшеудің сан мәнінің сандық реті Dх сенім аралығын анықтаушы нәтижелерінің сандық ретімен бірдей болуы тиіс. Сенім аралығы екі мәндік санмен жазылады.

Өлшем дәлдігін білдіретін өлшеу нәтижесінің салыстырмалы қателігі мынаған тең: