Логарифм этического декремента затухания.

 

Цель работы: Экспериментальное определение логарифмического декремента затухания и добротности колебательной системы.

Приборы и принадлежности: физический маятник, шкала с сантиметровыми делениями, секундомер.

 

ВВЕДЕНИЕ. Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действия которых приводят к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счёт работы внешних сил, колебания будет затухать. В простейшем, случае сила сопротивления Fconp пропорциональна величине скорости.

Fconp = - rх

Здесь r — постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила Fconp и скорость и имеют противоположные направления, следовательно, их проекции на ось х имеют разные знаки.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления в проекции наось х имеет вид:

Здесь первое слагаемое представляет собой проекцию квазиупругой силы на осьх, второе слагаемое — проекцию силы сопротивления на ось х. Применив обозначения

получим:

Это дифференциальное уравнение описывает затухающие колебания системы. Отметим, что w0 представляет собой ту частоту с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления

среды (при r=0). Эту частоту называют частотой собственных колебаний системы.

Подстановка функции х=е-lt приводит к характеристическому уравнению

 

 

Корни этого уравнения равны

 

При не слишком большом затухании (при b < wо) подкоренное выражение будет отрицательным. Представим его в виде (iw)2 где <w> вещественная величина, равная

Тогда корни характеристического уравнения запишутся следующим образом:

a общим решением уравнения будет функция

или

Здесь а0 и j - определяются начальными условиями.

 

Рис.18

 

Движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с амплитудой, изменяющейся по закону a{t)= а0 • е-bt. Верхняя из пунктирных кривых на рис1 даёт график функции а(t) причем величина а0 представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение x0 зависит, кроме а0, также от начальной фазы j:

x0 = а0 × cosj

 

Скорость затухания колебаний определяется величиной b =- r / 2m которую называют коэффициентом затухания.

При незначительном сопротивлении среды (b2 << w0) период колебаний, практически равен Т = 2p/w0. С ростом коэффициента затухания, период колебаний увеличивается.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно:

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм логарифмическим декрементом затухания:

Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания J. Выразив b через J и Т, можно закон убывания амплитуды со временем записать в виде .

За время t, за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить колебаний.

Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина

называемая добротностью колебательной системы. Как видно из её определения добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за то время t. за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.