Язык и табличное построение КЛВ. - раздел Механика, Логика как наука о мышлении Логика Высказываний (Пропозициональная Логика) – Это Тео...
Логика высказываний (пропозициональная логика) – это теория,
изучающая логическую структуру сложных высказываний, отношения
между ними и выводы, построенные с учетом этой структуры.
При выявлении логических форм контекстов естественного языка
в этой теории происходит абстрагирование от содержаний простых
высказываний, от их внутренней структуры, а учитывается лишь то, с
помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания
сочленяются в сложные. Алфавит логики высказываний включает в себя
три вида символов:
1) пропозициональные переменные – p, q, r, s, ...
2) пропозициональные связки – ¬ , &, ∨, ∨, ⊃, ≡
3) скобки – ( , ).
Пропозициональные переменные замещают собой простые
высказывания. Например, высказывание «идет дождь» можно
обозначить символом p, высказывание «светит солнце» – символом q, и
т.д. Пропозициональные связки предназначены для того, чтобы
объединять простые высказывания в более сложные. Их аналогом в
естественном языке чаще всего выступают грамматические союзы.
¬ – отрицание («не»; «неверно, что», «неправда, что» и т.п.)
& – конъюнкция («и», «а», «но», «хотя», и т.п.)
∨ – дизъюнкция («или», «по крайней мере одно из двух» и т.п.)
∨ – строгая дизъюнкция («либо-либо», «только одно из двух» и
т.п.)
⊃ – импликация («если, то», «значит», «вытекает» и т.п.)
≡ – эквиваленция («если и только если», «равнозначно» и т.п.)
Значимые выражения в языке КЛВ называются формулами.
Пропозициональные переменные сами по себе уже являются
(атомарными) формулами. Более сложные формулы получаются из
атомарных с использованием связок. Если Аи В– формулы, то ¬А,
А&В, А∨В, А∨В, А⊃В, А≡В– тоже формулы. Ничто другое не является
формулой. Формула, входящая в состав некоторой формулы, называется
ее подформулой и выделяется скобками.
Часто используется соглашение об опускании скобок. Считается,
что каждая следующая связка в приведенном выше перечне u1089 связывает
слабее, чем предыдущая. Так, например, дизъюнкция связывает
переменные слабее, чем конъюнкция, эквиваленция – слабее, чем
импликация, и т.д.
Переводить высказывания с обычного языка на естественный не
трудно. Пусть, например, розначает «Ромео любит Джульетту», q–
«Джульетта любит Ромео», r– «Джульетта красивая», s– «Ромео
храбрый». Тогда переводом следующих высказываний будут формулы:
– «Ромео храбрый и любит Джульетту» s & p
– «Неверно, что Джульетта некрасивая
или Ромео ее не любит» ¬(¬r∨ ¬p)
– «Если Джульетта красива, а Ромео храбр,
то они любят друг друга» (r&s)⊃ (p&q)
Упражнение 1: запишите на языке КЛВ предложения:
а) «Если Ромео храбр, но не любит Джульетту, значит она
некрасивая».
б) «Неверно, что Джульетта любит Ромео если и только если он
ее любит».
в) «Либо Джульетта красивая, но не любит Ромео, либо Ромео
храбрый, но не любит Джульетту».
г) «Если Джульетта любит Ромео, а он ее нет, значит либо она
некрасивая, либо он трус».
д) «Неверно, что из храбрости Ромео вытекает его любовь к
Джульетте».
Семантика языка КЛВ задается с помощью так называемых
«таблиц истинности». Каждая отдельная пропозициональная
переменная, замещающая собой простое предложение, может быть
истинной или ложной. Это обозначается, соответственно, буквами «и» и
«л». Истинность или ложность более сложных формул можно всегда
определить, зная истинностное значение содержащихся в них
переменных. Для этого существует таблица:
Рассмотрим на примере, как строится таблица истинности для
произвольной формулы. Пусть нам дано высказывание: «Если Ромео и
Джульетта любят друга, то неверно, что по крайней мере один из них не
любит другого». Его переводом на язык КЛВ будет формула: (p&q) ⊃
¬(¬p∨¬q).
Алгоритм построения таблицы истинности:
1) Определить число строк (оно вычисляется по формуле k = 2n,
где k – количество строк, а n – число различных пропозициональных
переменных, входящих в формулу).
2) Задать все комбинации совместной истинности/ложности
пропозициональных переменных1.
3) Вычислить (построчно) значение каждой подформулы и
формулы в целом (используя данное выше табличное определение
пропозициональных связок).
В этой таблице всего четыре строки, поскольку формула содержит
лишь две переменные – pи q. Первые два столбца задают все
возможные комбинации совместной истинности и ложности этих
переменных. Следующие пять столбцов показывают, каким будет
значение каждой подформулы в той или иной строчке. Последний
(результирующий) столбец показывает значение всей формулы в целом.
В зависимости от того, каким является результирующий столбец
таблицы, выделяют три вида формул: тождественно-истинные,
тождественно-ложные и логически случайные.
Тождественно-истинной (общезначимой) называется формула,
принимающая значение «и» во всех строках таблицы.
Тождественно-ложной (невыполнимой) называется формула,
принимающая значение «л» во всех строках таблицы.
Логически случайной (собственно выполнимой) называется
формула, принимающая в некоторых строках таблицы значение «и», а в
некоторых – «л».
В приведенном примере формула является тождественно-
истинной. Она истинна всегда, независимо от того, истинны или ложны
входящие в нее пропозициональные переменные. Другими словами,
данная формула выражает собой логический закон.
Упражнение 2: установите табличным способом, к каким видам
относятся следующие формулы: а) ¬(p & q) ≡ (¬p & ¬q), б) (p ⊃ q) ⊃
(¬q ⊃ ¬p), в) (p ≡ q) & (p ∨ q)
Все темы данного раздела:
Логика как наука о мышлении
Что же изучает логика как наука и почему она называется формальной?
Слово «логика» происходит от греческого logos, что означает «мысль», «слово», «разум», «закономерность». В соврем
Язык логики
Наше мышление не сущ-т без языка => понятия не сущ-т без слова. Сужд-я не сущ-т без предлож-я. Умозакл-я нельзя построить без сужд-й.
Поскольку логика из
Логическая форма и законы мышления
Мы уже говорили, что основные формы абстрактного мышления - это понятие, суждение, умозаключение. Каждая из этих форм имеет свою специфическую внутреннюю структуру и подчиняется определенным
Предложение, суждение, высказывание. Виды сложных высказываний, условия их истинности.
Суждение, как и понятие, являясь структурой мышления, имеет свою внутреннюю структуру, однако более сложную, чем понятие. Элементами логической структуры суждения являются: субъект, преди
Сложные суждения и условия их истинности
Сложные суждения - такие, которые состоят из простых суждений, связанных между собой логическими союзами (связками): «не», «и», «или», «если.., то», «если, и только если.., то».
Основные принципы формальной логики. Понятие законов логики
Логика высказываний - это логика повествовательных предложений, т. е. прежде всего суждений, позволяющая с помощью искусственного языка выразить их логическую структуру.
Логика в
Логические отношения между сложными высказываниями.
Сложные суждения могут быть сравнимыми и несравнимыми.
Несравнимые — это суждения, которые не имеют общих пропозициональных переменных.
Срав
Отношения между сложными суждениями
Сопоставление сложных суждений позволяет разделить их на группу независимых и группу зависимых суждений.
К независимым относятся суждения, которые не имеют общих составляющих; для них хара
Сложные зависимые суждения могут быть совместимыми и несовместимыми.
Отношение совместимости.
К совместимым относятся суждения, которые одновременно могут быть истинными. Как и в случае простых суждений различают три вида совместимости
Отношение несовместимости.
Несовместимыми являются суждения, которые одновременно не могут быть истинными. Из двух видов несовместимости одна - противоположность, другая - противоречие.
Противоположность - отношение
Логическая форма. Отношение логического следования
В этом параграфе будет сформулирован критерий правильности умозаключений. Приступая к рассмотрению данной проблемы, необходимо иметь в виду следующее: вопрос о том, является ли некоторое умозаключе
Понятие о логике высказываний
Современная символическая логика для анализа дедуктивных рассуждений стро ит особые логические системы; одна из них называется логикой высказыванийили
Состав и виды простых атрибутивных высказываний
Силлогистика является исторически первой дедуктивной теорией, ее отец – Аристотель. Благодаря своей простоте и естественности она выступала образцом и основой логической науки на протяжении двух ты
Логическая форма и условия истинности простого атрибутивного высказывания.
Итак, все простые высказывания можно разделить по двум основаниям: качественной характеристике высказывания и местности его логического сказуемого на: 1)атрибутивные утвердител
Простые суждения
Несравнимыми среди простых являются суждения, имеющие различные субъекты или предикаты.
Сравнимыми являются суждения с одинаковыми субъектами и предикатами и различающиеся св
Отношения между атрибутивными высказываниями
В КЛВ любые два простых высказывания автоматически считаются независимыми,
что не всегда отражает их действительное отношение друг к другу. Силлогистика в этом
смысле является бол
Язык и семантика силлогистики.
Язык силлогистики предназначен для того, чтобы выражать состав, структуру и вид атрибутивных высказываний. Его алфавит включает в себя:
1) Переме
А) Умозаключения по логическому квадрату.
Используя отношения, зафиксированные в логическом квадрате, можно осущест-
влять ослабление и отрицание атрибутивных высказываний.
Ослабление представляет соб
В) Обращение атрибутивных высказываний.
Обращение (конверсия) – это непосредственное умозаключение, в котором субъект
заключения совпадает с предикатом посылки, а предикат заключения – с субъектом по-
Простой категорический силлогизм (состав, фигуры, модусы). Общие правила силлогизма.
Силлогизмом вообще в логике называют умозаключение из более чем одной по-
сылки. В таком расширительном смысле силлогизмами являются, например, умозаклю-
чени
Правила фигур
1 фигура:(1) Большая посылка должна быть общей.
(2) Меньшая посылка должна быть утвердительной.
2 фигура:(1) Большая посылка должна быть общей.
Общие правила силлогизма
1) Средний термин должен быть распределен по крайней мере в одной из посылок.
2) Если термин распределен в заключении, он должен быть распределен и в посылке.
3) По крайней мере о
Простой категорический силлогизм. Структура категорического силлогизма. Способы проверки правильности категорических силлогизмов.
Силлогизм (греч. syllogismоs) – дедуктивное умозаключение, в котором из двух суждений (посылок) следует третье суждение (заключение). В зависимости от вида суждений (посылок), входящих в силлогизм,
Понятие энтимемы, восстановления силлогизма - основные этапы
В процессе рассуждения мы не всегда употребляем силлогизмы в полном, развёрнутом виде. Иногда формулируются только большая посылка и заключение силлогизма, а меньшая посылка лишь подразумевается. В
Энтимемы и полисиллогизмы
Энтимемой (от лат. «энтиме» – «в уме») называется сокращенный силлогизм, в ко-
тором пропущена одна из посылок или заключение.
В практике аргументации энтимем
Общая характеристика понятий
Одной из форм интеллектуальной познавательной деятельности является понятие. Мышление, рассуждение всегда осуществляется в языке, но все-таки мыслим мы не
языковыми выражениями (терминами)
Тами объема понятия αА(α).
Рассмотрим, например, термин «куб». У него может быть два значения – геомет-
рическое и арифметическое. Чтобы избежать неясности, сформулируем понятие о кубе:
«прави
Обобщение и ограничение понятий
Помимо булевых операций, к понятиям часто применяются такие операции, как
обобщение и ограничение. Они основаны на отношении типа «родвид».
Из двух непустых понятий
А⊆ В≡ А(α)⊃ В(α).
Сравним, например, два понятия:
1) «студент, сдавший все экзамены» и
2)
Виды понятий.
Понятия принято делить на следующие виды:
1) единичные и общие, 2) собирательные и несобирательные, 3) конкретные и абстрактные, 4) положительные и отрицательные
А) Виды понятий по объему.
При выделении видов понятий нужно учитывать различные их особенности. Наи-
более важными основаниями для деления понятий являются: (1) тип их объема, (2) тип
элементов, входящих в
В) Виды понятий по типу элементов объема.
По типу элементов объема понятия делятся на:
а) конкретные и абстрактные
Конкретным считается понятие, элементами объема которого являются объек
С) Виды понятий по содержанию.
По типу признаков понятия подразделяют на:
а) положительные и отрицательные
Положительным считается понятие, в котором предметы обобщаются на ос
Отношения между понятиями по объему.
Отношения между объемами понятий удобно проиллюстрировать при помощи графических схем, в которых множества представляются в виде кругов, и предполагается, что в данных кругах заключены все элементы
Обобщение и ограничение понятий
Помимо булевых операций, к понятиям часто применяются такие операции, как
обобщение и ограничение. Они основаны на отношении типа «родвид».
Из двух непустых понятий
А⊆ В≡ А(α)⊃ В(α).
Сравним, например, два понятия:
1) «студент, сдавший все экзамены» и
2)
Определение и приемы, сходные с ним
Как уже говорилось в предыдущей теме, повседневная разговорная практика часто
пренебрегает требованием точности, однозначности. Это может привести к взаимному
недопониманию и даже
А есть то, что удовлетворяет пунктам] В1, В2, …, Вn.
Собственно определение здесь сводится к пунктам В1, В2, …, Вn,а предшествующая
фраза в квадратных скобках чаще всего подразумевается неявно. В зависимости от того,
К(А)≡ df В.
Читается: «термин А,по определению, употребляется в контексте К,если и только
если В». Определяемая и определяющая части здесь представля
Реальные и номинальные определения
Помимо того, что все определения подразделяются на явные и неявные, контек-
стуальные и неконтекстуальные, их можно делить также на реальные и номинальные.
При этом
Правила определения
Чтобы определения были логически корректными, к ним предъявляют некоторые
принципиальные требования. Некоторые из этих требований носят всеобщий характер, а
некоторые имеют силу л
Вопрос-Понятие,основные виды аргументации.doc
Аргументация. Цель познания в науке и практике — достижение достоверного, объективно истинного знания для активного воздействия на окружающий мир. Установление
Структура и субъекты аргументации
Обязательными участниками, или субъектами, аргументативного процесса являются: пропонент, оппонент и аудитория.
1. Пропонентом
Структура аргументации
Аргументация включает три взаимосвязанных элемента: тезис, аргументы, демонстрацию.
1. Тезис — это выдвинутое пропонентом суждение, к
Способы аргументации: обоснование и критика
Цель аргументации при обсуждении спорных вопросов — формирование рационально обоснованных убеждений. Такие убеждения наряду с позитивными включают и негативные аспекты. П
Обоснование тезиса
По способу аргументации различают два вида обоснования выдвинутого положения: прямое и косвенное.
1. Прямым называют обоснование тезиса без обращения к конку
Правила и ошибки в аргументации
Под логической ошибкой обычно имеют в виду непреднамеренное нарушение правил логики в процессе рассуждения по причине логической небрежности либо неосведомленности.
Подмена тезиса.
Общее название ошибки по отношению к тезису — подмена тезиса, которая бывает полной или частичной.
(1) Полная подмена тезиса проявляется в том, что, выдвинув определенное пол
Правила и ошибки по отношению к аргументам.
правила-
ошибки
1. аргументы должны быть истинными
2. аргументы должны быть суждениями, истинность которых установлена независимо от т
Виды аргументации по форме. Правила и ошибки по отношению к форме аргументации.
Дискуссия как вид аргументации нередко отождествляется со спором и с полемикой. Многие авторы рассматривают ее как деятельность, которая в отличие от запора не разъединяет, а
Правила и ошибки по отношению к демонстрации
Правила
Ошибки
1. Любое доказательство или опровержение должно строиться по правилам соответствующего вида умозаключений
1.1. Наруше
Правила и ошибки по отношению к форме аргументации и критики
Сформулируем одно общее правило по отношению к форме: отношение между аргументами и тезисом должно быть по меньшей мере отношением подтверждения.
При нарушении этого правила возникает ошиб
Виды аргументов
В качестве аргументов могут выступать различные по своему содержанию суждения:
- Теоретические или эмпирические обобщения;
- Утверждения о фактах;
- Аксиомы;
- О
Аргументация может быть как прямой, так и косвенной.
Вместе с тем, существуют определенные логические особенности при ведении любого вида аргументации. Построение и виды используемой аргументации находятся в зависимости от имеющихся целей аргументати
Поля аргументации ?????
Поле аргументации (ПА) — это занимаемая каждым субъектом индивидуальная или коллективная позиция, включающая множество относящихся к аргументативному процессу компонентов: суждений,
Согласование аргументов
Обосновывающие тезис и антитезис аргументы, как и противоречащие им суждения — контраргументы, подлежат обязательному согласованию всеми участниками обсуждения. При этом все участники должны принят
Согласование фундаментальных позиций
Общность исходных философских, идеологических или религиозно-культурных позиций участников дискуссий заметно упрощает и тем самым облегчает обсуждение научных и практических проблем. Участники обыч
Новости и инфо для студентов