Язык и табличное построение КЛВ.

Логика высказываний (пропозициональная логика) – это теория,

изучающая логическую структуру сложных высказываний, отношения

между ними и выводы, построенные с учетом этой структуры.

При выявлении логических форм контекстов естественного языка

в этой теории происходит абстрагирование от содержаний простых

высказываний, от их внутренней структуры, а учитывается лишь то, с

помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания

сочленяются в сложные. Алфавит логики высказываний включает в себя

три вида символов:

1) пропозициональные переменные – p, q, r, s, ...

2) пропозициональные связки – ¬ , &, ∨, ∨, ⊃, ≡

3) скобки – ( , ).

Пропозициональные переменные замещают собой простые

высказывания. Например, высказывание «идет дождь» можно

обозначить символом p, высказывание «светит солнце» – символом q, и

т.д. Пропозициональные связки предназначены для того, чтобы

объединять простые высказывания в более сложные. Их аналогом в

естественном языке чаще всего выступают грамматические союзы.

¬ – отрицание («не»; «неверно, что», «неправда, что» и т.п.)

& – конъюнкция («и», «а», «но», «хотя», и т.п.)

∨ – дизъюнкция («или», «по крайней мере одно из двух» и т.п.)

∨ – строгая дизъюнкция («либо-либо», «только одно из двух» и

т.п.)

⊃ – импликация («если, то», «значит», «вытекает» и т.п.)

≡ – эквиваленция («если и только если», «равнозначно» и т.п.)

Значимые выражения в языке КЛВ называются формулами.

Пропозициональные переменные сами по себе уже являются

(атомарными) формулами. Более сложные формулы получаются из

атомарных с использованием связок. Если Аи В– формулы, то ¬А,

А&В, А∨В, А∨В, А⊃В, А≡В– тоже формулы. Ничто другое не является

формулой. Формула, входящая в состав некоторой формулы, называется

ее подформулой и выделяется скобками.

Часто используется соглашение об опускании скобок. Считается,

что каждая следующая связка в приведенном выше перечне u1089 связывает

слабее, чем предыдущая. Так, например, дизъюнкция связывает

переменные слабее, чем конъюнкция, эквиваленция – слабее, чем

импликация, и т.д.

Переводить высказывания с обычного языка на естественный не

трудно. Пусть, например, розначает «Ромео любит Джульетту», q–

«Джульетта любит Ромео», r– «Джульетта красивая», s– «Ромео

храбрый». Тогда переводом следующих высказываний будут формулы:

– «Ромео храбрый и любит Джульетту» s & p

– «Неверно, что Джульетта некрасивая

или Ромео ее не любит» ¬(¬r∨ ¬p)

– «Если Джульетта красива, а Ромео храбр,

то они любят друг друга» (r&s)⊃ (p&q)

Упражнение 1: запишите на языке КЛВ предложения:

а) «Если Ромео храбр, но не любит Джульетту, значит она

некрасивая».

б) «Неверно, что Джульетта любит Ромео если и только если он

ее любит».

в) «Либо Джульетта красивая, но не любит Ромео, либо Ромео

храбрый, но не любит Джульетту».

г) «Если Джульетта любит Ромео, а он ее нет, значит либо она

некрасивая, либо он трус».

д) «Неверно, что из храбрости Ромео вытекает его любовь к

Джульетте».

Семантика языка КЛВ задается с помощью так называемых

«таблиц истинности». Каждая отдельная пропозициональная

переменная, замещающая собой простое предложение, может быть

истинной или ложной. Это обозначается, соответственно, буквами «и» и

«л». Истинность или ложность более сложных формул можно всегда

определить, зная истинностное значение содержащихся в них

переменных. Для этого существует таблица:

Рассмотрим на примере, как строится таблица истинности для

произвольной формулы. Пусть нам дано высказывание: «Если Ромео и

Джульетта любят друга, то неверно, что по крайней мере один из них не

любит другого». Его переводом на язык КЛВ будет формула: (p&q) ⊃

¬(¬p∨¬q).

Алгоритм построения таблицы истинности:

1) Определить число строк (оно вычисляется по формуле k = 2n,

где k – количество строк, а n – число различных пропозициональных

переменных, входящих в формулу).

 

2) Задать все комбинации совместной истинности/ложности

пропозициональных переменных1.

3) Вычислить (построчно) значение каждой подформулы и

формулы в целом (используя данное выше табличное определение

пропозициональных связок).

В этой таблице всего четыре строки, поскольку формула содержит

лишь две переменные – pи q. Первые два столбца задают все

возможные комбинации совместной истинности и ложности этих

переменных. Следующие пять столбцов показывают, каким будет

значение каждой подформулы в той или иной строчке. Последний

(результирующий) столбец показывает значение всей формулы в целом.

В зависимости от того, каким является результирующий столбец

таблицы, выделяют три вида формул: тождественно-истинные,

тождественно-ложные и логически случайные.

Тождественно-истинной (общезначимой) называется формула,

принимающая значение «и» во всех строках таблицы.

Тождественно-ложной (невыполнимой) называется формула,

принимающая значение «л» во всех строках таблицы.

Логически случайной (собственно выполнимой) называется

формула, принимающая в некоторых строках таблицы значение «и», а в

некоторых – «л».

В приведенном примере формула является тождественно-

истинной. Она истинна всегда, независимо от того, истинны или ложны

входящие в нее пропозициональные переменные. Другими словами,

данная формула выражает собой логический закон.

Упражнение 2: установите табличным способом, к каким видам

относятся следующие формулы: а) ¬(p & q) ≡ (¬p & ¬q), б) (p ⊃ q) ⊃

(¬q ⊃ ¬p), в) (p ≡ q) & (p ∨ q)