Движение материальной точки по окружности - раздел Механика, Курс общей физики (лекции) Раздел I Физические основы механики Положение Частицы М, Движущейся По Окружности Радиуса R, Можно Задать ...
Положение частицы М, движущейся по окружности радиуса R, можно задать в любой момент времени углом поворота её радиус-вектора j = j(t) (рис. 2.14). Угол j отсчитывается от наперёд выбранного неизменного направления ОМ0.
Пусть в момент времени t и (t + Dt) положение частицы на круговой траектории определяется углами j1 и j2. Отношение угла поворота радиус-вектора частицы Dj = j2 — j1 ко времени Dt, за которое произошёл этот поворот, называется средней угловой скоростью движения:
. (2.19)
Рис. 2.14
При малом угле поворота (Dj « 2p), вводится понятие вектора угла поворота 
. Этот вектор направлен по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого винта.
Угловая скорость 
— тоже вектор, совпадающий по направлению с вектором угла поворота .
Предел средней угловой скорости при Dt ® 0 — это мгновенная угловая скорость:
. (2.20)
Мгновенная угловая скорость равна первой производной угла поворота радиус-вектора частицы по времени 
.
Если за промежуток времени от t до (t + Dt) угловая скорость изменилась от w до (w + Dw), то это означает, что движение происходило со средним угловым ускорением:
(2.21)
Это тоже векторная величина. Вектор ускорения 
также как и векторы и , направлен по оси вращения.
По определению, мгновенное угловое ускорение равно первой производной вектора угловой скорости или второй производной угла поворота по времени:
(2.22)
Ясно, что круговое движение материальной точки может характеризоваться и линейной скоростью. Между линейной 
и угловой скоростями должна существовать связь, поскольку речь идёт о двух подходах к описанию одного и того же движения. Найдём связь этих скоростей.
Выберем начало координат — точку отсчёта 0 — на оси вращения (рис. 2.15).
— радиус-вектор движущейся точки, С — центр ее круговой траектории.
Пусть за время dt частица переместилась из точки М1 в точку М2; 
— радиус-вектор её перемещения.
Линейная скорость частицы по определению 
.
Рис. 2.15
Воспользовавшись правилом векторного произведения, представим вектор перемещения в следующем виде:
.
Последнее слагаемое равно нулю, так как это векторное произведение двух векторов, совпадающих по направлению.
Значит, 
, а линейную скорость тогда можно представить так:
,
или 
, так как 
.
В частном случае, когда начало координат — точка отсчёта 0 — находится в центре окружности — С, 
и
. (2.23)
Поскольку 
, последнее выражение можно представить в скалярном виде:
V = wRc. (2.24)
Возьмём производную этой функции по времени, учтя при этом, что Rc = const.
.
Известно, что 
, а 
. Отсюда следует простая связь тангенциальной составляющей линейного ускорения и углового ускорения при вращении по окружности радиуса R:
at = Re. (2.25)
Лекция 3 «Динамика материальной точки»
План лекции
1. Основная задача динамики. Законы Ньютона.
1.1. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчёта. Масса. Импульс тела.
1.2. Второй закон Ньютона — основной закон динамики. Сила.
1.3. Третий закон Ньютона.
2. Силы в природе.
2.1. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. «Инертная» и «гравитационная» массы.
2.2. Силы трения.
2.2.1. Сухое трение.
2.2.2. Вязкое трение.
2.3. Упругие силы. Закон Гука.
3. Пример применения законов Ньютона.
Все темы данного раздела:
Москва, 2003
Лекция 1 «Кинематика материальной точки»
План лекции.
1. Введение. Физика — основа современного естествознания.
1.1. Из истории меха
Из истории механики
Скорость движения
Систему координат выберем так, чтобы одна из осей (например, х) совпала с прямолинейной траекторией движения. При таком выборе две другие координаты частицы М меняться не будут y
Ускорение
В общем случае прямолинейного движения скорость материальной точки может меняться во времени: V = V(t).
Пусть в момент времени t1 скорость была V
Равномерное движение
Равномерным называется движение частицы, если её координата является линейной функцией времени
x(t) = A + B t. (1.9)
Здесь А и В — постоянные величины.
Равнопеременное движение
Равнопеременным называется движение материальной точки, если её координата является квадратичной функцией времени
х = А +В t + С t2. (1.13)
Раскрое
Сложение (вычитание) векторов
(2.1)
Сложение векторов производится по правилу параллелограмма (рис. 2.
Скалярное произведение двух векторов.
По определению скалярным произведением векторов и
Векторное произведение
Результатом векторного произведения векторов и
Производная вектора
Пусть вектор меняется по известному закону со временем.
Скорость движения
Зададим криволинейное движение частицы М зависимостью её радиус-вектора от времени (рис. 2.7):
Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение. Радиус кривизны траектории
Движение по криволинейной траектории всегда происходит с переменной скоростью. Пусть
Первый закон Ньютона
Существуют системы отсчёта, в которых свободные частицы движутся прямолинейно и равномерно, либо остаются в состоянии покоя.
Свободными называются тела, не испытывающие действия со стороны
Второй закон Ньютона. Сила
Введя понятие «импульс тела», можно так сформулировать первый закон Ньютона: если на тело не действуют никакие другие тела, его импульс остаётся постоянным.
Значит, изменение импуль
Третий закон Ньютона
Действие одного тела на другое носит характер взаимодействия, в котором возникают две силы: действия
Силы в природе
Всё многообразие сил в природе можно свести к четырём типам взаимодействий: 1) гравитационному, 2) электромагнитному, 3) ядерному сильному и 4) ядерному слабому.
Два первых взаимодействия
Сухое трение
Приложим «небольшую» силу к телу, лежащему на горизонтальной поверхности. «Небольшую» — то есть, недостаточную для начала движения. Тело будет оставаться в покое, потому что кроме приложенной нами
Вязкое трение
Сила вязкого трения действует на тело, движущееся в вязкой среде (жидкой или газообразной). Она зависит от формы и размеров тела, скорости его движения, а также от физических свойств среды: в частн
Упругие силы. Закон Гука
Упругими называются силы, возникающие при упругих деформациях тел.
Рассмотрим зависимость деформации металлического стержня или струны от величины внешней растягивающей силы F (рис.
Закон сохранения импульса
Импульс тела — вектор, равный произведению массы этого тела на его скорость:
Теория о движении центра масс
Рассмотрим движение системы «n» взаимодействующих частиц.
Центром масс системы называется точка, радиус-вектор которой отвечает следующему условию
Движение тел переменной массы. Реактивное движение
До сих пор мы считали, что масса тел в процессе их движения не меняется. Но так обстоит дело не всегда.
Рассмотрим, например, движение ракеты — классический пример тела, масса которого уме
Работа и кинетическая энергия
По определению, элементарной работой силы на бесконечно малом перемещении
Консервативные и неконсервативные силы
Консервативными называются силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только положением её начальной и конечной точек.
К классу консервативных относятся, например,
Потенциальная энергия
Состояние механической системы характеризуют потенциальной энергией, если на систему действуют только консервативные силы.
Рассмотрим два состояния системы: потенциальную энергию в одном и
Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии
На прошлой лекции было введено понятие потенциальной энергии системы.
По определению разность потенциальных энергий системы в двух состояниях равна работе, совершаемой консервативными сила
Работа неконсервативных сил
Рассмотрим систему n материальных частиц.
Пусть при их взаимодействии друг с другом возникают только консервативные силы
Силы и потенциальная энергия
Эту лекцию мы начали с вычисления потенциальной энергии упруго деформированной пружины. Зная характер силы, возникающей при деформации пружины — закон Гука — мы смогли вычислить её энергию.
Момент силы и момент импульса относительно неподвижного центра и неподвижной оси
Рассмотрим движение материальной точки m под действием силы . Положение это
Уравнение моментов для материальной точки и системы материальных точек
Рассмотрим систему двух взаимодействующих частиц (рис. 8.4). На этом рисунке и
Закон сохранения момента импульса
Анализируя уравнение моментов относительно произвольного центра и неподвижной оси, мы говорили уже об условиях, при которых момент импульса системы не будет меняться во времени.
Сформулиру
Модель твердого тела в механике. Поступательное и вращательное движение твердого тела
Все тела под действием приложенных сил деформируются, то есть в большей или меньшей степени меняют свою форму и размеры. Если эти деформации незначительны и не оказывают влияния на движение тела, т
Основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси
При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси, все точки тела движутся по плоским круговым траекториям. Выделим частицу mi тела, вращающегося вокруг оси z (рис. 9
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции тела относительно произвольной оси (I) равен сумме момента инерции Ic относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тел
Полная система уравнений, описывающая произвольное движение твердого тела. Условия его равновесия и покоя
Как уже отмечалось, произвольное движение твердого тела может быть представлено совокупностью двух простых движений: поступательного и вращательного. Причем деление произвольного движения на состав
Энергия движущегося тела
2.1. Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
В твёрдом теле, вращающемся с угловой скоростью w относительно неподвижной оси z, выдел
Кинетическая энергия тела при плоском движении
Любое движение твёрдого тела может быть представлено суперпозицией двух движений — поступательного и вращательного.
Представим плоское движение тела суммой поступательного со скоростью
Скатывание тел с наклонной плоскости
С тем, чтобы проиллюстрировать применение законов динамики твёрдого тела, решим задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости (рис. 10.5).
Сплошной цилиндр массы m и радиуса
Давление жидкости. Законы гидростатики
Твёрдые тела обладают упругостью объёма и формы. Это означает, что упругие силы сопротивления препятствуют любым изменениям объёма и формы твёрдого тела.
Особенности молекулярного строения
Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности
Параметры текущей жидкости — скорость, плотность, давление и другие — в общем случае являются функциями времени и положения точки в потоке. Если они не зависят от времени, то есть остаются постоянн
Основной закон динамики для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли
При течении жидкости между её отдельными частицами возникают силы вязкого сопротивления. В газах эти силы сравнительно невелики, и ими можно пренебречь. Однако и во многих случаях течения жидкости
Уравнение Бернулли
Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости. Выделим в потоке трубку тока, а в ней — объём, ограниченный стенками трубки и двумя сечениями S1 и S2 (рис. 1
Истечение жидкости из сосуда
Вычислим скорость истечения жидкости через отверстие в сосуде (рис. 11.7). Выделим в толще жидкости трубку тока. При этом не важна конфигурация этой трубки, важно, что одно её сечение расположено н
Манометрический расходомер
Вычислим секундный расход жидкости, протекающей по горизонтальной трубе. Для этого вмонтируем в трубопровод расходомер в виде локального сужения трубы (рис. 11.8).
Периодические процессы. Гармонические колебания
Периодическими называются процессы, в точности повторяющиеся через равные промежутки времени: смена дня и ночи, движение поршня в цилиндре двигателя, колебание маятника часов, переменный ток и т.д.
Собственные незатухающие колебания
Классифицируя колебания, их делят, прежде всего, на собственные и вынужденные. Представить себе собственные колебания осциллятора очень просто: отведите из положения равновесия обычны
Пружинный осциллятор
Пружинный маятник — это грузик массой m, прикреплённый к пружине жесткостью k. Грузик может двигаться вдоль оси x по горизонтальной поверхности без трения (рис. 12.4). Начало отсчета
Математический маятник
Математический маятник — это идеализированная система, представляющая собой материальную точку на невесомой и нерастяжимой нити. Хорошим приближением к этой модели является маленький тяжелый шарик
Собственные колебания физического маятника
Физическим маятником можно назвать любое твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки или оси. Возьмём в качестве такого маятника однородный тонкий стерже
Сложение гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм
Гармоническое колебание x = a Cos (wt + a) геометрически может быть представлено проекцией на произвольное направление x вектора
Энергия гармонического осциллятора
Собственные незатухающие колебания возникают в системе при выполнении двух условий: во-первых, при смещении из положения равновесия должна возникать возвращающая сила, пропорциональная смещению (уп
Собственные затухающие колебания
До сих пор мы рассматривали колебательные процессы в системах, где действовала одна единственная сила — упругая или квазиупругая («как упругая»). Уравнение такого движения записывается просто:
Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
Рассмотрим колебания, которые поддерживаются в системе внешней гармонической силой F = F0Coswt. Такие колебания называются вынужденными.
Обратимся вновь к п
Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца
В релятивистской механике, также как и в классической, предполагается, что время однородно, а пространство однородно и изотропно.
Фундаментом специальной теории относительности являются дв
Основное уравнение релятивистской динамики
Экспериментально установлено, что в области релятивистских скоростей становится заметной зависимость массы частицы от скорости
Закон эквивалентности массы и энергии
В соответствии с законом Эйнштейна полная энергия системы пропорциональна её релятивистской массе:
Новости и инфо для студентов