Работа и кинетическая энергия - раздел Механика, Курс общей физики (лекции) Раздел I Физические основы механики По Определению, Элементарной Работой Силы ...
По определению, элементарной работой силы на бесконечно малом перемещении называется скалярное произведение этих двух векторов (рис. 6.1):
. (6.1)
α — угол между векторами и , FS = F × Cosα — проекция силы на направление перемещения .
Рис. 6.1
Работа силы — скалярная величина, которая может быть как положительной, так и отрицательной.
Формально знак работы определяется знаком косинуса. Если — Cosα > 0 и работа силы положительна. Сила, направленная в сторону противоположную смещению, совершает отрицательную работу. Если вектор силы образует с вектором перемещения или скорости прямой угол, то работа такой силы равна нулю. Так, работу не производит центростремительная сила при движении по круговой орбите, сила тяжести и сила реакции опоры при перемещении тела по горизонтальной поверхности.
Для того чтобы вычислить работу на конечном участке траектории, нужно рассмотреть криволинейный интеграл вектора вдоль этого участка траектории:
. (6.2)
Если в процессе движения на тело действует система сил , , …, , то работа их равнодействующей равна алгебраической сумме работ каждой силы в отдельности. Показать это несложно. Спроецируем векторное уравнение = + + … + на направление элементарного перемещения :
FS = F1S + F2S + … + FnS.
Теперь, умножив это уравнение на dS, получим искомый результат:
FSdS = F1SdS + F2SdS + … + FnSdS,
то есть:
.
Элементарная работа равнодействующей нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил. Это утверждение справедливо и для работ на конечном участке траектории:
.
В системе СИ работа измеряется в джоулях:
1 Дж = 1 Н × 1 м.
Работа, выполняемая в единицу времени, называется мощностью:
.
Мощность — важная характеристика любого механизма. Единицей мощности является 1 Ватт. Это мощность устройства, которое ежесекундно совершает работу 1 Дж:
1 Вт = .
Теперь обратимся к теореме о кинетической энергии. Работа силы при перемещении материальной точки равна изменению кинетической энергии этой точки. Докажем это положение.
Материальная точка массы m движется под действием силы . Вычислим работу силы на участке 1-2 траектории.
. (6.3)
Здесь мы воспользовались определением вектора силыи кинематическим уравнением движения .
Будем считать, что масса частицы в процессе движения не меняется, тогда:
.
Воспользуемся этим результатом в уравнении (6.3):
. (6.4)
Теперь проделаем следующее очевидное преобразование: так как V2 = , то 2VdV = или = VdV.
Используя это равенство в уравнении (6.4), получим окончательный результат:
. (6.5)
Величина = Ек называется кинетической энергией материальной точки.
Уравнение (6.5) является математической записью теоремы о кинетической энергии: работа силы, действующей на материальную точку, равна изменению её кинетической энергии.
Важность и смысл введения понятия «работа силы» объясняется именно тем, что работа связана с изменением кинетической энергии тела:
. (6.6)
Кинетическая энергия системы тел принимается равной сумме кинетических энергий всех элементов системы.
Теорема о кинетической энергии остаётся справедливой и для случая системы тел: работа всех сил, действующих на систему материальных тел, равна изменению кинетической энергии этой системы.
Здесь важно подчеркнуть, что речь идёт о работе не только внешних сил, но и внутренних, то есть сил взаимодействия элементов системы друг с другом.
Теорема Кёнига: скорость частицы и её кинетическая энергия зависят от системы отсчёта, в которой рассматривается движение частицы.
В теореме Кёнига устанавливается правило преобразования кинетической энергии при переходе из одной системы отсчёта в другую.
Рассмотрим сначала одну частицу. Пусть её кинетическая энергия в системе отсчёта S равна Ек. Какова будет её энергия в системе отсчёта S’, движущейся со скоростью относительно S? Скорости частицы в этих двух системах связаны известным соотношением (смотри преобразования Галилея):
.
Возведём это равенство в квадрат
и домножим на
.
Таким образом, устанавливается связь кинетических энергий частицы в разных системах отсчёта:
. (6.7)
Обобщим этот результат на произвольную систему n материальных точек.
Для каждой частицы системы можно записать уравнение (6.7). Теперь сложим все эти уравнения:
. (6.8)
Здесь: = К — кинетическая энергия системы материальных точек в системе отсчёта S.
= — кинетическая энергия той же системы в системе отсчёта S’.
= = , где М = — масса системы.
= = = ,
где — скорость центра масс системы материальных точек в системе отсчёта S’.
Таким образом, уравнению (6.8) можно придать такой вид:
К=+ + . (6.9)
Если движущуюся систему отсчёта S’ связать с центром масс, то в такой системе = 0. Формула теоремы Кёнига в этом случае упрощается:
(6.10)
Подводя итог, сформулируем теорему Кёнига. Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним и кинетической энергии той же системы в её относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.
На сайте allrefs.net читайте: Москва, 2003. А В Прокопенко...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Работа и кинетическая энергия
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Скорость движения
Систему координат выберем так, чтобы одна из осей (например, х) совпала с прямолинейной траекторией движения. При таком выборе две другие координаты частицы М меняться не будут y
Ускорение
В общем случае прямолинейного движения скорость материальной точки может меняться во времени: V = V(t).
Пусть в момент времени t1 скорость была V
Равномерное движение
Равномерным называется движение частицы, если её координата является линейной функцией времени
x(t) = A + B t. (1.9)
Здесь А и В — постоянные величины.
Равнопеременное движение
Равнопеременным называется движение материальной точки, если её координата является квадратичной функцией времени
х = А +В t + С t2. (1.13)
Раскрое
Движение материальной точки по окружности
Положение частицы М, движущейся по окружности радиуса R, можно задать в любой момент времени углом поворота её радиус-вектора j = j(t) (рис. 2.14). Угол j отсчитывается от наперёд выб
Первый закон Ньютона
Существуют системы отсчёта, в которых свободные частицы движутся прямолинейно и равномерно, либо остаются в состоянии покоя.
Свободными называются тела, не испытывающие действия со стороны
Второй закон Ньютона. Сила
Введя понятие «импульс тела», можно так сформулировать первый закон Ньютона: если на тело не действуют никакие другие тела, его импульс остаётся постоянным.
Значит, изменение импуль
Третий закон Ньютона
Действие одного тела на другое носит характер взаимодействия, в котором возникают две силы: действия
Силы в природе
Всё многообразие сил в природе можно свести к четырём типам взаимодействий: 1) гравитационному, 2) электромагнитному, 3) ядерному сильному и 4) ядерному слабому.
Два первых взаимодействия
Сухое трение
Приложим «небольшую» силу к телу, лежащему на горизонтальной поверхности. «Небольшую» — то есть, недостаточную для начала движения. Тело будет оставаться в покое, потому что кроме приложенной нами
Вязкое трение
Сила вязкого трения действует на тело, движущееся в вязкой среде (жидкой или газообразной). Она зависит от формы и размеров тела, скорости его движения, а также от физических свойств среды: в частн
Упругие силы. Закон Гука
Упругими называются силы, возникающие при упругих деформациях тел.
Рассмотрим зависимость деформации металлического стержня или струны от величины внешней растягивающей силы F (рис.
Закон сохранения импульса
Импульс тела — вектор, равный произведению массы этого тела на его скорость:
Теория о движении центра масс
Рассмотрим движение системы «n» взаимодействующих частиц.
Центром масс системы называется точка, радиус-вектор которой отвечает следующему условию
Движение тел переменной массы. Реактивное движение
До сих пор мы считали, что масса тел в процессе их движения не меняется. Но так обстоит дело не всегда.
Рассмотрим, например, движение ракеты — классический пример тела, масса которого уме
Консервативные и неконсервативные силы
Консервативными называются силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только положением её начальной и конечной точек.
К классу консервативных относятся, например,
Потенциальная энергия
Состояние механической системы характеризуют потенциальной энергией, если на систему действуют только консервативные силы.
Рассмотрим два состояния системы: потенциальную энергию в одном и
Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии
На прошлой лекции было введено понятие потенциальной энергии системы.
По определению разность потенциальных энергий системы в двух состояниях равна работе, совершаемой консервативными сила
Работа неконсервативных сил
Рассмотрим систему n материальных частиц.
Пусть при их взаимодействии друг с другом возникают только консервативные силы
Силы и потенциальная энергия
Эту лекцию мы начали с вычисления потенциальной энергии упруго деформированной пружины. Зная характер силы, возникающей при деформации пружины — закон Гука — мы смогли вычислить её энергию.
Закон сохранения момента импульса
Анализируя уравнение моментов относительно произвольного центра и неподвижной оси, мы говорили уже об условиях, при которых момент импульса системы не будет меняться во времени.
Сформулиру
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции тела относительно произвольной оси (I) равен сумме момента инерции Ic относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тел
Энергия движущегося тела
2.1. Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
В твёрдом теле, вращающемся с угловой скоростью w относительно неподвижной оси z, выдел
Кинетическая энергия тела при плоском движении
Любое движение твёрдого тела может быть представлено суперпозицией двух движений — поступательного и вращательного.
Представим плоское движение тела суммой поступательного со скоростью
Скатывание тел с наклонной плоскости
С тем, чтобы проиллюстрировать применение законов динамики твёрдого тела, решим задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости (рис. 10.5).
Сплошной цилиндр массы m и радиуса
Давление жидкости. Законы гидростатики
Твёрдые тела обладают упругостью объёма и формы. Это означает, что упругие силы сопротивления препятствуют любым изменениям объёма и формы твёрдого тела.
Особенности молекулярного строения
Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности
Параметры текущей жидкости — скорость, плотность, давление и другие — в общем случае являются функциями времени и положения точки в потоке. Если они не зависят от времени, то есть остаются постоянн
Уравнение Бернулли
Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости. Выделим в потоке трубку тока, а в ней — объём, ограниченный стенками трубки и двумя сечениями S1 и S2 (рис. 1
Истечение жидкости из сосуда
Вычислим скорость истечения жидкости через отверстие в сосуде (рис. 11.7). Выделим в толще жидкости трубку тока. При этом не важна конфигурация этой трубки, важно, что одно её сечение расположено н
Манометрический расходомер
Вычислим секундный расход жидкости, протекающей по горизонтальной трубе. Для этого вмонтируем в трубопровод расходомер в виде локального сужения трубы (рис. 11.8).
Периодические процессы. Гармонические колебания
Периодическими называются процессы, в точности повторяющиеся через равные промежутки времени: смена дня и ночи, движение поршня в цилиндре двигателя, колебание маятника часов, переменный ток и т.д.
Собственные незатухающие колебания
Классифицируя колебания, их делят, прежде всего, на собственные и вынужденные. Представить себе собственные колебания осциллятора очень просто: отведите из положения равновесия обычны
Пружинный осциллятор
Пружинный маятник — это грузик массой m, прикреплённый к пружине жесткостью k. Грузик может двигаться вдоль оси x по горизонтальной поверхности без трения (рис. 12.4). Начало отсчета
Математический маятник
Математический маятник — это идеализированная система, представляющая собой материальную точку на невесомой и нерастяжимой нити. Хорошим приближением к этой модели является маленький тяжелый шарик
Собственные колебания физического маятника
Физическим маятником можно назвать любое твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки или оси. Возьмём в качестве такого маятника однородный тонкий стерже
Энергия гармонического осциллятора
Собственные незатухающие колебания возникают в системе при выполнении двух условий: во-первых, при смещении из положения равновесия должна возникать возвращающая сила, пропорциональная смещению (уп
Собственные затухающие колебания
До сих пор мы рассматривали колебательные процессы в системах, где действовала одна единственная сила — упругая или квазиупругая («как упругая»). Уравнение такого движения записывается просто:
Основное уравнение релятивистской динамики
Экспериментально установлено, что в области релятивистских скоростей становится заметной зависимость массы частицы от скорости
на бесконечно малом перемещении 
называется скалярное произведение этих двух векторов (рис. 6.1):
. (6.1)
— Cosα > 0 и работа силы положительна. Сила, направленная в сторону противоположную смещению, совершает отрицательную работу. Если вектор силы образует с вектором перемещения или скорости прямой угол, то работа такой силы равна нулю. Так, работу не производит центростремительная сила при движении по круговой орбите, сила тяжести и сила реакции опоры при перемещении тела по горизонтальной поверхности.
. (6.2)
, 
, …, 
, то работа их равнодействующей равна алгебраической сумме работ каждой силы в отдельности. Показать это несложно. Спроецируем векторное уравнение 
.
.
.
.
. (6.3)
и кинематическим уравнением движения 
.
.
. (6.4)
, то 2VdV = 
или 
= VdV.
. (6.5)
= Ек называется кинетической энергией материальной точки.
. (6.6)
в системе отсчёта S’, движущейся со скоростью 
относительно S? Скорости частицы в этих двух системах связаны известным соотношением (смотри преобразования Галилея):
.
.
. (6.7)
. (6.8)
= К — кинетическая энергия системы материальных точек в системе отсчёта S.
= 
— кинетическая энергия той же системы в системе отсчёта S’.
= 
= 
, где М = 
— масса системы.
= 
= 
= 
,
— скорость центра масс системы материальных точек в системе отсчёта S’.
+ 
(6.10)
Новости и инфо для студентов