Полная система уравнений, описывающая произвольное движение твердого тела. Условия его равновесия и покоя - раздел Механика, Курс общей физики (лекции) Раздел I Физические основы механики Как Уже Отмечалось, Произвольное Движение Твердого Тела Может Быть Представле...
Как уже отмечалось, произвольное движение твердого тела может быть представлено совокупностью двух простых движений: поступательного и вращательного. Причем деление произвольного движения на составляющие всегда неоднозначно.
Рассмотрим, например, качение цилиндра без проскальзывания по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью V0 (рис. 10.1). Это движение можно представить, например, суммой таких двух движений:
1. Поступательного со скоростью центра масс V0
2. Вращения относительно оси, совпадающей с осью симметрии.
Рис. 10.1
Это вращение должно происходить с угловой скоростью:
.
В этом случае точки на поверхности цилиндра будут двигаться со скоростью:
w0R = V0.
При сложении таких двух движений верхняя точка движется со скоростью VA = 2V0, вдвое превышающей скорость оси цилиндра V0. Скорость точек (В), касающихся горизонтальной поверхности будет равна нулю, что отвечает условию задачи: качание происходит без проскальзывания(VВ = 0).
То же самое движение может быть представлено и совершенно по-другому. В этом и заключается неоднозначность разделения сложного движения на составляющие.
Например, качание этого же цилиндра можно рассматривать как нескончаемая цепь поворотов цилиндра относительно оси, совпадающей с образующей цилиндра В, лежащей на горизонтальной поверхности (рис. 10.2). Это — мгновенная ось вращения, так как в процессе качания она движется и по поверхности цилиндра и по горизонтальной поверхности. Это вращение цилиндра относительно мгновенной оси должно происходить с угловой скоростью:
.
Рис. 10.2
Тогда скорость поступательного движения цилиндра (скорость его оси) будет отвечать условию задачи:
w0R = V0.
При этом мгновенная скорость верхней точки цилиндра, как мы уже знаем, будет вдвое выше:
VA = w02R = 2w0R = 2V0.
Если, в общем случае, представлять произвольное движение твёрдого тела суммой поступательного и вращательного, то каждое из этих движений описывается своим законом. Таким законом для поступательного движения является теорема о движении центра масс:
, (10.1)
а для вращательного движения — уравнение моментов:
. (10.2)
Система этих двух векторных уравнений при проецировании их на оси декартовой системы координат переходит в систему шести скалярных уравнений:
, ,
, ,
, .
Если на рассматриваемое тело не действуют внешние силы = 0, то и момент внешних сил отсутствует = 0. Это условие отвечает равновесию тела. В этом состоянии тело может покоиться (V = 0, w = 0), либо двигаться с постоянной линейной и угловой скоростями (V = сonst., w = сonst.). При этом импульс тела и момент импульса сохраняют своё значение
,
Твёрдое тело будет находиться в покое, если для него выполняются условия равновесия:
= 0;
= 0,
и, кроме того, начальные скорости тела — линейная и угловая равны нулю:
V(0) = V0 = 0;
w(0) = w0 = 0.
Это означает, что тело, находящееся в покое, не покинет это состояние, если оно находится в равновесии.
Подводя итог, сформулируем основные выводы:
Полная система уравнений, описывающая произвольное движение твёрдого тела:
. (10.3)
Условия равновесия твёрдого тела:
. (10.4)
Условия покоя:
. (10.5)
Все темы данного раздела:
Москва, 2003
Лекция 1 «Кинематика материальной точки»
План лекции.
1. Введение. Физика — основа современного естествознания.
1.1. Из истории меха
Из истории механики
Скорость движения
Систему координат выберем так, чтобы одна из осей (например, х) совпала с прямолинейной траекторией движения. При таком выборе две другие координаты частицы М меняться не будут y
Ускорение
В общем случае прямолинейного движения скорость материальной точки может меняться во времени: V = V(t).
Пусть в момент времени t1 скорость была V
Равномерное движение
Равномерным называется движение частицы, если её координата является линейной функцией времени
x(t) = A + B t. (1.9)
Здесь А и В — постоянные величины.
Равнопеременное движение
Равнопеременным называется движение материальной точки, если её координата является квадратичной функцией времени
х = А +В t + С t2. (1.13)
Раскрое
Сложение (вычитание) векторов
(2.1)
Сложение векторов производится по правилу параллелограмма (рис. 2.
Скалярное произведение двух векторов.
По определению скалярным произведением векторов и
Векторное произведение
Результатом векторного произведения векторов и
Производная вектора
Пусть вектор меняется по известному закону со временем.
Скорость движения
Зададим криволинейное движение частицы М зависимостью её радиус-вектора от времени (рис. 2.7):
Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение. Радиус кривизны траектории
Движение по криволинейной траектории всегда происходит с переменной скоростью. Пусть
Движение материальной точки по окружности
Положение частицы М, движущейся по окружности радиуса R, можно задать в любой момент времени углом поворота её радиус-вектора j = j(t) (рис. 2.14). Угол j отсчитывается от наперёд выб
Первый закон Ньютона
Существуют системы отсчёта, в которых свободные частицы движутся прямолинейно и равномерно, либо остаются в состоянии покоя.
Свободными называются тела, не испытывающие действия со стороны
Второй закон Ньютона. Сила
Введя понятие «импульс тела», можно так сформулировать первый закон Ньютона: если на тело не действуют никакие другие тела, его импульс остаётся постоянным.
Значит, изменение импуль
Третий закон Ньютона
Действие одного тела на другое носит характер взаимодействия, в котором возникают две силы: действия
Силы в природе
Всё многообразие сил в природе можно свести к четырём типам взаимодействий: 1) гравитационному, 2) электромагнитному, 3) ядерному сильному и 4) ядерному слабому.
Два первых взаимодействия
Сухое трение
Приложим «небольшую» силу к телу, лежащему на горизонтальной поверхности. «Небольшую» — то есть, недостаточную для начала движения. Тело будет оставаться в покое, потому что кроме приложенной нами
Вязкое трение
Сила вязкого трения действует на тело, движущееся в вязкой среде (жидкой или газообразной). Она зависит от формы и размеров тела, скорости его движения, а также от физических свойств среды: в частн
Упругие силы. Закон Гука
Упругими называются силы, возникающие при упругих деформациях тел.
Рассмотрим зависимость деформации металлического стержня или струны от величины внешней растягивающей силы F (рис.
Закон сохранения импульса
Импульс тела — вектор, равный произведению массы этого тела на его скорость:
Теория о движении центра масс
Рассмотрим движение системы «n» взаимодействующих частиц.
Центром масс системы называется точка, радиус-вектор которой отвечает следующему условию
Движение тел переменной массы. Реактивное движение
До сих пор мы считали, что масса тел в процессе их движения не меняется. Но так обстоит дело не всегда.
Рассмотрим, например, движение ракеты — классический пример тела, масса которого уме
Работа и кинетическая энергия
По определению, элементарной работой силы на бесконечно малом перемещении
Консервативные и неконсервативные силы
Консервативными называются силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только положением её начальной и конечной точек.
К классу консервативных относятся, например,
Потенциальная энергия
Состояние механической системы характеризуют потенциальной энергией, если на систему действуют только консервативные силы.
Рассмотрим два состояния системы: потенциальную энергию в одном и
Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии
На прошлой лекции было введено понятие потенциальной энергии системы.
По определению разность потенциальных энергий системы в двух состояниях равна работе, совершаемой консервативными сила
Работа неконсервативных сил
Рассмотрим систему n материальных частиц.
Пусть при их взаимодействии друг с другом возникают только консервативные силы
Силы и потенциальная энергия
Эту лекцию мы начали с вычисления потенциальной энергии упруго деформированной пружины. Зная характер силы, возникающей при деформации пружины — закон Гука — мы смогли вычислить её энергию.
Момент силы и момент импульса относительно неподвижного центра и неподвижной оси
Рассмотрим движение материальной точки m под действием силы . Положение это
Уравнение моментов для материальной точки и системы материальных точек
Рассмотрим систему двух взаимодействующих частиц (рис. 8.4). На этом рисунке и
Закон сохранения момента импульса
Анализируя уравнение моментов относительно произвольного центра и неподвижной оси, мы говорили уже об условиях, при которых момент импульса системы не будет меняться во времени.
Сформулиру
Модель твердого тела в механике. Поступательное и вращательное движение твердого тела
Все тела под действием приложенных сил деформируются, то есть в большей или меньшей степени меняют свою форму и размеры. Если эти деформации незначительны и не оказывают влияния на движение тела, т
Основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси
При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси, все точки тела движутся по плоским круговым траекториям. Выделим частицу mi тела, вращающегося вокруг оси z (рис. 9
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции тела относительно произвольной оси (I) равен сумме момента инерции Ic относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тел
Энергия движущегося тела
2.1. Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
В твёрдом теле, вращающемся с угловой скоростью w относительно неподвижной оси z, выдел
Кинетическая энергия тела при плоском движении
Любое движение твёрдого тела может быть представлено суперпозицией двух движений — поступательного и вращательного.
Представим плоское движение тела суммой поступательного со скоростью
Скатывание тел с наклонной плоскости
С тем, чтобы проиллюстрировать применение законов динамики твёрдого тела, решим задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости (рис. 10.5).
Сплошной цилиндр массы m и радиуса
Давление жидкости. Законы гидростатики
Твёрдые тела обладают упругостью объёма и формы. Это означает, что упругие силы сопротивления препятствуют любым изменениям объёма и формы твёрдого тела.
Особенности молекулярного строения
Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности
Параметры текущей жидкости — скорость, плотность, давление и другие — в общем случае являются функциями времени и положения точки в потоке. Если они не зависят от времени, то есть остаются постоянн
Основной закон динамики для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли
При течении жидкости между её отдельными частицами возникают силы вязкого сопротивления. В газах эти силы сравнительно невелики, и ими можно пренебречь. Однако и во многих случаях течения жидкости
Уравнение Бернулли
Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости. Выделим в потоке трубку тока, а в ней — объём, ограниченный стенками трубки и двумя сечениями S1 и S2 (рис. 1
Истечение жидкости из сосуда
Вычислим скорость истечения жидкости через отверстие в сосуде (рис. 11.7). Выделим в толще жидкости трубку тока. При этом не важна конфигурация этой трубки, важно, что одно её сечение расположено н
Манометрический расходомер
Вычислим секундный расход жидкости, протекающей по горизонтальной трубе. Для этого вмонтируем в трубопровод расходомер в виде локального сужения трубы (рис. 11.8).
Периодические процессы. Гармонические колебания
Периодическими называются процессы, в точности повторяющиеся через равные промежутки времени: смена дня и ночи, движение поршня в цилиндре двигателя, колебание маятника часов, переменный ток и т.д.
Собственные незатухающие колебания
Классифицируя колебания, их делят, прежде всего, на собственные и вынужденные. Представить себе собственные колебания осциллятора очень просто: отведите из положения равновесия обычны
Пружинный осциллятор
Пружинный маятник — это грузик массой m, прикреплённый к пружине жесткостью k. Грузик может двигаться вдоль оси x по горизонтальной поверхности без трения (рис. 12.4). Начало отсчета
Математический маятник
Математический маятник — это идеализированная система, представляющая собой материальную точку на невесомой и нерастяжимой нити. Хорошим приближением к этой модели является маленький тяжелый шарик
Собственные колебания физического маятника
Физическим маятником можно назвать любое твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки или оси. Возьмём в качестве такого маятника однородный тонкий стерже
Сложение гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм
Гармоническое колебание x = a Cos (wt + a) геометрически может быть представлено проекцией на произвольное направление x вектора
Энергия гармонического осциллятора
Собственные незатухающие колебания возникают в системе при выполнении двух условий: во-первых, при смещении из положения равновесия должна возникать возвращающая сила, пропорциональная смещению (уп
Собственные затухающие колебания
До сих пор мы рассматривали колебательные процессы в системах, где действовала одна единственная сила — упругая или квазиупругая («как упругая»). Уравнение такого движения записывается просто:
Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
Рассмотрим колебания, которые поддерживаются в системе внешней гармонической силой F = F0Coswt. Такие колебания называются вынужденными.
Обратимся вновь к п
Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца
В релятивистской механике, также как и в классической, предполагается, что время однородно, а пространство однородно и изотропно.
Фундаментом специальной теории относительности являются дв
Основное уравнение релятивистской динамики
Экспериментально установлено, что в области релятивистских скоростей становится заметной зависимость массы частицы от скорости
Закон эквивалентности массы и энергии
В соответствии с законом Эйнштейна полная энергия системы пропорциональна её релятивистской массе:
Новости и инфо для студентов