Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний - раздел Механика, Курс общей физики (лекции) Раздел I Физические основы механики Рассмотрим Колебания, Которые Поддерживаются В Системе Внешней Гармонической ...
Рассмотрим колебания, которые поддерживаются в системе внешней гармонической силой F = F0Coswt. Такие колебания называются вынужденными.
Обратимся вновь к пружинному маятнику. Вспомним уравнения движения этого осциллятора:
— уравнение собственных незатухающих колебаний. В системе действует одна упругая сила Fупр = –kx;
— собственные затухающие колебания. В системе появилась сила вязкого сопротивления, пропорциональная скорости .
В случае вынужденных колебаний кроме двух названных сил — упругой и силы сопротивления, на систему действует ещё одна сила: F = F0Coswt.
— дифференциальное уравнение вынужденных колебаний пружинного маятника. Это уравнение движения принято записывать так:
.
Введя знакомые обозначения и , представим уравнение движения осциллятора окончательно в таком виде:
. (13.14)
Опыт показывает, что под действием гармонического возмущающего усилия F = F0Coswt осциллятор совершает гармонические колебания с частотой вынуждающей силы w:
х = ACos(wt + a). (13.15)
Если частота w известна, то задача сводится к определению амплитуды вынужденных колебаний А и начальной фазы a.
Продифференцировав функцию (13.15), подставим ее в уравнение (13.14):
.
Теперь воспользуемся известными тригонометрическими формулами для косинуса и синуса суммы двух углов:
Это уравнение представляет собой сумму двух гармонических слагаемых
а Cos wt + b Sin wt = 0.
Последнее равенство возможно в единственном случае, если постоянные во времени a и b равны нулю: а = 0, b = 0. Это означает, что справедливы следующие уравнения:
, (13.16)
. (13.17)
Эти два уравнения содержат только две неизвестные величины: амплитуду А и фазу a вынужденного колебания. Для отыскания амплитуды А можно домножить уравнение (13.16) на , а уравнение (13.17) — на Cosa. Вычтя теперь из первого уравнения второе, получим Sina:
,
. (13.18)
Воспользовавшись этим результатом в уравнении (13.17), найдем Cosa:
. (13.19)
Возведем уравнения (13.18) и (13.19) в квадрат и сложим:
Последнее уравнение решим относительно искомой амплитуды колебаний А:
. (13.20)
Фазовый сдвиг смещения x относительно возмущающего усилия F найдём непосредственно из уравнения (13.17):
. (13.21)
Обратимся к анализу полученных результатов.
1) Амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде возмущающего усилия F0.
2) Если w = 0 — случай приложения статической нагрузки F0, смещение груза будет определяться жёсткостью пружины k:
.
3) При высоких частотах внешнего усилия (w→¥), амплитуда колебаний А→0.
4) Для отыскания частоты wрез, при которой амплитуда достигает наибольшего значения Арез, нужно найти минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе уравнения (13.20). Продифференцировав это выражение по w, и приравняв результат нулю, получим условие, определяющее wрез:
.
Отсюда следует, что резонансная частота wрез меньше частоты собственных незатухающих колебаний w0:
. (13.22)
Используя это значение в (13.20), рассчитаем резонансную амплитуду:
. (13.23)
5) Если вязкое сопротивление отсутствует, коэффициент затухания d = = 0 и резонансная амплитуда устремляется в бесконечность. При этом условии резонансная частота, как следует из (13.22), равна частоте собственных незатухающих колебаний осциллятора wрез = w0.
6) С увеличением коэффициента затухания d, резонансная частота и амплитуда колебаний уменьшаются.
Все эти закономерности графически представлены на рис. 13.4.
Рис. 13.4
7) При слабом затухании, когда , резонансная амплитуда равна
.
Разделим это выражение на — смещение под действием постоянной силы:
.
Таким образом, добротность осциллятора численно равна отношению резонансной амплитуды к смещению под действием постоянной силы.
8) На рис. 13.5 представлена зависимость фазового сдвига вынужденных колебаний и вынуждающей силы — график функции (13.21). С увеличением частоты вынуждающего усилия a растет, меняясь от 0 до p. В резонансе фазовый сдвиг равен . Эта зависимость a = a(w) меняется с изменением коэффициента затухания.
Рис. 13.5
Лекция 14 «Элементы специальной теории относительности»
План лекции.
1. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца.
2. Динамика релятивистского движения.
3. Закон эквивалентности массы и энергии.
Альберт Эйнштейн
В классической механике Ньютона мы изучали законы движения макротел со скоростями, далекими от скорости света (с = 3 × 108 м/с). Такие движения называются нерелятивистскими (классическими), в отличие от релятивистских движений, скорость которых соизмерима со скоростью света. Теоретической основой релятивистской механики является специальная (частная) теория относительности (СТО). Предваряя рассмотрение основных положений этой теории, отметим два важных момента:
1) Релятивистская механика включает в себя и классическую механику как предельный случай движения с малыми скоростями.
2) Все положения СТО имеют сегодня надежное экспериментальное подтверждение.
Скорость движения
Систему координат выберем так, чтобы одна из осей (например, х) совпала с прямолинейной траекторией движения. При таком выборе две другие координаты частицы М меняться не будут y
Ускорение
В общем случае прямолинейного движения скорость материальной точки может меняться во времени: V = V(t).
Пусть в момент времени t1 скорость была V
Равномерное движение
Равномерным называется движение частицы, если её координата является линейной функцией времени
x(t) = A + B t. (1.9)
Здесь А и В — постоянные величины.
Равнопеременное движение
Равнопеременным называется движение материальной точки, если её координата является квадратичной функцией времени
х = А +В t + С t2. (1.13)
Раскрое
Движение материальной точки по окружности
Положение частицы М, движущейся по окружности радиуса R, можно задать в любой момент времени углом поворота её радиус-вектора j = j(t) (рис. 2.14). Угол j отсчитывается от наперёд выб
Первый закон Ньютона
Существуют системы отсчёта, в которых свободные частицы движутся прямолинейно и равномерно, либо остаются в состоянии покоя.
Свободными называются тела, не испытывающие действия со стороны
Второй закон Ньютона. Сила
Введя понятие «импульс тела», можно так сформулировать первый закон Ньютона: если на тело не действуют никакие другие тела, его импульс остаётся постоянным.
Значит, изменение импуль
Третий закон Ньютона
Действие одного тела на другое носит характер взаимодействия, в котором возникают две силы: действия
Силы в природе
Всё многообразие сил в природе можно свести к четырём типам взаимодействий: 1) гравитационному, 2) электромагнитному, 3) ядерному сильному и 4) ядерному слабому.
Два первых взаимодействия
Сухое трение
Приложим «небольшую» силу к телу, лежащему на горизонтальной поверхности. «Небольшую» — то есть, недостаточную для начала движения. Тело будет оставаться в покое, потому что кроме приложенной нами
Вязкое трение
Сила вязкого трения действует на тело, движущееся в вязкой среде (жидкой или газообразной). Она зависит от формы и размеров тела, скорости его движения, а также от физических свойств среды: в частн
Упругие силы. Закон Гука
Упругими называются силы, возникающие при упругих деформациях тел.
Рассмотрим зависимость деформации металлического стержня или струны от величины внешней растягивающей силы F (рис.
Закон сохранения импульса
Импульс тела — вектор, равный произведению массы этого тела на его скорость:
Теория о движении центра масс
Рассмотрим движение системы «n» взаимодействующих частиц.
Центром масс системы называется точка, радиус-вектор которой отвечает следующему условию
Движение тел переменной массы. Реактивное движение
До сих пор мы считали, что масса тел в процессе их движения не меняется. Но так обстоит дело не всегда.
Рассмотрим, например, движение ракеты — классический пример тела, масса которого уме
Консервативные и неконсервативные силы
Консервативными называются силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только положением её начальной и конечной точек.
К классу консервативных относятся, например,
Потенциальная энергия
Состояние механической системы характеризуют потенциальной энергией, если на систему действуют только консервативные силы.
Рассмотрим два состояния системы: потенциальную энергию в одном и
Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии
На прошлой лекции было введено понятие потенциальной энергии системы.
По определению разность потенциальных энергий системы в двух состояниях равна работе, совершаемой консервативными сила
Работа неконсервативных сил
Рассмотрим систему n материальных частиц.
Пусть при их взаимодействии друг с другом возникают только консервативные силы
Силы и потенциальная энергия
Эту лекцию мы начали с вычисления потенциальной энергии упруго деформированной пружины. Зная характер силы, возникающей при деформации пружины — закон Гука — мы смогли вычислить её энергию.
Закон сохранения момента импульса
Анализируя уравнение моментов относительно произвольного центра и неподвижной оси, мы говорили уже об условиях, при которых момент импульса системы не будет меняться во времени.
Сформулиру
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции тела относительно произвольной оси (I) равен сумме момента инерции Ic относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тел
Энергия движущегося тела
2.1. Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
В твёрдом теле, вращающемся с угловой скоростью w относительно неподвижной оси z, выдел
Кинетическая энергия тела при плоском движении
Любое движение твёрдого тела может быть представлено суперпозицией двух движений — поступательного и вращательного.
Представим плоское движение тела суммой поступательного со скоростью
Скатывание тел с наклонной плоскости
С тем, чтобы проиллюстрировать применение законов динамики твёрдого тела, решим задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости (рис. 10.5).
Сплошной цилиндр массы m и радиуса
Давление жидкости. Законы гидростатики
Твёрдые тела обладают упругостью объёма и формы. Это означает, что упругие силы сопротивления препятствуют любым изменениям объёма и формы твёрдого тела.
Особенности молекулярного строения
Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности
Параметры текущей жидкости — скорость, плотность, давление и другие — в общем случае являются функциями времени и положения точки в потоке. Если они не зависят от времени, то есть остаются постоянн
Уравнение Бернулли
Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости. Выделим в потоке трубку тока, а в ней — объём, ограниченный стенками трубки и двумя сечениями S1 и S2 (рис. 1
Истечение жидкости из сосуда
Вычислим скорость истечения жидкости через отверстие в сосуде (рис. 11.7). Выделим в толще жидкости трубку тока. При этом не важна конфигурация этой трубки, важно, что одно её сечение расположено н
Манометрический расходомер
Вычислим секундный расход жидкости, протекающей по горизонтальной трубе. Для этого вмонтируем в трубопровод расходомер в виде локального сужения трубы (рис. 11.8).
Периодические процессы. Гармонические колебания
Периодическими называются процессы, в точности повторяющиеся через равные промежутки времени: смена дня и ночи, движение поршня в цилиндре двигателя, колебание маятника часов, переменный ток и т.д.
Собственные незатухающие колебания
Классифицируя колебания, их делят, прежде всего, на собственные и вынужденные. Представить себе собственные колебания осциллятора очень просто: отведите из положения равновесия обычны
Пружинный осциллятор
Пружинный маятник — это грузик массой m, прикреплённый к пружине жесткостью k. Грузик может двигаться вдоль оси x по горизонтальной поверхности без трения (рис. 12.4). Начало отсчета
Математический маятник
Математический маятник — это идеализированная система, представляющая собой материальную точку на невесомой и нерастяжимой нити. Хорошим приближением к этой модели является маленький тяжелый шарик
Собственные колебания физического маятника
Физическим маятником можно назвать любое твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки или оси. Возьмём в качестве такого маятника однородный тонкий стерже
Энергия гармонического осциллятора
Собственные незатухающие колебания возникают в системе при выполнении двух условий: во-первых, при смещении из положения равновесия должна возникать возвращающая сила, пропорциональная смещению (уп
Собственные затухающие колебания
До сих пор мы рассматривали колебательные процессы в системах, где действовала одна единственная сила — упругая или квазиупругая («как упругая»). Уравнение такого движения записывается просто:
Основное уравнение релятивистской динамики
Экспериментально установлено, что в области релятивистских скоростей становится заметной зависимость массы частицы от скорости
Новости и инфо для студентов