КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Введение

На рубеже XIX–XX вв. делались попытки применить классическую статистическую физику для описания электромагнитного теплового излучения в полости и электронного газа в металле. Её следствия противоречат опыту. Классическая теория не в состоянии объяснить ряд экспериментальных результатов – теплоемкость твердых тел, магнетизм системы зарядов, тепловое излучение и множество явлений при низких температурах и больших концентрациях частиц. Новая теория – квантовая механика – основана на аналогии между свойствами света и вещества.

Квантовая механика использует уравнение Шредингера, которое для стационарного состояния имеет вид

 

,

где – оператор Лапласа. Это уравнение аналогично уравнению Гельмгольца для электрической составляющей электромагнитной волны в диспергирующей среде

 

,

 

где μ и ε – магнитная и диэлектрические проницаемости вещества. Отсюда следует идентичность явлений оптики и квантовой механики, и это позволяет понять физический смысл квантовых явлений. Математический аппарат квантовой механики использует операторы для каждой физической величины и их собственные функции, образующие ортонормированные базисы. Эти методы рассматривались нами в курсе «Методы математической физики».

Квантовые свойства проявляются в полупроводниковых гетероструктурах – в квантовых потенциальных ямах, нитях, точках, в периодических структурах, через которые распространяются микрочастицы – электроны, дырки, квазичастицы. Некоторые квантовые свойства, противоречащие классической физике и подтвержденные экспериментом:

– общее сопротивление последовательно соединенных элементов не равно сумме сопротивлений;

– частица проходит через барьер, превышающий ее энергию;

– воздействие на частицу системы в перепутанном состоянии мгновенно влияет на другие частицы, на каком бы расстоянии они не находились;

– частица движется одновременно по всем возможным путям;

– квантовая механика объясняет магнетизм вещества, классическая теория магнетизм запрещает.

Квантовая теория формирует новое физическое мировоззрение. Открыто множество квантовых явлений, которые стали основой современных технологий – лазер, туннельный микроскоп, атомные часы. По данным 2003 г. около 30% национального продукта США базируется на изобретениях, ставших возможными благодаря квантовой механике. Использование квантовых режимов работы приборов микро- и наноэлектроники делает квантовую механику инженерной дисциплиной.

На основе квантовой механики построена статистическая теория идеального газа. Она описывает: электронный газ металла и полупроводника, тепловое излучение в полости, тепловые колебания узлов кристалла, газ атомов и молекул.

Квантовая механика необходима для усвоения курсов «Физика твердого тела», «Физика конденсированного состояния», «Физика полупроводников» и других специальных курсов.

Темы курса

Полуклассическая квантовая механика

Волновые и корпускулярные свойства света.

Волна де Бройля частицы.

Квантование Бора–Зоммерфельда.

Математический аппарат квантовой механики

Волновая функция частицы.

Операторы физических величин.

Соотношения неопределенностей.

Уравнение Шредингера.

Ток вероятности.

Одномерные стационарные задачи

Потенциальная яма.

Линейный гармонический осциллятор.

Квазиклассическое квантование.

Одномерное рассеяние.

Туннельный эффект.

Электрон в периодической структуре.

Локализация Андерсона и уровни Тамма.

Момент импульса

Операторы момента импульса и их собственные функции.

Центрально-симметричные и осесимметричные системы

Уравнение Шредингера в сферических и цилиндрических координатах.

Водородоподобный атом.

Заряженная частица в электромагнитном поле

Заряд в магнитном поле, уровни Ландау.

Эффект Ааронова–Бома.

Приближенные методы

Теория возмущений.

Вариационный метод.

Спин электрона

Уравнение Паули.

Спин-орбитальное взаимодействие.

Тождественность микрочастиц и принцип Паули.

Квантовая статистическая физика

Плотность состояний.

Каноническое распределение квантового идеального газа.

Распределение Ферми–Дирака.

Распределение Бозе–Эйнштейна.

Электронный газ металла и полупроводника.

Фотонный и фононный газы.

Конденсация Бозе–Эйнштейна.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ

1. Индивидуальные задания 1, 2, 3.

2. Коллоквиум в конце семестра.

3. Экзамен.

Коллоквиум

1. Операторы координаты и импульса, их собственные функции. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. 2. Плотность вероятности, ток вероятности. Пример плоской волны. 3. Уравнение Шредингера для стационарного и нестационарного состояний. Пример применения.

Экзамен

1. Квантование по Бору-Зоммерфельду. Примеры применения: треугольная потенциальная яма, гармонический осциллятор. 2. Уравнение Шредингера для стационарного и нестационарного состояния.… 3. Плотность вероятности и ток вероятности. Изменение физической величины с течением времени. Пример.

РЕЙТИНГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

 

МЕЖДУНАРОДНАЯ И РОССИЙСКАЯ ОЦЕНКИ

  Итоговое число баллов складывается из баллов, получаемых за каждый вид…   № Виды деятельности Число баллов 1.   2.   3. …

ОСНОВНАЯ Литература

 

По разделам 1–8

К 782 Е.А. Краснопевцев. Квантовая механика в приложениях к физике твердого тела. Изд-во НГТУ, 2010 г. Главы 1–8.

 

 

По разделу 9

К 782

Краснопевцев Е.А.

Статистическа физика равновесных систем (в приложении

к микро- и наносистемам).

Изд-во НГТУ, 2007.

Главы 3 и 4.

ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

 

Свет проявляет корпускулярно-волновую двойственность – в зависимости от длины волны и особенностей экспериментальной установки обнаруживаются волновые или корпускулярные свойства. Методы описания света переносятся на частицу вещества.

 

Волновые свойства света

Свет – электромагнитная волна, где периодически изменяются магнитная индукция В и электрическая напряженность .  

Корпускулярные свойства света

При взаимодействии света с веществом, когда происходит его поглощение, свет ведет себя как поток квантов фотонов, регистрируемых фотоприемником в… Энергия фотона по формуле Планка  

Соотношения неопределенностей

Дифференцируем (1.7) и получаем   .

Средняя концентрация фотонов

Согласно (1.2) энергия единицы объема   ,

ПРИМЕР

 

1.Для одномерной прямоугольной потенциальной ямы шириной с абсолютно непроницаемыми стенками получить допустимые значения энергии и импульса.

 

 

Частица с полной энергией внутри ямы при имеет импульс

.

 

Из условия квантования для одномерного движения (1.17)

 

,

 

с учетом движения вправо и влево, находим

 

, ,

 

,

 

. (П.1.3)

 

Чем уже яма и меньше масса частицы, тем больше расстояние между соседними уровнями энергии.

Для основного состояния с минимальной энергией из (П.1.3) получаем

, . (П.1.4)

Для электрона при L = 1 мм

 

.

 

Тепловая энергия kT такой величины соответствует . Следовательно, для частицы в макроскопическом объеме квантование энергии поступательного движения несущественно при достаточно высокой температуре.

Для микрообъема L = 1 нм получаем , что превышает тепловую энергию при нормальной температуре. Следовательно, для частицы в микроскопическом объеме квантование энергии поступательного движения существенно при любой температуре.

Условия применимости

Классической физики

 

В квантовой механике:

 

1) находясь в ограниченном пространстве, частица имеет дискретный спектр энергии;

2) характеризуется длиной волны де Бройля;

3) в фазовом пространстве состояние частицы не может занимать объем, меньший h.

 

Классическая физика применима, если можно пренебречь:

 

1) дискретностью спектра энергии по сравнению с тепловой энергией;

2) длиной волны де Бройля по сравнению с расстоянием между частицами;

3) объемом фазового пространства h по сравнению с фазовым объемом, занимаемым частицей.