Реферат Курсовая Конспект
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ - раздел Механика, Математические Основы Квантовой Механики ...
|
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Квантовая механика микрочастицы, не ограниченная полуклассическим приближением, строится на математическом основании, использующем гильбертого пространство функций, то есть множество функций, для которых определено скалярное произведение в интегральной форме.
ОператорЫ
Физическая величина A (координата, импульс, энергия и другие) описывается линейным оператором . Исключением является время, которое считается параметром. Подразумевается, что правее оператора находится функция, на которую он действует.
Рассмотрим явный вид операторов координаты и импульса в координатном представлении. Обоснование вида будет дано далее.
Оператор координаты
, . (2.1)
Действие оператора координаты сводится к умножению функции на координату.
Оператор проекции импульса
, . (2.2)
Действие оператора импульса сводится к дифференцированию функции по координате и умножению на .
Свойства линейных операторов:
1) Умножение на число с
. (2.3)
Число можно вынести из под знака действия оператора.
2) Линейность
, (2.4)
где и – числа. Действие оператора на сумму функций равно сумме действий оператора на каждую функцию.
3) Сложение (вычитание) операторов
. (2.5)
Действие суммы операторов на функцию равно сумме действий каждого оператора на функцию.
4) Умножение оператора на оператор
. (2.6)
Вначале действует ближайший к функции оператор, затем на полученную функцию действует оператор, находящийся левее. Перемножаемые операторы в общем случае не перестановочны, например:
,
.
Перестановочное соотношение, или коммутатор операторов
.
Операторы и коммутируют, если .
Примеры:
, ,
. (2.7)
Собственные функции операторА
ЭрмитовыЙ оператор
Для обеспечения вещественности и однозначности результатов измерения физической величины ее оператор должен быть эрмитовым. Операция эрмитового сопряжения определяется через интегральную квадратичную форму. Такая форма описывает, в частности, среднее значение измеряемой величины.
Эрмитово сопряженный оператор обозначается значком «+» и определяется в виде
. (2.11)
Интегрирование проводится по всему объему пространства, занятого частицей.
ЭРМИТОВОСТЬ ОПЕРАТОРА ИМПУЛЬСА
.
Доказательство:
Левая сторона (2.14)
с оператором имеет вид
.
Вычисляем правую сторону (2.14)
.
В результате
.
Волновые функции квадратично интегрируемы и равны нулю на бесконечности, поэтому , и оператор импульса эрмитов.
ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ
Развитие состояния частицы во времени описывает волновое уравнение Шредингера. Для вывода уравнения используем оператор эволюции, сдвигающий состояние объекта во времени. Он строится по аналогии с оператором трансляции, перемещающим состояние в пространстве.
Оператор трансляциисдвигает состояние объекта на расстояние а
. (2.44)
Для получения оператора разлагаем в ряд Тейлора
Производную по координате выражаем через оператор импульса , находим
,
где квадратная скобка является разложение в ряд экспоненты. В результате оператор трансляции
. (2.45)
Генератор трансляции пропорционален быстроте изменения оператора трансляции по параметру смещения вблизи нуля
. (2.46)
Определению (2.46) удовлетворяет
.
Сравнение с (2.45) дает
. (2.47)
Генератором перемещения является импульс.
Оператор эволюции передвигает состояние во времени на τ
. (2.49)
По аналогии с (2.45) записываем
. (2.50)
Знак минус в (2.50) обусловлен разными знаками пространственного и временного слагаемых в фазе волны де Бройля (1.11)
.
– Конец работы –
Используемые теги: Математические, основы, квантовой, механики0.053
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов