Быстрота Изменения величины

 

Среднее значение физической величины изменяется со временем по двум причинам:

1) из-за зависимости оператора величины от времени;

2) из-за некоммутативности оператора величины с гамильтонианом.

 

Оператор производной по времени. Среднее значение (2.28)

 

 

изменяется с быстротой

 

.

Учитываем уравнение Шредингера (2.54)

 

,

,

получаем

.

 

Гамильтониан эрмитовый, тогда первое слагаемое в квадратных скобках равно . Объединяем его с третьим слагаемым

. (2.66)

 

Выражение в круглой скобке по определению является оператором производной по времени

. (2.67)

 

Оператор проекции скорости. В (2.67) подставляем

 

. (2.67а)

Используем

,

 

,

находим

.

 

На практических занятии будет получено

 

,

тогда оператор проекции скорости

 

(2.67б)

 

удовлетворяет классическому соотношению между скоростью и импульсом, подтверждая правило соответствия.

 

Сохраняющаяся величина описывается оператором , удовлетворяющим согласно (2.67) условию

 

.

 

Если оператор не зависит от времени , тогда

 

. (2.68)

 

Величина сохраняется в любом состоянии, если ее оператор не зависит от времени и коммутирует с гамильтонианом.

 

Стационарное состояние характеризуется тем, что для произвольной величины a, описываемой оператором , не зависящим от времени , среднее значение постоянно

 

.

 

Даже если , то из (2.66)

 

получаем

. (2.69)

 

В стационарном состоянии среднее значение от коммутатора оператора с гамильтонианом равно нулю.