ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Конспект лекций

 

 

Муром 2006

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Физика как наука является основой всего естествознания и имеет фундаментальное значение для понимания различных процессов в окружающем нас мире. Она оказывает влияние на другие науки и служит базой для профессиональной подготовки студентов всех технических специальностей.

Содержание данного учебного пособия соответствует требованиям государственного образовательного стандарта по дисциплине «Физика» для студентов специальностей:

· 071900 – Информационные системы и технологии;

· 120100 – Технология машиностроения;

· 120200 – Металлообрабатывающие станки и комплексы;

· 121300 – Инструментальные системы машиностроительных производств;

· 190200 – Приборы и методы контроля качества и диагностики;

· 200700 – Радиотехника;

· 200800 – Проектирование и технология радиоэлектронных средств;

· 201500 – Бытовая радиоэлектронная аппаратура;

· 220100 – Вычислительные машины, комплексы, системы и сети;

· 220400 – Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем;

· 330100 – Безопасность жизнедеятельности в техносфере.

Конспект лекций предназначен в первую очередь для студентов заочной формы обучения, но будет полезен и студентам дневного и вечернего отделений. Он является первой частью планируемой кафедрой «Физика» Муромского института ВлГУ серии из четырех пособий, охватывающих все основные разделы современной физики.

Изложение материала ведется без громоздких математических выкладок, основное внимание уделяется физической сущности явлений и описывающих их законов. В конце каждой главы пособия даются краткие выводы по теме, вопросы для самоконтроля и повторения, примеры решения задач, а также задачи для самостоятельной подготовки студентов.

Предлагаемый краткий курс не охватывает как по объему, так и глубине весь материал, предусмотренный программой дисциплины. Поэтому для приобретения более полных и глубоких знаний, а также практических навыков решения задач по физике студенту необходимо пользоваться дополнительными источниками. Список некоторых рекомендуемых учебников и пособий приведен в конце конспекта.

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Физика – наука о наиболее простых и общих формах движения материи и их взаимных превращениях. Физика и ее законы лежат в основе всего естествознания. Она относится к точным наукам и изучает количественные закономерности явлений и процессов в окружающем нас мире.

Говоря словами В.И. Ленина, «материя есть философская категория для обозначения объективной реальности, которая …отображается нашими ощущениями, существуя независимо от них». Неотъемлемым свойством материи и формой ее существования является движение. Движение включает в себя все происходящие во Вселенной изменения и процессы, «начиная от простого перемещения и кончая мышлением» (Ф. Энгельс).

Физика – наука экспериментальная, ее законы базируются на фактах, установленных опытным путем. Законы физики представляют собой количественные соотношения и формулируются на математическом языке.

В соответствии с многообразием исследуемых объектов и форм движения материи физика подразделяется на ряд дисциплин, связанных между собой. По изучаемым материальным объектам физика делится на физику элементарных частиц, физику ядра, физику атомов и молекул, физику газов и жидкостей, физику твердого тела, физику плазмы. По изучаемым процессам или формам движения материив физике выделяют механику материальной точки и твердого тела, механику сплошных сред, термодинамику, электродинамику, теорию тяготения, квантовую механику и квантовую теорию поля, теорию колебаний и волн.

Основы физики заложены в VI в. до н.э. – II в. н.э., когда зародились идеи об атомном строении вещества (Демокрит, Эпикур, Лукреций). В этот период установлены простейшие законы статики (правило рычага), открыты законы прямолинейного распространения и отражения света, сформулированы основы гидростатики (закон Архимеда), наблюдались простейшие проявления электричества и магнетизма.

Развитие физики как науки в современном смысле этого слова началось в XVII в. и связано прежде всего с именем Г. Галилея. Галилей открыл принцип относительности в механике, доказал независимость ускорения свободного падения тел от их плотности и массы, получил значительные результаты в астрономии, в изучении оптических, тепловых и других явлений. Его ученик Э. Торричелли установил существование атмосферного давления и создал первый барометр. Англичанин Р. Бойль и француз Э. Мариотт исследовали упругость газов и сформулировали первый газовый закон.

Основное достижение физики XVII в. – созданиеклассической механики. Все основные законы этой науки сформулировал И. Ньютон. Фундаментальное значение имело введенное Ньютоном понятие состояния, которое стало одним из основных для всех физических теорий.

Исходя из законов движения планет, установленных И. Кеплером, Ньютон открыл закон всемирного тяготения, при помощи которого удалось с большой точностью рассчитать движение Луны, планет и комет, объяснить приливы и отливы в океане.

В это же время Х. Гюйгенс и Г. Лейбниц сформулировали закон сохранения количества движения. Гюйгенс создал теорию физического маятника, построил первые часы с маятником. Началось развитие физической акустики.

Со второй половины XVII в. быстро развивается геометрическая оптика применительно к конструированию телескопов и других оптических приборов. Были заложены и основы физической оптики: открыта дифракция света (Ф. Гримальди), впервые измерена скорость света (О. Рёмер). Возникли и стали развиваться корпускулярная и волновая теории света.

В работах Л. Эйлера и других ученых (XVIII в.) исследована динамика абсолютно твердого тела. Параллельно шло развитие механики жидкости и газа. Трудами Д. Бернулли, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и др. в первой половине XVIII в. были заложены основы гидродинамики идеальной жидкости. В «Аналитической механике» Лагранжа (1788 г.) уравнения механики представлены в столь обобщенной форме, что в дальнейшем их удалось применить и к немеханическим, в частности, электромагнитным процессам.

В этот период была создана единая механическая картина мира, согласно которой все богатство и многообразие мира – результат различия движения частиц (атомов), слагающих тела, движения, подчиняющегося законам Ньютона. Объяснение физического явления считалось научным и полным, если его удавалось свести к действию законов механики.

В других областях физики происходило накопление опытных данных и формулировались простейшие экспериментальные законы: закон сохранения электрического заряда (Б. Франклин), основной закон электростатики (Ш. Кулон), открыто инфракрасное (Д. Гершель и У. Волластон) и ультрафиолетовое (И. Риттер и У. Волластон) излучения.

Заметный прогресс произошел в исследовании тепловых явлений: сформулировано понятие теплоемкости, началось изучение теплопроводности и теплового излучения. В трудах М. Ломоносова, Р. Бойля, Р. Гука, Д. Бернулли были заложены основы молекулярно-кинетической теории вещества.

В начале XIX в. борьба между корпускулярной и волновой теориями света завершилась победой волновой теории. Этому способствовали работы Т. Юнга и О. Френеля, объяснившие явления интерференции и дифракции света с помощью волновой теории.

Большое значение для развития физики имело открытие электрического тока (Л. Гальвани и А. Вольта). Исследовано химическое действие электрического тока (Х. Дэви и М. Фарадей), получена электрическая дуга (В. Петров). В 1820 г. Х. Эрстед открыл действие электрического тока на магнитную стрелку, что доказало связь между электрическими и магнитными явлениями. В том же году А. Ампер экспериментально установил закон, определяющий силу взаимодействия электрических токов. В 1831 г. М. Фарадей открыл закон электромагнитной индукции. Это явилось основой формирования новой науки о свойствах и законах поведения особой формы материи – электромагнитного поля.

Важнейшее значение для физики и всего естествознания имело открытие в середине XIX в. закона сохранения энергии (Ю. Майер, Г. Гельмгольц, Д. Джоуль), связавшего воедино все явления природы. Закон сохранения энергии стал основным законом теории тепловых явлений (термодинамики) и получил название первого начала термодинамики.

Фундаментальный закон теории теплоты – второе начало термодинамики был сформулирован Р. Клаузиусом в 1850 г. На основе результатов, полученных Н. Карно и У. Томсоном. Этот закон обобщил опытные данные, свидетельствующие о необратимости процессов в природе, определяет направление возможных энергетических превращений. Значительную роль в создании термодинамики сыграли также исследования Ж. Гей-Люссака, Б. Клапейрона, Д. Менделеева.

Во второй половине XIX в. процесс изучения электромагнитных явлений завершился созданием Д. Максвеллом классической электродинамики. В своей работе «Трактат об электричестве и магнетизме» (1873 г.) он установил уравнения для электромагнитного поля, которые позволяли объяснить все известные в то время факты с единой точки зрения. Электромагнитную индукцию Максвелл интерпретировал как процесс порождения переменным магнитным полем вихревого электрического поля. Затем он предсказал обратный процесс – порождение магнитного поля переменным электрическим полем. Важнейшим результатом теории Максвелла был вывод о конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий, равной скорости света. Экспериментальное обнаружение электромагнитных волн немецким физиком Г. Герцем (1886-89 гг.) подтвердило справедливость этого вывода.

Из теории Максвелла вытекало, что свет имеет электромагнитную природу. Тем самым оптика стала одним из разделов электродинамики. В 1899 г. П. Лебедев экспериментально обнаружил и измерил давление света, предсказанное Максвеллом. В 1895 г. А. Попов впервые использовал электромагнитные волны для беспроволочной связи.

Новый этап в развитии физики связан с открытием электрона (Д. Томсон, 1897 г.). Выяснилось, что атомы не элементарны, а представляют собой сложные системы. В конце XIX – начале XX вв. Х. Лоренц заложил основы электронной теории, которая позволила рассчитывать значения электромагнитных характеристик вещества в зависимости от частоты, температуры и других факторов.

В начале XX в. стало ясно, что электродинамика требует коренного пересмотра представлений о пространстве и времени, лежащих в основе классической механики Ньютона. В 1905 г. А. Эйнштейн создал частную (специальную) теорию относительности – новое учение о пространстве и времени. Эта теория показала, что свести электромагнитные процессы к механическим в гипотетической среде (эфире) невозможно. Стало ясно, что электромагнитное поле представляет собой особую форму материи, поведение которой не подчиняется законам механики. В 1916 г. Эйнштейн построил общую теорию относительности – физическую теорию пространства, времени и тяготения.

На рубеже XIX – XX вв. было положено начало величайшей революции в области физики, связанной с возникновением и развитием квантовой теории. В 1900 г. М. Планк показал, что атом испускает электромагнитную энергию не непрерывно, а отдельными порциями – квантами. В 1905 г. Эйнштейн развил гипотезу Планка, предположив, что излучаемая порция электромагнитной энергии поглощается также только целиком, т.е. ведет себя подобно частице (позднее она была названа фотоном). На основе этой гипотезы Эйнштейн объяснил закономерности фотоэффекта, не укладывающиеся в рамки классической теории электродинамики. Таким образом, на новом качественном уровне была возрождена корпускулярная теория света. Свет ведет себя подобно потоку частиц, но одновременно ему присущи и волновые свойства (дифракция, интерференция). Следовательно, несовместимые с точки зрения классической физики волновые и корпускулярные свойства присущи свету в равной мере (дуализм света).

Квантование излучений приводило к выводу, что энергия внутриатомных движений также изменяется только скачкообразно (Н. Бор, 1913 г.). К этому времени Э. Резерфорд построил планетарную модель атома. Однако, согласно электродинамике Максвелла, такой атом неустойчив: электроны, двигаясь по круговым (эллиптическим) орбитам, испытывают ускорения, а следовательно, должны непрерывно излучать электромагнитные волны, терять энергию и, постепенно приближаясь к ядру, за время ~10^-8 с упасть на ядро. Таким образом, планетарная модель атома в рамках классической физики приводила к неустойчивости атомов. Для решения этой проблемы Бор постулировал существование в атомах стационарных состояний, находясь в которых электрон не излучает. При переходе из одного такого состояния в другое он может испускать или поглощать энергию.

Созданный Бором первый вариант квантовой теории атома был внутренне противоречивым: используя для описания движения электронов законы механики Ньютона, Бор в то же время накладывал на возможные движения электронов квантовые ограничения, чуждые классической механике. Достоверно установленная дискретность действия и ее количественная мера – постоянная Планка – требовали радикальной перестройки механики и электродинамики. Классические законы физики оказались справедливыми лишь при рассмотрении тел достаточно большой массы, для которых величина действия велика по сравнению с постоянной Планка (квант действия) и дискретностью действия можно пренебречь.

В 20-е годы XX в. была создана квантовая, или волновая механика – последовательная, логически завершенная нерелятивистская теория движения микрочастиц. В основу ее легли идея квантования Планка-Эйнштейна-Бора и выдвинутая в 1923 г. Луи де Бройлем гипотеза о двойственной корпускулярно-волновой природе любых видов материи. В 1927 г. впервые была обнаружена дифракция электронов, экспериментально подтвердившая наличие у микрочастиц волновых свойств.

Параллельно с квантовой механикой развивалась квантовая статистика – квантовая теория поведения физических систем, состоящих из огромного количества микрочастиц. Она сыграла важную роль в развитии физики конденсированных сред и в первую очередь физики твердого тела.

На основе квантовой теории вынужденного излучения, созданной Эйнштейном в 1917 г., в 50-х годах XX в. возникла новая область радиофизики – квантовая электроника. Учеными Н.Г. Басовым и А.М. Прохоровым осуществлены генерация и усиление электромагнитных волн с помощью построенного ими мазера. В 60-х годах был создан квантовый генератор света – лазер.

Во второй четверти XX в. происходило дальнейшее революционное преобразование физики, связанное с познанием структуры атомного ядра, а также с созданием физики элементарных частиц. Открытию Резерфордом атомного ядра предшествовало открытие явления радиоактивности (А. Беккерель). В 1934 г. супруги Жолио-Кюри открыли искусственную радиоактивность.

Создание ускорителей заряженных частиц позволило изучать различные ядерные реакции. Важнейшим результатом этого этапа явилось открытие деления атомного ядра. В 1939-45 гг. была впервые освобождена ядерная энергия с помощью цепной реакции деления ²³⁵U. В 1954 г. в СССР была построена первая атомная электрическая станция (г. Обнинск). В 1952 г. осуществлена реакция неуправляемого термоядерного синтеза (термоядерный взрыв).

Одновременно с физикой атомного ядра с 30-х годов начала быстро развиваться физика элементарных частиц. Первые большие успехи в этой области связаны с исследованием космических лучей. Были открыты мюоны, мезоны, гипероны, нейтрино, резонансы. Обнаружена универсальная взаимопревращаемость элементарных частиц.

Все здание классической и современной физики покоится на фундаменте законов сохранения, согласно которым численные значения некоторых физических величин не изменяются со временем в любых процессах или в определенном классе процессов. Важнейшими законами сохранения, справедливыми для любых изолированных систем, являются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса, электрического заряда.

Основным методом исследования в физике является опыт – основанное на практике чувственно-эмпирическое познание объективной действительности, т.е. наблюдение исследуемых явлений в точно учитываемых условиях, позволяющих следить за ходом процессов и многократно воспроизводить их при повторении этих условий.

Для объяснения экспериментальных фактов выдвигаются гипотезы. Гипотеза – это научное предположение, выдвигаемое для объяснения какого-либо явления и требующее проверки на опыте и теоретического обоснования для того, чтобы стать достоверным научным фактом.

При исследовании явлений или процессов в зависимости от условий конкретной задачи используются различные физические модели. Применение моделей преследует единственную цель – рассмотреть определенную группу физических явлений таким образом, чтобы можно было абстрагироваться от целого ряда реальных факторов, второстепенных в данном случае, но учет которых существенно усложнил бы изучение данного явления.

Основными физическими моделями являются:

· материальная точка – тело, обладающее массой, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях данной задачи (например, изучая движение планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за материальные точки, так как размеры планет пренебрежительно малы по сравнению с размерами их траекторий движения);

· абсолютно твердое тело – тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается неизменным. Другими словами, данная модель пригодна в случаях, когда в задаче деформации тела при его взаимодействии с другими телами пренебрежительно малы;

· абсолютно упругое тело – тело, деформации которого пропорциональны вызывающим их силам, т.е. подчиняются закону Гука. После прекращения внешнего механического воздействия на такое тело, оно полностью восстанавливает свои размеры и форму;

· абсолютно неупругое тело – тело, которое после прекращения внешнего механического воздействия полностью сохраняет деформированное состояние, вызванное этим воздействием;

· идеальный газ – газ, молекулы которого имеют пренебрежимо малый собственный объем и между ними отсутствуют силы взаимодействия;

· идеальная жидкость– жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения (не учитывается вязкость);

· точечный электрический заряд– заряженное тело, форма и размеры которого несущественны по сравнению с расстояниями до других заряженных тел;

· электрический диполь– система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов, расстояние между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек электрического поля;

· абсолютно черное тело– тело, полностью поглощающее при любой температуре весь направленный на него поток излучения любой частоты.

В результате обобщения экспериментальных фактов устанавливаются физические законы – устойчивые повторяющиеся объективные закономерности, существующие в природе. Наиболее важные законы устанавливают связь между физическими величинами, для чего необходимо эти величины измерять. Измерение физической величины – это действие, выполняемое с помощью средств измерений для нахождения значения физической величины в принятых единицах. В принципе единицы физических величин можно выбрать произвольно, но тогда возникнут трудности при их сравнении. Поэтому вводятся системы единиц, охватывающие единицы всех физических величин и позволяющие оперировать с ними.

Для построения системы единиц произвольно выбирают единицы для нескольких не зависящих друг от друга физических величин. Эти единицы называются основными. Остальные величины и их единицы выводятся из законов, связывающих эти величины с основными. Они называются производными величинами. В России согласно государственному стандарту обязательна к применению Международная система единиц SI (система СИ). Она базируется на семи основных единицах и двух дополнительных – радиан и стерадиан (табл. В.1).

Физика тесно связана с естественными науками - астрономией, химией, биологией, геологией и др. В результате образовался ряд новых научных дисциплин, таких, как астрофизика, физическая химия, биофизика, радиоастрономия и др. Физика тесно связана и с техникой, причем эта связь двусторонняя: физика развивается из потребностей техники (развитие механики вызвано потребностями строительной и военной техники; задача создания экономичных тепловых и электрических машин потребовало развития термодинамики и электродинамики и т.д.). С другой стороны развитие техники позволяет совершенствовать экспериментальные методы физических исследований, применять новые, более совершенные приборы и установки (электронные микроскопы, спектрографы, счетчики заряженных частиц и т.п.).

Таблица В.1

Наименование величины	Единица измерения	Обозначение
Длина	метр	м
Масса	килограмм	кг
Время	секунда	с
Сила электрического тока	ампер	А
Термодинамическая температура	кельвин	К
Количества вещества	моль	моль
Сила света	кандела	кд
Плоский угол	радиан	рад
Телесный угол	стерадиан	ср

 

Курс физики составляет основу теоретической подготовки студентов технических специальностей и играет роль фундаментальной базы, без которой невозможна успешная деятельность инженера любого профиля. Инженер должен знать и уметь пользоваться основными понятиями, законами и моделями механики, электричества и магнетизма, теории колебаний и волн, квантовой физики, статистической физики и термодинамики, физических основ электроники, методами теоретического и экспериментального исследования, уметь оценивать численные порядки величин.

 

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ

 

1.1. Предмет механики. Основные понятия и определения

 

Механика – это часть физики, изучающая механическое движение материальных тел и происходящие при этом взаимодействия между ними. Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного положения тел или их частиц в пространстве. В природе – это движение небесных тел, колебания земной коры, воздушные и водные течения и т.п.; в технике – движения различных летательных аппаратов и транспортных средств, частей двигателей, машин и механизмов, деформации элементов различных конструкций и сооружений, движения жидкостей и газов и многое другое.

В механике рассматриваемые взаимодействия представляют собой те действия тел друг на друга, в результате которых изменяются скорости точек этих тел или возникают деформации, например, притяжения тел по закону всемирного тяготения, взаимные давления соприкасающихся тел, воздействия частиц жидкости или газа друг на друга и на движущиеся в них тела.

Под механикой обычно понимают так называемую классическую механику Галилея-Ньютона, предметом изучения которой являются движения любых материальных тел (кроме элементарных частиц), совершаемые со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Движение макроскопических тел со скоростями порядка скорости света рассматривается релятивистской механикой, основанной на специальной теории относительности Эйнштейна. Для описания движения элементарных частиц и внутриатомных явлений законы классической механики неприменимы – они заменяются законами квантовой механики.

Классическая механика делится на три раздела: кинематику, динамику и статику.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обусловливают (т.е. движение тел без учета их масс и действующих на них сил). Методы и зависимости, устанавливаемые в кинематике, используются при расчетах передач движения в различных механизмах и машинах, а также при решении задач динамики.

Динамика изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил. В основе динамики лежат законы механики Ньютона, из которых получаются все уравнения и теоремы, необходимые для решения задач динамики.

Статика изучает условия равновесия материальных тел под действием сил. Если известны законы движения тел, то из них можно установить и законы равновесия. Поэтому законы статики всегда рассматриваются в связи с законами динамики.

Основными понятиями в механике, физике и естествознании в целом являются пространство и время. Всякое материальное тело имеет объем, т.е. пространственную протяженность. Время выражает последовательность состояний материи, составляющих любой процесс, любое движение. Таким образом, пространство и время представляют собой наиболее общие формы существования материи.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений. Поступательнымдвижением называют движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Примерами поступательного движения являются движение поршня в цилиндре двигателя, движение кабин «чертова колеса» и т.д. Вращательнымдвижением абсолютно твердого тела называют такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси (роторы турбин, генераторов и двигателей).

 

 

1.2. Кинематическое описание поступательного движения.

Скорость. Ускорение

 

Положение материальной точки в пространстве в данный момент времени определяется по отношению к какому-либо другому телу, которое называется телом отсчета. С ним связывается система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом, по отношению к которому изучается движение каких-нибудь других материальных точек. Выбор системы отсчета зависит от задач исследования. При кинематических исследованиях все системы отсчета равноправны (декартовая, полярная). В задачах динамики преимущественную роль играют инерциальные системы отсчета, по отношению к которым дифференциальные уравнения движения имеют более простой вид.

В декартовой системе координат положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе определяется тремя координатами х, у и z, или радиусом-вектором (рис. 1.1). При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется уравнениями

(1.1)

или векторным уравнением

=(t). (1.2)

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Исключая время t в системе уравнений (1.1), получим уравнение траектории движения материальной точки. Например, если кинематические уравнения движения точки заданы в форме

то, исключая t, получим:

 

, откуда

т.е. точка движется в плоскости z = 0 по эллиптической траектории с полуосями, равными a и b.

Траекторией движения материальной точки называется линия, описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории АВ (рис. 1.2). Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А (t = 0). Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента t = 0, называется длиной пути и является скалярной функцией времени . Вектор , проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени, называется вектором перемещения. При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и его модуль равен пройденному пути .

Скорость – это векторная физическая величина, введенная для определения быстроты движения и его направления в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории и в момент времени tей соответствует радиус-вектор . (рис. 1.3). В течение малого интервала времени точка пройдет путь и получит бесконечно малое перемещение . Различают среднюю и мгновенную скорости.

Вектором средней скорости называется отношение приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени :

(1.3)

Вектор направлен так же, как . При неограниченном уменьшении , средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью или просто скоростью:

 

(1.4)

 

Таким образом, скорость – это векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения.

По мере уменьшения длина дуги все более приближается к длине стягивающей ее хорды, т.е. численное значение скорости материальной точки равно первой производной длины ее пути по времени:

Таким образом,

(1.5)

Из выражения (1.5) получаем Интегрируя по времени от до , найдем длину пути, пройденного материальной точкой за время :

(1.6)

Если направление вектора мгновенной скорости во время движения материальной точки не изменяется, это означает, что точка движется по траектории, касательные к которой во всех точках имеют одно и то же направление. Таким свойством обладают только прямолинейные траектории. Значит, рассматриваемое движение будет прямолинейным.

Если направление вектора скорости материальной точки изменяется с течением времени, точка будет описывать криволинейную траекторию.

Если численное значение мгновенной скорости точки остается во время движения постоянным, то такое движение называется равномерным. В этом случае

(1.7)

Это означает, что за произвольные равные промежутки времени материальная точка проходит пути равной длины.

Если за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной длины, то численное значение ее скорости с течением времени изменяется. Такое движение называется неравномерным. В этом случае пользуются скалярной величиной, называемой средней скоростью неравномерного движения на данном участке траектории. Она равна численному значению скорости такого равномерного движения, при котором на прохождение пути затрачивается то же время , что и при заданном неравномерном движении:

(1.8)

Если материальная точка одновременно участвует в нескольких движениях, то по закону независимости движений ее результирующее перемещение равно векторной сумме перемещений, совершаемых ею за то же время в каждом из движений в отдельности. Поэтому скорость результирующего движения находится как векторная сумма скоростей всех тех движений, в которых материальная точка участвует.

В природе чаще всего наблюдаются движения, в которых скорость изменяется как по величине (модулю), так и по направлению, т.е. приходится иметь дело с неравномерными движениями. Для характеристики изменения скорости таких движений вводится понятие ускорения.

Пусть за время движущаяся точка перешла из положения А в положение В (рис. 1.4). Вектор задает скорость точки в положении А. В положении В точка приобрела скорость, отличную от как по величине, так и по направлению и стала равной . Перенесем вектор в точку А и найдем .

Средним ускорением неравномерного движения в интервале времени от до называется векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу времени :

(1.9)

Очевидно, что вектор совпадает по направлению с вектором изменения скорости .

Мгновенным ускорением или ускорением материальной точки в момент времени будет предел среднего ускорения:

(1.10)

Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор на две составляющие. Для этого из точки А по направлению скорости отложим вектор , по модулю равный . Тогда вектор , равный , определяет изменение скорости по модулю (величине) за время , т.е. . Вторая же составляющая вектора характеризует изменение скорости на время по направлению - .

Составляющая ускорения, определяющая изменение скорости по величине, называется тангенциальной составляющей . Численно она равна первой производной по времени от модуля скорости:

(1.11)

 

Найдем вторую составляющую ускорения, называемую нормальной составляющей. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому путь можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающегося от хорды АВ. Из подобия треугольников АОВ и ЕАD следует, что

,

откуда В пределе при поэтому вторая составляющая ускорения равна:

. (1.12)

 

Она характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлена к центру кривизны траектории по нормали. Ее называют также центростремительным ускорением.

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих:

. (1.13)

 

Из рис. 1.5 следует, что модуль полного ускорения равен:

(1.14)

Направление полного ускорения определяется углом между векторами и . Очевидно, что

(1.15)

В зависимости от значений тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение тела классифицируется по-разному. Если (величина скорости не изменяется по величине), движение является равномерным. Если > 0, движение называется ускоренным, если < 0 – замедленным. Если = const0, то движение называется равнопеременным. Наконец, в любом прямолинейном движении (нет изменения направления скорости).

Таким образом, движение материальной точки может быть следующих видов:

1) - прямолинейное равномерное движение ();

2) - прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

Если начальный момент времени , а начальная скорость , то, обозначив и , получим:

откуда . (1.16)

 

Проинтегрировав это выражение в пределах от нуля до произвольного момента времени, получим формулу для нахождения длины пути, пройденного точкой при равнопеременном движении:

 

(1.17)

 

3) - прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) - скорость по модулю не изменяется, откуда видно, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, данное движение по окружности является равномерным;

5) - равномерное криволинейное движение;

6) - криволинейное равнопеременное движение;

7) - криволинейное движение с переменным ускорением.

 

1.3. Кинематика вращательного движения твердого тела

 

Как уже отмечалось, вращательным движением абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси (рис. 1.6).Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка А движется по окружности радиуса R. Ее положение через промежуток времени зададим углом .

Угловой скоростью вращения называется вектор, численно равный первой производной угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:

(1.18)

Единица измерения угловой скорости радиан в секунду (рад/с).

Таким образом, вектор определяет направление и быстроту вращения. Если , то вращение называется равномерным.

Угловая скорость может быть связана с линейной скоростью произвольной точки А. Пусть за время точка проходит по дуге окружности длину пути . Тогда линейная скорость точки будет равна:

(1.19)

 

При равномерном вращении его можно охарактеризовать периодом вращения Т – временем, за которое точка тела совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π:

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

 

откуда

Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения. Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

(1.20)

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора угловой скорости (рис. 1.7); при ускоренном движении вектор направлен в ту же сторону, что и , и в противоположную сторону при замедленном вращении .

Выразим тангенциальную и нормальную составляющие ускорения точки А вращающегося тела через угловую скорость и угловое ускорение:

 

(1.21)

 

(1.22)

 

 

В случае равнопеременного движения точки по окружности ():

,

где начальная угловая скорость.

Поступательное и вращательное движения твердого тела являются лишь простейшими типами его движения. В общем случае движение твердого тела может быть весьма сложным. Однако в теоретической механике доказывается, что любое сложное движение твердого тела можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений.

Кинематические уравнения поступательного и вращательного движений сведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Поступательное	Вращательное
Равномерное
Равнопеременное
Неравномерное

 

Краткие выводы

 

· Часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение, называется механикой. Классическая механика (механика Ньютона-Галилея) изучает законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме.

· Кинематика – раздел механики, предметом изучения которого является движение тел без рассмотрения причин, которыми это движение обусловлено.

· В механике для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач используются различные физические модели: материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело.

· Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение. Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и синхронизированных между собой часов называется системой отсчета.

· Вектор , проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени называется вектором перемещения. Линия, описываемая движущейся материальной точкой (телом) относительно выбранной системы отсчета называется траекторией движения. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Длина участка траектории, пройденного материальной точкой за данный промежуток времени, называется длиной пути.

· Скорость – это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту движения и его направление в данный момент времени. Мгновенная скорость определяется первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени:

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения. Модуль мгновенной скорости материальной точки равен первой производной длины ее пути по времени:

· Ускорение – векторная физическая величина для характеристики неравномерного движения. Она определяет быстроту изменения скорости по модулю и направлению. Мгновенное ускорение - векторная величина, равная первой производной скорости по времени:

Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по величине (направлена по касательной к траектории движения):

Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории):

Полное ускорение при криволинейном движении – геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих:

,

· Векторная величина, определяемая первой производной угла поворота тела по времени, называется угловой скоростью:

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта.

· При равномерном вращении время, за которое точка тела совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π, называется периодом вращения:

Частота вращения – число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности в единицу времени:

· Угловое ускорение – это векторная физическая величина, определяемая первой производной угловой скорости по времени:

При ускоренном вращении тела вокруг неподвижной оси вектор сонаправлен вектору , при замедленном – противонаправлен ему.

· Связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми характеристиками (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) выражается следующими формулами:

.

 

Вопросы для самоконтроля и повторения

 

1. Что является предметом изучения механики? Какова структура механики?

2. Что такое физическая модель? Какие физические модели использует механика для описания движения материальных объектов?

3. Что представляет собой система отсчета? Что называется вектором перемещения?

4. Какое движение называется поступательным? Вращательным?

5. Что характеризуют скорость и ускорение? Дайте определения средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости и мгновенного ускорения.

6. Составьте уравнение траектории движения тела, брошенного горизонтально со скоростью v₀ с некоторой высоты. Сопротивление воздуха не учитывать.

7. Что характеризуют тангенциальная и нормальная составляющие ускоре