Решение

Составляющие начальной скорости тела

Ответ:

Задача 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выражаемому формулой Найти величину полного ускорения точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения для момента времени 4 с (рис. 1.9).

Дано: ; 0,1 м; 4 с.

Найти:

Решение

где

рад/с²=const.

В момент времени 4 с рад/с;

м/с².

 

Ответ: а=1,65 м/с².

 

Задачи для самостоятельного решения

 

1. Движения двух материальных точек описываются следующими уравнениями: и В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

2. С высоты 1000 м падает тело без начальной скорости. Одновременно с высоты 1100 м падает другое тело с некоторой начальной скоростью. Оба тела достигают земли в один и тот же момент времени. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти начальную скорость второго тела.

3. Велосипедист проехал первую треть пути со скоростью 10 м/с, затем половину пути со скоростью 6 м/с и оставшуюся часть пути со скоростью 2 м/с. Чему равна средняя скорость велосипедиста?

4. Мяч бросили со скоростью 10 м/с по углом 40⁰ к горизонту. Не учитывая сопротивления воздуха, найти: а) на какую высоту поднимется мяч? б) на каком расстоянии от места бросания мяч упадет на землю? в) сколько времени мяч будет в движении?

5. Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через 0,5 с на расстоянии 5 м по горизонтали от места бросания. Не учитывая сопротивления воздуха, определить: а) с какой высоты брошен камень? б) чему равна начальная скорость камня? в) с какой скоростью камень упал на землю? г) какой угол составляет траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю?

6. Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением , где А=2 рад/с² и В=1 рад/с⁵. Определить полное ускорение точек обода колеса через t=1 с после начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время.

7. Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t=1 мин уменьшилась от 300 до 180 об/мин. Определить: а) угловое ускорение колеса; б) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

8. Диск радиусом R=10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением (В=1 рад/с, С=1 рад/с², D=1 рад/с³). Определить для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: а) тангенциальное ускорение; б) нормальное ускорение; в) полное ускорение.

9. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

10. Колесо, вращаясь равноускоренно, спустя 1 мин после начала движения приобретает скорость, соответствующую частоте 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов за эту минуту.

 

ГЛАВА 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

 

2.1. Первый закон Ньютона

 

Как уже отмечалось, динамика – это раздел классической механики, изучающий движение материальных тел под действием приложенных к ним сил, т.е. дающий связь между взаимодействиями тел и изменениями в их движении. Она является основным разделом механики и базируется на трех законах Ньютона (1687 г.)

Первый закон Ньютона (закон инерции) формулируется следующим образом: всякое тело (материальная точка) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии или взаимном уравновешивании внешних воздействий называется инертностью. Если на тело действует неуравновешенная система сил, то инертность сказывается в том, что изменение состояния покоя или движения тела происходит постепенно, а не мгновенно. При этом движение изменяется тем медленнее, чем больше инертность тела. Мерой инертности тела при поступательном движении является масса.

Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Системы, в которых он выполняется, называются инерциальными системами отсчета. Инерциальной системой отсчета является такая система, относительно которой свободная материальная точка, не подверженная воздействию других тел, движется равномерно и прямолинейно, или по инерции. Система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета с ускорением, является неинерциальной, и в ней не выполняются ни закон инерции, ни второй закон Ньютона, ни закон сохранения импульса.

Понятие «инерциальная система отсчета» является научной абстракцией. Реальная система отсчета всегда связывается с каким-нибудь конкретным телом (Землей, корпусом корабля и т.п.), по отношению к которому и изучается движение тех или иных объектов. Однако в природе нет неподвижных тел (тело, неподвижное относительно Земли, будет двигаться вместе с нею ускоренно по отношению к Солнцу и звездам), поэтому любая реальная система отсчета может рассматриваться как инерциальная лишь с той или иной степенью приближения. С очень высокой степенью точности инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему с началом координат в центре Солнца и с осями, направленными на три звезды. Для решения большинства технических задач инерциальной системой можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей (не учитывается вращение Земли вокруг собственной оси и вокруг Солнца).

Как уже отмечалось, масса – это физическая величина, определяющая инерционные свойства материи. Масса – это свойство самого тела и, в отличие от веса, не зависит от места ее измерения (вес Р тела в разных точках земного шара различен: он максимален на полюсах и минимален на экваторе). Ускорение свободного падения g тел на Землю также зависит от географической широты места наблюдения и от его высоты над уровнем моря. Однако отношение веса тела Р к его ускорению g одинаково во всех точках земного шара. Это отношение и принято для количественного измерения массы:

(2.1)

За единицу массы принят килограмм массы, равный массе эталона, сделанного из сплава иридия и платины. Следует отметить, что масса тела считается постоянной величиной только в классической механике Ньютона, изучающей движение тел со скоростями, небольшими по сравнению со скоростью света (). В современной физике установлено, что масса тела увеличивается с увеличением скорости его движения по закону:

где m – масса тела, движущегося со скоростью ; с – скорость света; m₀ – масса покоящегося тела.

Из формулы (2.1) следует, что вес тела

, (2.2)

т.е. вес – это сила, с которой тело притягивается Землей, т.е. та сила, которая сообщает телу ускорение g=9,81 м/с²:

1 кГ=1 кг·9,81 м/с² .

С другой стороны,

1 Н=1 кг·1 м/с² ,

следовательно,

1 кГ=9,81 Н.

 

Для описания воздействий тел (материальных точек) друг на друга вводится понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т.е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т.е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). Таким образом, сила - это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры. В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением (модулем), направлением в пространстве и точкой приложения.

Пример. Какого веса балласт F_x надо сбросить с равномерно спускающегося аэростата, чтобы он начал подниматься с той же скоростью? Вес аэростата с балластом Р=1600 кГ, подъемная сила аэростата F₁=1200 кГ. Силу сопротивления воздуха F₂ считать одинаковой при подъеме и при спуске.