Кинематика поступательного движения

Физические основы механики.

1. Кинематика поступательного движения.

 

Механическое движение.

Формой существования материи является движение во времени и пространстве. Под движением понимают любое ее изменение. Простейшей и в тоже время наиболее распространенной формой движения в природе… Раздел физики изучающий закономерности механического движения и взаимодействия тел называется механикой. Механическое…

Пространство и время.

Не имеет смысла говорить о положении и механическом движении тела в пространстве «вообще», всегда говорят о положении и движении относительно…

Система отсчета.

Наиболее часто пользуются правой, прямоугольной, декартовой системой координат, рис.1. Здесь - единичные по модулю, взаимно перпендиклярные… Система координат называется правой,т.к. при наблюдении из конца орта вращение… Положение т. М относительно системы координат задается двумя способами: указанием всех координат точки, x, y, z, ,…

Кинематические уравнения движения.

Эти уравнения называются кинетическими уравнениями движения точки. Линия, описываемая точкой при ее движении относительно выбранной системы… Длиной пути является расстояние , пройденное точкой за рассмотренный промежуток времени и измеряемое вдоль траектории…

Перемещение, элементарное перемещение.

Пусть точка М движется от А к В по криволинейному пути АВ. В начальный момент ее радиус-вектор равен , а в момент времени ее радиус-вектор равен .… Вектором перемещения точки за промежуток от до называется приращение… Однако, по мере уменьшения длины пути разность между хордой и перемещением уменьшается. Следовательно, рассматривая…

Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения.

называется средним ускорением точки за это время. Ускорение в данный момент времени: ; т.е. вектор равен производной по времени. Направление вектора совпадает с направлением приращения скорости за .…

Динамика поступательного движения

Поступательное движение

; т.е. для описания движения можно взять одну точку тела; если при этом , то и… ; Затем, интегрируя скорость , найдем координату:

Закон инерции.

В качестве первого закона динамики Ньютон принял закон, установленный еще Галилеем: Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения… Этот закон утверждает, что для состояния покоя или равномерного прямолинейного движения не требуется внешних…

Инерциальная система отсчета.

Системы отсчета, по отношению к которым выполняется закон инерции, называются инерциальными системами отсчета. Если бы такие системы нельзя было указать, то первый закон потерял бы смысл.… Инерциальной системой отсчета называют систему, в которой свободная от внешних воздействий материальная точка имеет…

Масса. Второй закон Ньютона.

(*) где — коэффициент пропорциональности; , постоянный для каждого конкретного… В качестве меры инертности тела в механике вводится положительная величина —масса тела. Чем больше инертность тела, а…

Сила.

Сила - мера механического воздействия одного тела на другое, векторная величина. Взаимодействие в механике может осуществляться непосредственно в контакте или между удаленными телами с помощью связанных с ними фундаментальных физических полей: гравитационного и электромагнитного. Сила задана, если указаны её модуль, направление и точка приложения.

Из опытов следует что действие нескольких сил, которые приложены в одной точке тела, можно заменить действием одной силы, равной их геометрической сумме , приложенной в той же точке и называемой результирующей.

В рамках классической механики имеют дело с гравитационными и электромагнитными силами, а также с силами упругости и трения. Две последние силы определяются характером взаимодействия атомов и молекул и являются по своей природе электромагнитными.

Для решения практических задач вводят следующие силы:

1. Однородная сила тяжести - сила гравитационного взаимодействия вблизи поверхности Земли, совпадает с весом, если опора или подвес неподвижны.

2. Упругая сила - сила упругой деформации в законе Гука.

3. Сила трения ;

4. Сила сопротивления среды - действует при поступательном движении тела в газе или жидкости. При больших скоростях коэффициент зависит от скорости тела.

 

Основной закон динамики материальной точки.

В механике Ньютона масса не зависит от характеристик движения, времени. Записав ускорение как и умножив на массу, получим: или (**). Вектор равный произведению массы тела на его скорость называют импульсом материальной точки.

Третий закон Ньютона

Количественное описание механического взаимодействия было дано Ньютоном в его третьем законе динамики. Взаимодействия двух тел друг на друга равны между собой по величине и…

Преобразования Галилея

; (1) Или в координатной форме: ; (2) ; (3)

Принцип относительности Галилея

Поскольку, во всех инерциальных системах отсчета (ИСО), то и силы , действующие на тело в разных ИСО, будут также одинаковы. Масса в ньютоновской механике величина постоянная во всех системах отсчета. … Из сказанного следует, что уравнение динамики не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к…

Законы сохранения.

Сохраняющиеся величины

Зная природу сил, действующих на частицы системы и ее состояние в начале отсчета времени, можно рассчитать поведение системы в любой последующий… Однако если система состоит из многих частиц или природа сил действующих на… В этом случае пользуются наиболее общими принципами, которые являются следствиями законов Ньютона, это законы…

Центр масс

Центр масс совпадает с центром тяжести для однородного поля сил тяготения. Найдем скорость движения центра масс системы ;

Уравнение движения центра масс.

Это есть уравнение движения центра масс системы, одно из важнейших уравнений… Ускорение центра масс системы совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.

Работа и энергия

Работа

Пусть частица М под действием силы совершает перемещение по некоторой траектории 1-2. Сила, в общем случае, может меняться во времени по модулю и направлению, но на элементарном перемещении её можно считать .

Действие силы на перемещении характеризуется физической величиной, равной скалярному произведению , которая называется элементарной работой силы на перемещении . Её можно записать как , где — угол между и - элементарный путь проекция вектора на вектор , или на направление s.

Значит, элементарная работа (*)

- величина алгебраическая, она может быть , или , а также равна нулю при .

Суммируя элементарные работы (т.е., интегрируя ) по всем элементарным участкам пути от 1 к 2 найдем работу силы на данном пути.

.

Геометрический смысл этого выражения виден из рисунка, на котором - площадь полоски шириной и высотой ; - площадь под всей кривой. Над осью работа силы положительна, под осью — отрицательна.

Размерность работы .

Найдем для примера работу некоторых центральных сил.

1.Работа гравитационной или кулоновской силы.

Пусть в точке О находится неподвижная материальная точка, действующая на частицу М с силой ; —орт радиуса- вектора , a -постоянная, равная -jm₁m₂ для гравитационной и kq₁q₂ для кулоновской силы. Элементарная работа этой силы на перемещении : ; Скалярное произведение— приращение модуля вектора ;

Тогда , а работа на всем пути: .

2. Работа упругой силы

— радиус- вектор частицы М относительно точки О. Элементарная работа в этом случае;Здесь -проекция вектора на вектор . Она равна приращению модуля вектора на перемещении . Работа на всем пути .

3. Работа силы тяжести Элементарная работа силы тяжести: ; Скалярное произведение — приращение координаты . Тогда
; А работа на пути 1-2 равна .

Работа всех рассмотренных сил не зависит от формы пути между точками 1 и 2, а зависит только от положения этих точек. Эта особенность присуща не всем силам. Силы трения, например, не обладают таким свойством.

 

4.2 Мощность по определению это работа, выполненная за единицу времени. Если за промежуток времени сила совершает работу , то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени т.е. скалярное произведение на вектор скорости , с которой движется точка приложения данной силы: .

— как и работа, величина алгебраическая.

Зная можно найти работу, которую совершает сила за конечное время : , поскольку , то , тогда:

Единица мощности в системе СИ .

 

Консервативные силы

Работа, которую совершают силы поля по перемещению частицы из т.1 в т.2 зависит, в общем случае, от формы пути между этими точками, например, при… Разобъем произвольный замкнутый контур на две части: 1а2 и 2в1, рис. Тогда… К неконсервативным силам относятся силы трения и сопротивления. Работа этих сил зависит от пути между начальным и…

Центральные силы.

Если силы зависят только от расстояния между взаимодействующими частицами и направлены вдоль прямой их соединяющей, то они называются центральными.… , здесьявляется функцией только расстояния , - орт, задающий направление… Докажем, что центральные силы являются консервативными. Найдем сначала работу центральной силы в случае, когда силовое…

Потенциальная энергия частицы в силовом поле.

Возьмем стационарное поле консервативных сил, например электростатическое поле, в котором мы перемещаем частицу (заряд) из разных точек в некоторую… (*). Функцию называют потенциальной энергией частицы в поле сил.

Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля.

Найдем эту связь. Известно, что работа консервативных сил при перемещении частицы из одной точки поля в другую может быть представлена в виде убыли… , т.е. Как видно из рисунка, ; — элементарный путь. Значит, ; Здесь величина есть убыль потенциальной энергии в направлении…

Кинетическая энергия частицы в силовом поле.

, а кинетическая энергия (*) При конечном перемещении частицы из т.1 в т.2 работа равна: , или

Полная механическая энергия частицы.

Работа всех этих сил идет на изменение кинетической энергии частицы: Известно также, что работу консервативных сил поля можно записать как убыль потенциальной энергии частицы в этом…

Закон сохранения механической энергии частицы.

Если сторонние силы отсутствуют, то полная механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных сил остается постоянной. ; Закон сохранения позволяет решать многие задачи, не привлекая уравнения движения, которые часто приводят к громоздким…

Кинематика и динамика вращательного движения.

Кинематика.

При поворотах на очень малые углы, путь проходимый точкой можно считать прямолинейным, поэтому два последовательных малых поворота и (вокруг разных… Для истинных векторов типа вопрос об их направлении не возникает, он решается… Векторная величина называется угловой скоростью тела, она направлена вдоль оси…

Момент импульса частицы. Момент силы.

Момент импульса является псевдовектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг точки О в направлении и вектор образуют правовинтовую… плечо вектора относительно точки О. Найдем, с какой величиной связано изменение вектора во времени:

Таким образом, приращение момента импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу момента силы за это время.

 

 

Момент импульса и момент силы относительно оси.

Моментом импульса частицы относительно оси называется проекция на эту ось вектора , определенного относительно произвольной точки О данной оси. Аналогично вводится понятие момента силы относительно оси . Величины и не… Уравнение моментов относительно оси : , т.е. производная момента импульса относительно оси равна моменту силы…

Закон сохранения момента импульса системы.

Нам известно, что изменение момента импульса одной частицы —моменту всех сил, действующих на частицу, а изменение момента импульса системы: ,… , где — суммарный момент всех внутренних сил, действующих на все частицы, а —…  

Таким образом, момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, не изменяется со временем.

Закон справедлив и в неинерциальной системе отсчета в тех случаях, когда суммарный момент всех внешних сил, включая силы инерции, равен нулю. Этот закон играет такую же роль, как и законы сохранения энергии, импульса. Он… Пример: вращают горизонтальный стержень со скользящими по нему шариками вокруг вертикальной оси. Вначале шарики были…

Момент инерции твердого тела.

, где расстояние от точки до оси ; Момент импульса всего тела относительно оси можно записать: ; т.к. Величина называется моментом инерции твердого тела относительно оси .

Уравнение динамики вращения твердого тела.

и подставив значение , выраженное через момент инерции относительно той же оси вращения: . После подстановки:   . Откуда следует: . Или:

Кинетическая энергия вращающегося тела.

Кинетическая энергия вращения всего тела сложится из кинетических энергий составляющих его частиц: . Т.к., угловая скорость вращения всех частиц одинакова, то , …, тогда:

Работа вращения твердого тела.

При повороте на угол точка приложения силы проходит путь . При этом работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину… Тогда элементарная работа: . Если , то . Работа вращения идёт на увеличение кинетической энергии тела

Силы инерции (Сав. Стр.118)

Законы Нъютона выполняются только в инерциальных системах отсчета (ИСО), относительно которых данное тело движется с одинаковым ускорением . Любая неинерциальная система отсчёта (НИСО) движется относительно инерциальной системы с некоторым ускорением , рис.5.1, поэтому ускорение тела в неинерциальной системе отсчёта будет отлично от и равно:

= - (*)

Поступательно движущаяся неинерциальная система отсчёта имеет ускорение , одинаковое для всех точек пространства (системы отсчета) и представляет собой ускорение НИСО. Вращающаяся НИСО будет иметь ускорения, разные в разных точках (), где - радиус-вектор точки относительно неинерциальной системы отсчёта.

Ускорение тела в инерциальной системе определяется II-м законом Ньютона: , где результирующая всех сил со стороны других тел.

 

Наша задача - описать движение тел в неинерциальных системах с помощью основного закона Ньютона.

Ускорение тела относительно неинерциальной системы из (*)

;

Умножим уравнение на массу тела m

Отсюда видно, что даже при =0, по отношению к неинерциальной системе тело будет двигатся с ускорением , т.е. так, как если бы на него действовала сила равная . Это означает, что при описании движения в неинерциальной системе отсчёта можно пользоваться уравнениями Нъютона, если наряду с реальными силами, обусловленными воздействиями тел друг на друга учитывать так называемые силы инерции , которые равны произведению массы тела на взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к инерциальной системе отсчёта и неинерциальной системе отсчёта:

Тогда ур-е II закона Нъютона в неинерциальной системе будет иметь вид

 

 

 

Пример: Тележка со штангой, к которой подвешен шарик, движется с ускорением , рис.5.2. Относительно ИСО (Земли) все просто: при движении нить отклоняется на угол , т.к. результирующая сил: весаи натяжения нити сообщает шарику ускорение . Относительно тележки (а она является НИСО), шарик находится в покое, несмотря на то, что .Отсутствие ускорения шарика в системе, связанной с тележкой, можно формально объяснить наличием, кроме реальных сил и , силы инерции .

, (=0 в данном случае).

Введение сил инерции дает возможность описывать движение тел как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчёта с помощъю одних и тех же уравнений движения - законов Ньютона. Однако силы инерции нельзя ставить в один ряд с такими природными силами, как упругие, гравитационные, силы тяжести, т.е. обусловленными взаимодействием тел друг с другом. Силы инерции обусловлены свойствами той системы отсчёта, в которой рассматриваются механические явления. В этом смысле их можно назвать фиктивными.

Эти силы существуют только в неинерциальных системах отсчёта. В инерциалных системах отсчёта сил инерции вообще нет и понятие сила применяется только как мера взаимодействия, т.е. в нъютоновском смысле.

Все силы инерции, подобно силам тяготения, пропорциональны массе тела. Поэтому в однородном поле сил инерции, как и в поле сил тяготения все тела движутся с одинаковым ускорением независимо от их масс.

 

 

Центробежная сила инерции

Шарик находится в положении, когда сила упругости пружины равна произведению массы шарика на его ускорение: . Это относительно неподвижной системы… Относительно вращающейся системы отсчета, связанной с диском (НСО) шарик… Центробежные силы необходимо учитывать при точном решении задачи о движении тел относительно Земли; На небольшой…

Сила Кориолиса

Найдем для случая, когда частица массою движется относительно вращающейся системы отсчёта по окружности лежащей в плоскости оси вращения, с центром… Относительно неподвижной системы отсчета (инерциальной) скорость шарика равна:… Относительно вращающейся системы частица движется с ускорением , т.е., так, как если бы на нее действовала…

Механические колебания

Общие сведения

Колебаниями называются процессы, в которых физическая величина изменяясь, повторяет свои значения через некоторое время. В зависимости от физической природы процесса различают механические, электромагнитные, электромеханические и другие колебания.

Колебательные процессы лежат в основе различных отраслей науки и техники, например, модуляционная спектроскопия в физике и радиотехника.

В некоторых случаях колебания играют отрицательную роль: колебания стационарных конструкций под действием внешних воздействий, колебания корпусов кораблей, летательных аппаратов, вызванные внешними и внутренними силами (двигателями ). В этом случае их нужно минимизировать.

В зависимости от характера воздействия на колебательную систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденые колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободные колебания возникают в системе самопроизвольно после того, как ее вывели из положения равновесия (шарик на вертикальной нити или пружине).

Вынужденые колебания происходят под воздействием внешней периодической силы.

Автоколебания сопровождаются действием внешних сил, однако моменты воздействия задаются самой колебательной системой, т.е. она управляет внешним воздействием (часы).

При параметрических колебаниях за счёт внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины маятника.

Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие, при которых физическая величина изменяется по закону sin или cos.

Эти колебания важны, поскольку :

1) в природе и технике часто колебания близки к гармоническим;

2) периодические процессы иной формы могут быть представлены как сумма нескольких гармонических колебаний.

 

 

Малые колебания

Разложим функцию в ряд Маклорена (частный случай ряда Тейлора) по степеням х и ограничимся малыми колебаниями, т.е., степенями 2-го порядка. Энергию… Производная , а положительна для минимума функции. Обозначив , -константа, при этом , получим:

Гармонические колебания.

или (* ) , здесь . Поскольку, >0, то -вещественная величина. Это линейное… Такие уравнения решают с помощъю подстановки , -постоянная величина. После чего получают алгебраическое уравнение

Математический маятник

рис.7,5  

Физический маятник.

Здесь угловое ускорение , а - расстояние от точки подвеса до центра масс тела С. Для малых колебаний : и тогда: , т.е., такой маятник также совершает гармонические колебания с частотой и… Такую же частоту и период имел бы математический маятник с длиной , называемой приведенной.

Затухающие колебания

В реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводят к уменьшению потенциальной энергии системы, и колебания будут… С учётом 2-ой закон Ньютона имеет вид или (**)

Автоколебания

 

Вынужденные колебания

или с обозначениями , , (*)- уравнение вынужденых колебаний. Здесь -частота внешней силы, -собственная… Это неоднородное дифференциальное уравнение, решение которого состоит из суммы решений соответствуещего однородного…

Резонанс

Резонансную частоту можно найти из условия максимума амплитуды колебаний , т.е. нужно взять производную функции и приравнять ее нулю. При этом имеется три решения : (тривиальное) и ; , не подходит: т.к., это… Значит, остается , при этом резонансная амплитуда

Волны

Распространение волн в упругой среде.

Частицы среды не вовлекаются в поступательное движение, они лишь колеблятся у положений равновесия. Различают продольные и поперечные волны. Первые возникают в среде, обладающей… Распространняясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые области пространства.…

Уравнение плоской и сферической волн.

Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся частицы от ее кординат ,,и времени : . Эта функция должна быть периодической относительно времени, т.к. она описывает… на длину волны , колеблются одинаковым образом.

Волновое уравнение

Уравнение волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Для его установления найдем вторые частные производные по времени и…  

Энергия волны.

Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией среды при движении волны.

Кинетическая энергия малого объема среды с плотностью , в котором все частицы движутся с одинаковой скоростью равна:

, а объемная плотность энергии .

Потенциальная энергия малого объема упруго – деформированной среды:

, где - фазовая скорость волны в среде, - относительная деформация среды. Объемная плотность потенциальной энергии:

Сумма дает объемную плотность энергии упругих волн, т.е., объемную плотность механической энергии среды, обусловленную распространением волн, равную:

(*) для определенной координаты и времени.

Если в среде распространяется продольная плоская волна вдоль оси , , то скорость колебаний частиц малого объема:

. А деформация этого объема:

.

 

Подставим в уравнение (*) и и учтем, что , получим:

- плоская волна.

Таким образом, объемная плотность энегрии волны зависит как от координаты, так и от времени. В каждый момент времени она разная в разных точках среды. В одной и той же точке она изменяется со временем по закону . Т.к., среднее значение равно ½, то среднее по времени значение энергии в каждой точке среды:

т.е., пропорционально плотности среды, квадрату амплитуды и частоты.

 

Рис.8,3 а)

Рис.8,3б