Перемещение, элементарное перемещение. - раздел Механика, Кинематика поступательного движения
Пусть Точка М Движется От А К В По Криволинейному Пути Ав. В ...
Пусть точка М движется от А к В по криволинейному пути АВ. В начальный момент ее радиус-вектор равен 
, а в момент времени 
ее радиус-вектор равен 
. Длина траектории точки -
.
Вектором перемещения точки за промежуток от 
до 
называется приращение радиуса-вектора 
точки за это время 
. Он направлен вдоль хорды стягивающий соответствующий участок траектории точки. Поэтому во всех случаях, кроме движения точки по прямой, модуль перемещения меньше длины пути за этот же 
.
Однако, по мере уменьшения длины пути разность между хордой и перемещением уменьшается. Следовательно, рассматривая элементарное перемещение 
по траектории за достаточно малый промежуток времени 
(от 
до 
), можно пренебречь отличием между 
и модулем перемещения 
за это время. Значит, вектор направлен по касательной к траектории в сторону движения точки, также как единичный вектор касательной 
. Таким образом,
Вектор перемещения материальной точки за любой конечный промежуток времени от до 
можно представить в виде:
,
где 
приращения соответствующих координат точки за время .
Следует заметить, что в математике и физике имеется некоторое различие в толковании смысла обозначений и 
. В математике и представляют собой дифференциалы соответствующих функций, т.е. равны линейным частям приращений этих функций при произвольном изменении аргумента от до , рис. . По определению в математике дифференциал аргумента: 
, а – функции: 
и 
;
где 
и 
- производные по времени от функций 
и
. Очевидно, что приращения функций 
и 
существенно отличаются от дифференциалов этих функций,что видно из рис..
В физике различают произвольное (конечное) приращение аргумента и дифференциал аргумента . Под дифференциалом аргумента понимают столь малое его приращение (элементарное), при котором разностью между соответствующим приращением функции 
и линейной частью её приращения можно пренебречь т.е. 
. Поэтому, в физике, используя предложенные Лейбницем обозначения производной 
, трактуют эти выражения как отношения не математических дифференциалов функции и аргумента, а малых (элементарных) приращений функции и аргумента.
1.6. Скорость.
Для характеристики направления и быстроты движения точки вводится векторная физическая величина-скорость.
Пусть за произвольное время точка переместилась из т.1 в т.2. Вектор перемещения 
представляет собой приращение радиуса-вектора за время 
. Отношение 
называется средней скоростью точки 
за время или скоростью перемещения. Направление вектора совпадает с перемещением .
Скорость 
точки в заданный момент времени, т.е., мгновенная скорость, определяется как предел отношения при 
,
т.е. равна производной от радиуса-вектора по времени и направлена по касательной к траектории в заданной точке в сторону ее движения. Модуль скорости 
. Вектор 
можно разложить по базису 
, т.е., на три составляющие по осям декартовой системы координат
;
; 
; 
;
;
Все темы данного раздела:
Механическое движение.
Материя, как известно, существует в двух видах: в виде вещества и поля. К первому виду относятся атомы и молекулы, из которых построены все тела. Ко второму виду относятся все виды полей: гравитаци
Пространство и время.
Все тела существуют и движутся в пространстве и времени. Эти понятия являются основополагающими для всех естественных наук. Любое тело имеет размеры, т.е. свою пространственную протяженность
Система отсчета.
Для однозначного определения положения тела в произвольный момент времени необходимо выбрать систему отсчета - систему координат, снабженнуя часами и жестко связаннуя с абсолютно твердым телом, по
Кинематические уравнения движения.
При движении т.М ее координаты и меняются со временем, поэтому для задания закона движения необходимо указать вид фун
Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения.
Движение точки характеризуется также ускорением—быстротой изменения скорости. Если скорость точки за произвольное время
Поступательное движение
Простейшим видом механического движения твердого тела является поступательное движение, при котором прямая, соединяющая любые две точки тела перемещается вместе с телом, оставаясь параллельной| сво
Закон инерции.
В основе классической механики лежат три закона Ньютона, сформулированные им в сочинении «Математические начала натуральной философии», опубликованном в 1687г. Эти законы явились результатом гениал
Инерциальная система отсчета.
Известно, что механическое движение относительно и его характер зависит от выбора системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всех системах отсчета. Например, тела, лежащие на гладком п
Масса. Второй закон Ньютона.
Основная задача динамики заключается в определении характеристик движения тел под действием приложенных к ним сил. Из опыта известно, что под действием силы
Основной закон динамики материальной точки.
Уравнение описывает изменение движения тела конечных размеров под действием силы при отсутствии деформации и если оно
Третий закон Ньютона
Наблюдения и опыты свидетельствуют о том, что механическое действие одного тела на другое является всегда взаимодействием. Если тело 2 действует на тело 1, то тело 1 обязательно противодействует те
Преобразования Галилея
Они позволяют определить кинематические величины при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Возьмем
Принцип относительности Галилея
Ускорение какой-либо точки во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно одинаково:
Сохраняющиеся величины
Любое тело или система тел представляют собой совокупность материальных точек или частиц. Состояние такой системы в некоторый момент времени в механике определяется заданием координат и скоростей в
Центр масс
В любой системе частиц можно найти точку, называемую центром масс
Уравнение движения центра масс.
Основной закон динамики можно записать в иной форме, зная понятие центра масс системы:
Консервативные силы
Если в каждой точке пространства на частицу, помещенную туда, действует сила, говорят, что частица находится в поле сил, например в поле сил тяжести, гравитационной, кулоновской и других сил. Поле
Центральные силы.
Всякое силовое поле вызвано действием определенного тела или системы тел. Сила, действующая на частицу в этом поле об
Потенциальная энергия частицы в силовом поле.
То обстоятельство, что работа консервативной силы (для стационарного поля) зависит только от начального и конечного положений частицы в поле, позволяет ввести важное физическое понятие потенциально
Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля.
Взаимодействие частицы с окружающими телами можно описать двумя способами: с помощью понятия силы или с помощью понятия потенциальной энергии. Первый способ более общий , т.к. он применим и к силам
Кинетическая энергия частицы в силовом поле.
Пусть частица массой движется в силов
Полная механическая энергия частицы.
Известно, что приращение кинетической энергии частицы при перемещении в силовом поле равно элементарной работе всех сил, действующих на частицу:
Закон сохранения механической энергии частицы.
Из выражения следует, что в стационарном поле консервативных сил полная механическая энергия частицы может изменяться
Кинематика.
Поворот тела на некоторый угол можно
Момент импульса частицы. Момент силы.
Кроме энергии и импульса существует ещё одна физическая величина, с которой связан закон сохранения — это момент импульса. Моментом импульса частицы
Момент импульса и момент силы относительно оси.
Возьмем в интересующей нас системе отсчета произвольную неподвижную ось
Закон сохранения момента импульса системы.
Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, на которые действуют также внешние силы и
Таким образом, момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, не изменяется со временем.
Это справедливо относительно любой точки инерциальной системы отсчета: . Моменты импульса отдельных частей системы м
Момент инерции твердого тела.
Рассмотрим твердое тело, которое мож
Уравнение динамики вращения твердого тела.
Уравнение динамики вращения твердого тела можно получить, записав уравнение моментов для твердого тела, вращающегося вокруг произвольной оси
Кинетическая энергия вращающегося тела.
Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, проходящей через него. Разобьем его на частицы с малыми объемами и массами
Работа вращения твердого тела.
Если тело приводится во вращение силой
Центробежная сила инерции
Рассмотрим диск, который вращается вместе с шариком на пружине, надетой на спицу, рис.5.3.
Шарик находится
Сила Кориолиса
При движении тела относительно вращающейся СО, кроме , появляется ещё одна сила-сила Кориолиса или кориолисова сила
Малые колебания
Рассмотрим механическую систему , положение которой может быть определено с помощъю одной величины, например х. В этом случае говорят, что система имеет одну степень свободы.Величиной х может быть
Гармонические колебания.
Уравнение 2-го Закона Нъютона в отсутствие сил трения для квазиупругой силы вида имеет вид:
Математический маятник
Это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити длиною , совершающая колебания в вертикальной плоск
Физический маятник.
Это твердое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной оси, связанной с телом. Ось перпендикулярна рисунку и нап
Затухающие колебания
В реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводят к уменьшению потенциальной энергии системы, и колебания будут затухающими.В простейшем случае
Автоколебания
При затухающих колебаниях энергия системы постепенно уменьшается и колебания прекращаются. Для того, чтобы их сделать незатухающими, необходимо пополнять энергию системы извне в определенные момент
Вынужденные колебания
Если колебательная система, кроме сил сопротивления, подвергается действию внешней периодической силы, изменяющейся по гармоническому закону
Резонанс
Кривая зависимости амплитуды вынужденых колебаний от приводит к тому, что при некоторой определенной для данной систе
Распространение волн в упругой среде.
Если в каком либо месте упругой среды (твёрдой, жидкой, газообразной) поместить источник колебаний, то из-за взаимодействия между частицами колебание будет распространяться в среде от частицы к час
Уравнение плоской и сферической волн.
Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся частицы от ее кординат ,
Волновое уравнение
Уравнение волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым.
Для его установления найдем вторые частные производные по времени и координатам от урав
Новости и инфо для студентов