Вопрос 3 – Действие равномерно распределенной

полосовой нагрузки (плоская задача)

 

По мере увеличения отношения длины площади загружения l к ее ширине задача по определению напряжений все с большим основанием может рассматриваться как плоская (плоская деформация). При бесконечной длине полосы нагрузки l в каждом сечении, перпендикулярном ее продольной оси, будет одинаковая картина напряжений. Обычно рассматривают плоскую задачу, когда l : b ≥ 10. В таком случае определяют три составляющих: нормальные напряжения σ _z , σ _у и касательные напряжения τ _yz . Указанные выше сечения остаются в процессе деформации плоскими (плоская деформация), и, следовательно, τ _ху = τ _хz = 0, а является функцией σ _z и σ _у .

Если во всех точках перпендикулярного продольной оси нагрузки сечения изотропного тела определить σ _z , σ _у и τ _yz соединить точки с одинаковыми значениями каждой из этих величин линиями равных напряжений, то получим своеобразные графики (Рисунок 14). Эти графики показывают, что нормальные напряжения σ _z распространяются на значительную глубину (цифры на линиях указывают долю от нагрузки р), а нормальные напряжения σ_у и касательные напряжения τ _уz – в пределах полутора-двух ширин полосы загружения. По этим графикам, применяя интерполяцию, можно найти значения σ _z , σ _у и τ _yz в любой точке.

Эпюры напряжений (давлений) σ_z по вертикальным и горизонтальным сечениям при разных значениях y и z представлены на рисунке 15. Из рисунка видно, что в вертикальных сечениях напряжения (давления) σ_z с глубиной убывают, а в горизонтальных сечениях напряжения (давления) σ_z будут максимальными по оси полосовой нагрузки. Это свидетельствует о том, что напряжения (давления) с глубиной рассеиваются на все большую площадь.

Рисунок 14 – Линии равных напряжений (изобары) σ_z (а), σ _у (б) и τ _yz (в)

при действии равномерно распределенной полосовой нагрузки

Рисунок 15 – Эпюры давлений по горизонтальным

и вертикальным сечениям

 

Плоское напряженное состояние изотропного тела может быть охарактеризовано главными напряжениями и их направлением.

Рисунок 16 - Схема для расчета напряжений в случае плоской задачи (а);

расположение эллипсов напряжений в основании

при действии полосовой нагрузки (б)

Главные напряжения в любой точке полуплоскости могут быть найдены по выражениям (4.9) и (4.10):

 

σ ₁ = (α + sin α) p / π ; (4.9)

 

σ ₃ = (α - sin α) p / π , (4.10)

 

где α – угол видимости полосы загружения в радианах (Рисунок 16).

 

Наибольшее главное напряжение σ ₁ направлено по биссектрисе угла видимости α. Это дает возможность легко построить эллипсы напряжений (Рисунок 16).