Кафедра теоретической механики и инженерной графики

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ

Имени К.Г.Разумовского

Кафедра теоретической механики и инженерной графики

  Буторин Л.В.  

Содержание

 

Занятие 1………………………………………………………………………4

Занятие 2………………………………………………………………………9

Занятие 3……………………………………………………………………..21

Занятие 4……………………………………………………………………..32

Литература…………………………………………………………………...39

 

Занятие №1

 

(Модуль: «Теоретическая механика»)

 

Тема

Статика твердого тела

 

1.1. Цель занятия

Закрепление знаний по разделу «Статика», полученных на лекциях и приобретение навыков расчета силовых, действующих на звенья механических систем.

 

1.2. Продолжительность занятия 2 часа

 

1.3. Вопросы для подготовки к занятию

1. Дайте определения понятий: твердое тело, механическая система, сила, система сил, равнодействующая сила, момент силы, пара сил, момент пары сил, проекция силы, связь, реакция связи.

2. Сформулируйте аксиомы статики, принцип освобождаемости от связей, теорему о моменте равнодействующей силы. Чему равен модуль и как проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил?

3. Сформулируйте правило определения возможных реакций связей? Приведите примеры.

4. Сформулируйте правило определения модуля и знака момента силы относительно точки.

5. Дайте определения возможных типов систем сил. Как формулируются условия равновесия тела при действии различных систем сил?

6. Назовите принцип и логический порядок решения задач статики.

 

2. Методические рекомендации и примеры решения задач

 

При решении задач статики на определение реакций связей следует придерживаться следующего логического порядка действий.

1. Выбрать с учетом условий задачи объект (тело или систему тел), равновесие которого будет рассматриваться.

2. Построить расчетную схему:

- построить схематический чертеж объекта равновесия, показать на чертеже заданные в условии задачи силы;

- провести оси координат;

- освободить объект равновесия от связей, заменив их действие реакциями. Показать реакции связей на чертеже;

- преобразовать систему сил: а) cилы, не параллельные осям координат, разложить на составляющие, параллельные осям; б) распределенную нагрузку заменить равнодействующей силой.

3. Установить тип системы сил, записать соответствующие условия равновесия и уравнения равновесия. Установить определимость полученной системы уравнений.

4. Решить полученную систему уравнений. Выполнить анализ результатов решения.

 

Примеры решения задач

Пример 1. Рассчитать реакции опор балки, нагруженной согласно схеме, приведенной на рис.1,а, при F =2кН, q = 2 кН /м , a = 2 м.

 

Рис.1

 

Решение:

 

1. Рассмотрим равновесие балки АВС.

2. Построим расчетную схему.

Примем систему координат АХУ, ось У направим параллельно линиям действия заданных сил.

Покажем на схеме реакции связей балки. Направление реакции неподвижной шарнирной опоры А не известно, поэтому изображаем эту реакцию в виде двух составляющих R_AX и R_АY. Реакция опоры В направлена перпендикулярно плоскости опоры, обозначим эту реакцию R_BY. Распределенную нагрузку заменим равнодействующей силой

Линия действия силы Q проходит через центр тяжести эпюры распределенной нагрузки.

Расчетная схема приведена на рис.1, б.

3. На балку действует плоская произвольная система сил. Такой системе соответствуют три условия равновесия При трех неизвестных реакциях R_AX, R_АY, R_BY задача статически определима.

Составим уравнения равновесия балки в соответствии с действующей системой сил

F_ix=0; R_AX=0, (1)

F_iy=0; R_AY – Q +R_BY – F= 0, (2)

М_A (F_i)=0; – Q∙a + R_BY∙2a – F∙3a =0. (3)

Решение уравнений.

Из уравнения (2) RAY = Q – RBY + F = 8 –7 + 2 = 3кН. Ответ: RAX=0, RAY=3кН, RBY = 7кН. Направление действия реакций связей соответствует показанному на расчетной схеме, о чем свидетельствуют положительные…

Рис.2.1

Решение:

 

1. Рассмотрим равновесие шарнира В

2. Расчетная схема.

На шарнир В действуют силы: натяжение троса (F), реакция стержня АВ (R_АВ), реакция стержня ВС (R_ВС). Схема сил приведена на рис.2.2.

 

Рис. 2.2

 

 

3. На шарнир В действует плоская сходящаяся система сил. Такой системе сил соответствуют два условия равновесия.

4. Уравнения равновесия

1) ;

2) ;

5. Решение уравнений.

В оба уравнения входят по две неизвестных величины. Для исключения одного неизвестного умножим первое уравнение на sin30^O , второе уравнение на cos30^O и сложим левые и правые части уравнений

sin30^O

cos 30^O

------------------------------------------------------------------

R_BC cos60^O sin30^O (3)

Из уравнения (3)

 

Значение реакции R_AB определим из уравнения (1)

R_AB =

Ответ: кН

кН

Реакция R_ВС направлена противоположно показанному на расчетной схеме, о чем свидетельствует знак минус..

 

Индивидуальные задания

 

Задача 1. Определить реакции связей балки АВ, нагруженной согласно схеме, приведенной на рис.3, при F =3кН, α=30⁰, q = 2 кН /м , М=2кНм, a = 1 м.

 

 

 

Рис.3

 

Задача 2. Определить реакции связей рамы, нагруженной согласно схеме, приведенной на рис.4, при F =2кН, α=30⁰, q = 2 кН /м , a = 2 м.

 

Рис.4

 

Задача 3. Определить силы, нагружающие стержни СA и CB кронштейна, удерживающего груз Д весом F=10 кН (рис.5).

 

 

Рис.5

 

Отчет по практическому занятию

 

Студент отчитывается по результатам решения задач индивидуального задания.

 

Занятие №2

(Модуль: «Теоретическая механика»)

 

Тема

Решение задач кинематики и динамики твердого тела

 

1.1. Цель занятия

Закрепление знаний по разделам «Кинематика» и «Динамика», полученных на лекциях, и приобретение навыков решения задач по этим темам.

 

1.2. Продолжительность занятия 2 час

 

1.3. Вопросы для подготовки к занятию

1. Дайте определение основного содержания раздела «Кинематика».

2. Дайте определение понятий: механическое движение, траектория точки, скорость и ускорение точки.

3. Назовите основные системы отсчета положения точки. Как задается движение точки в этих системах отсчета? Приведите формулы, определяющие траекторию, скорость, ускорение точки в каждой из систем отсчета.

4. Дайте определения поступательного, вращательного вокруг неподвижной оси и плоскопараллельного движения твердых тел. По каким формулам определяются кинематические характеристики тел и их точек при этих типах движения?

5. Сформулируйте логический порядок определения кинематических характеристик механических систем, включающих в свой состав твердые и гибкие тела.

6.Дайте определения понятий динамики: материальная точка, механическая система, масса материальной точки, масса механической системы, центр масс механической системы, момент инерции точки и твердого тела, импульс силы, работа силы, мощность, количество движения, кинетическая энергия.

7. Сформулируйте аксиомы динамики.

8. В чем заключаются основные задачи динамики? Порядок решения основных задач с помощью дифференциальных уравнений.

9. Сформулируйте теоремы об изменении количества движения, об изменении кинетической энергии. Для каких исходных условий удобно применение этих теорем?

10. Сформулируйте принцип Даламбера. Для решения каких задач применяют указанный принцип?

 

Методические рекомендации и примеры решения задач

a) При определении кинематических характеристик точки по заданному закону ее движения необходимо:

- определить систему отсчета, в которой задано движение;

- записать в общем виде формулы, определяющие искомые кинематические характеристики точки;

- определить значение кинематических характеристик по заданному закону движения точки.

При решении задач по определению кинематических характеристик тела и его точек необходимо:

- определить тип движения тела;

- записать в общем виде формулы искомых кинематических характеристик;

- определить значение кинематических характеристик по заданному закону движения тела.

При определении кинематических характеристик механической системы, включающей твердые и гибкие тела:

- построить схему механической системы;

- определить типы движения тел, входящих в систему. Отметить точки контакта, в которых движение от одного тела передается другому телу;

- определить кинематические характеристики точки тела, движение которого задано. Показать найденные кинематические характеристики на схеме;

- определить кинематические характеристики других тел и их точек в той последовательности, в которой передается движение. Необходимо учитывать, что при передаче движения от одного тела другому без скольжения, точки контакта, принадлежащие одному и другому телу, имеют одинаковые скорости.

б) При решении задач динамики точки следует придерживаться следующего порядка действий:

- по условиям задачи определить к первому или второму основному типу относится задача;

- проанализировать условия задачи и выбрать метод решения: с помощью дифференциальных уравнения, общих терем или других принципов механики;

- построить расчетную схему: изобразить на чертеже рассматриваемый объект в промежуточном положении на траектории, обозначить систему координат, показать действующие на объект силы;

- записать в общем (алгебраическом) виде формулу выбранного метода решения;

- составить и решить уравнение (или систему уравнений) в соответствии с действующей системой сил.

Примеры решения задач

Пример 1.Движение точки М в плоскости ХУ задано уравнениями:

X = 4sin, (1)

Y = 3cos, (2)

где Х и У выражены в сантиметрах, t - в секундах.
Найти и изобразить на чертеже траекторию, скорость и ускорение точки в момент времени t₁ = 1с.

Решение:

 

1. Движение точки задано в координатной системе отсчета.

2. Уравнение траектории точки в координатах ХУ имеет вид Y=f(X). Чтобы получить указанную зависимость, следует исключить время t из уравнений движения. Так как параметр t входит в аргументы тригонометрических функций, целесообразно исключить параметр t в составе тригонометрических функций.

Выразим из уравнений (1),(2) значения синуса и косинуса через координаты Х,У.

Sin=; (3)

Подставим найденные значения тригонометрических функций (3) в тригонометрическое тождество вида Sin² α +Cos² α=1

(4)

Полученное выражение (4) является уравнением эллипса с полуосями по оси Х = 4 см., по оси У =3 см.

График траектории построим по характерным точкам (рис.1).

 

Рис. 1

 

Положение точки на траектории при t₁=1с определим по значениям координат точки

см.

3. Скорость точки при координатном способе задания определяется по формулам

(5)

где , см/с;

, см/с

, см/с

4. Ускорение точки

, (6)

где

,см/с²

, см/с²

 

Ответ: уравнение траектории , V=4 π см/c, a= 3 π² см/с²

 

Пример 2. Груз 1 движется согласно уравнению х= kt², где k постоянное число. Определить в алгебраической форме скорость точки С и угловую скорость катка 3. Каток перемещается по неподвижной направляющей без скольжения ( рис.2.1).

 

Рис.2.1

 

Решение:

 

1. Расчетная схема механической система приведена на рис.2.2

 

 

Рис.2.2

2. Тела совершают движение: груз 1- поступательное; шкив 2 – вращательное вокруг неподвижной оси; каток 3 – плоско-параллельное.

3. Скорость груза 1, совершающего поступательное движение

4. Скорость точки А шкива 2

V_A=V₁=2kt

5. Угловая скорость шкива 2

6. Скорость точки В шкива 2

7. Скорость точки D катка 3

8. Угловая скорость катка 3, совершающего плоское движение

Точка Р – мгновенный центр вращения.

 

9. Скорость точки С

Ответ:

Пример 3. Движение свободной материальной точки весом 2 г выражается уравнениями:

х = 3 cos 2 p t, y = 4 sin p t,

где t выражено в секундах, х,у - в метрах.

Определить проекции силы, действующей на точку, в зависимости от ее координат.

Решение:

 

1.Задача относится к первому основному типу типу задач динамики: определение действующих сил при заданном законе движения точки.

2. Решим задачу на основании основного закона динамики

F_х= m a_х , F_у= m a_у , (1)

где m – масса точки, a_х , a_у – проекции ускорения точки на оси х, у.

3. Находим проекции ускорения точки на оси координат путем дифференцирования уравнений движения

V_x = = - 6 p sin 2 p t V_y = = 4 p cos p t

a_x = = - 12 p² cos p t = - 4 p² x , a_y = = - 4 p² sin p t = - p² y

На основании уравнений (1) находим проекции силы, действующей на точку, в зависимости от ее координат.

= m a_x =

F_y = m a_y =

 

Рис.3

 

Ответ: F_x= - 0,008х,Н, F_у= - 0,002у,Н.

 

Пример 4. Тело массой m начинает двигаться под действием силы тяжести по негладкой плоскости наклоненной под углом l к горизонту. Коэффициент трения скольжения равен ¦.

Определить скорость тела через t секунд после начала движения.

Решение:

 

1. Задача относится ко второму основному типу: определение кинематических характеристик при заданных действующих силах. Движение тела будем рассматривать как движение материальной точки, так как оно совершает поступательное движение. Решим задачу с применением дифференциального уравнения вида

(1)

2. Изображаем тело в промежуточном положении на траектории. Ось координат х направляем по линии движения груза, начало координат помещаем в точке, соответствующей начальному положению тела (Х₀=0). Показываем действующие на тело внешние силы (рис.4): силу тяжести , нормальную реакцию плоскости силу трения .

Силу тяжести разложим на составляющие, параллельные осям координат.

 

 

 

Рис.4

 

3. Составим дифференциальное уравнение движения груза в соответствии с выражением (1)

(2)

Сила трения . Cилу N определим из условия: при перемещении тела его координата У не изменяется, следовательно сумма проекций сил на ось У равна нулю

. ƒPcosλ

Уравнение (2) примет вид

(3)

Решим уравнение (2) методом разделения переменных

(4)

Проинтегрируем выражение (4)

 

(5)

 

Постоянную интегрирования С₁ определим из начальных условий: t=0, v_x=0. После подстановки этих значений в уравнение (5), получим С₁=0.

 

Ответ:

 

 

Пример 5. Решить пример 4 с применением общей теоремы динамики.

 

Решение:

 

1. Задача относится ко второму основному типу задач динамики.

2. Анализ условий задачи и выбор метода решения.

Из условий задачи известны: начальная скорость тела, действующие на тело силы (сила тяжести, сила трения), время действия сил (время движения тела). Движение тела будем рассматривать, как движение материальной точки, так как оно совершает поступательное движение. При этих условиях конечную скорость тела удобно определить на основании теоремы об изменении количества движения материальной точки.

(1)

где mV –количество движения точки в конечный момент времени;

mV₀–количество движения точки в начальный момент времени;

F_kּ t – импульс k-той силы.

2. Изображаем движущееся тело в промежуточном положении на траектории и показываем действующие на него внешние силы (рис.5): силу тяжести , нормальную реакцию плоскости силу трения. Сила трения равна произведению коэффициента трения на силу нормального давления . Силу нормального давления определим из условия: координата У при движении тела не изменяется, следовательно .

 

 

 

 

Рис.5

Запишем равенство (1) в проекции на ось Х

(2)

После подставки в уравнение (2) значений p=mg, v₀ = 0 получим выражение, определяющее скорость точки

Ответ:

 

Пример 6. Вертикальный вал AВ (рис.6), вращающийся с постоянной угловой ско­ростью , закреплен в точке А при помощи подпятника, а в точке В - при помощи цилиндрического подшипника. В точке Д к валу под углом жестко прикреплен однородный стержень с точечной массой m = 2 кг на конце стержня в точке Е. Длина стержня = 0,6м. Определить реакции опор А и В, если АД = а, ДВ = 2а, , а = 0,5 м. Массой стержней пренебречь.

 

Решение:

 

1. Задача относится к первому основному типу задач динамики: задано движение тела, требуется определить силы, действующие на тело.

2. Анализ условий задачи и выбор метода решения.

Из условий задачи известны размеры тела и скорость его вращения, следовательно, могут быть определены его кинематические характеристики. На тело действует сила тяжести груза и реакции связей А и В. При этих условиях реакции связей удобно определять на основании принципа Даламбера

,

где - сумма внешних сил, -сумма сил инерции.

3. Расчетная схема.

Покажем на схеме (рис.6) активные силы , реакции связей и силу инерции груза: - сила тяжести точечной массы; - составляющие реакции опоры А; - реакция опоры В, = сила инерции груза.

 

 

Рис.6

4. Составим уравнения равновесия

; , (1)

; , (2)

; . (3)

5. Решим полученную систему уравнений.

Сила тяжести груза .

Сила инерции груза R_И=ma. Вал вращается с постоянной скоростью, поэтому тангенциальное ускорение груза равно нулю, а нормальное ускорение равно , где - кратчайшее расстояние от груза до оси вращения. Ускорение направлено к оси вращения, сила инерции – от оси вращения. Значение силы инерции

Из уравнения (3):

Из уравнения (1):

Из уравнения (2):

Ответ: .

Знак минус в значении реакций означает, что эти реакции имеют направление, противоположное показанному на рис.6.

Индивидуальные задания

Задача 1.Движение точки М в плоскости ХУ задано уравнениями

X = 2t+1, (1) ; Y = 3t² , (2),

где Х и У выражены в метрах, t - в секундах.
Найти и изобразить траекторию точки , определить скорость, касательное, нормальное и полное ускорение в момент времени t₁, а так же радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Показать на чертеже поло­жение точки в момент времени t₁ = 1с.

Задача 2. Механизм состоит из колеса 1 с радиусом R₁=0,1м ,ступенчатого колеса 2 с радиусами R₂=0,2м , r₂=0,1м и колеса 3 с радиусом R₃=0,3м (рис.7). Колеса находятся в зацеплении или связанны гибкой передачей.

По заданному уравнению вращательного движения колеса 1 φ₁ = 0,3(2t² +5t) определить скорости вращения колес 1 и 2, а также полное ускорение точки М в момент t=2с.

 

Рис.7

 

 

Задача 3.Груз 1 массой m находится внутри трубки 2 и связан с осью вращения нитью длиной L (рис.8). Трубка вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω. Определить натяжение нити.

 

 

Рис.8

Задача 4. На тело массой m, находящегося на горизонтальной поверхности, действует переменная по модулю сила F=kt, направленная параллельно поверхности (k – постоянная величина). Коэффициент трения скольжения ƒ.

Определить закон движения тела.

Задача 5. Санки, пущенные скользить по горизонтальной поверхности льда, останавливаются через 10 секунд.

Найти начальную скорость санок, если коэффициент трения f = 0,07.

Задача 6.Вертикальный вал AВ (рис.9), вращающийся с постоянной угловой ско­ростью , закреплен в точке А при помощи подпятника, а в точке В - при помощи цилиндрического подшипника. В точках С и Д к валу жестко прикреплены стержни с точечными массами m₁ = 2 кг, m₂=3кг на концах стержней. Длины стержней = 0,3м, = 0,6м. Определить реакции опор А и В, если АС=СД =ДВ= а = 0,5 м. Массой вала и стержней пренебречь.

 

 

 

 

Рис.9

 

Отчет по практическому занятию

 

Студент отчитывается по результатам решения задач индивидуального задания

 

 

Занятие № 3

 

Модуль: «Сопротивление материалов»

Тема

Построение эпюр внутренних силовых факторов, напряжений, перемещений. Выполнение проектного расчета элементов конструкций из условия обеспечения прочности, жесткости.

 

1.1. Цель занятия

Закрепление знаний по разделу «Сопротивление материалов», полученных на лекциях и приобретение навыков расчета механических систем.

 

1.2. Продолжительность занятия 4 часа

 

1.3. Вопросы для подготовки к занятию

 

1. Дайте определения понятий: прочность, жесткость, устойчивость, внешние силы, внутренние силы.

2. Что называют внутренними силовыми факторами?

3. Сформулируйте принцип определения внутренних силовых факторов методом сечений.

4. Дайте определение понятия « эпюра внутреннего силового фактора». Поясните методику построения эпюр.

5. Дайте определение понятия напряжение. Приведите формулы, определяющие напряжения при растяжении, сдвиге, кручении, изгибе.

Сформулируйте закон Гука.

Приведите формулы, определяющие перемещение сечения тела при растяжении (сжатии).

Методические рекомендации и примеры решения задач

 

Внутренние силовые факторы определяют методом сечений. Метод заключается в следующем: мысленно отсекают часть тела, находящегося в равновесии, произвольно проведенным сечением. Действие «оставшейся» части тела на «отсеченную» заменяют реакциями, которые фактически являются внутренними силами и моментами (внутренними силовыми факторами). Рассматривают равновесие «отсеченной» части тела. Из уравнений равновесия определяют значения внутренних силовых факторов как функцию координаты сечения.

По полученным выражениям строят эпюры (графики изменения внутренних силовых факторов в зависимости от координаты сечения).

В зависимости от вида внешней нагрузки тело может иметь несколько участков нагружения. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, пары сил или с которыми совпадают границы действия распределенной нагрузки. В этом случае исследование внутренних силовых факторов проводят отдельно для каждого участка нагружения.

При расчетах необходимо использовать правило знаков внутренних силовых факторов, принятое в сопротивлении материалов:

- нормальная сила в сечении тела считается положительной, если она действует на растяжение «отсеченной» части тела;

- поперечная сила считается положительной, если она оказывает вращающее действие на «отсеченную» часть тела по ходу часовой стрелки;

- изгибающий момент считается положительным, если изгиб «отсеченной» части тела происходит выпуклостью вниз;

- крутящий момент считается положительным, если при виде на сечение его действие кажется происходящим против хода часовой стрелки.

Логический порядок действий при решении задач сопротивления материалов на определение внутренних силовых факторов и построения их эпюр.

1. Определить реакции связей рассматриваемого тела. (Порядок действий см. занятие №1.)

2. Построить расчетную схему для определения внутренних силовых факторов: изобразить рассматриваемое тело, показать действие заданных внешних сил и реакций в направлении их фактического действия, провести оси координат.

3. Определить участки нагружения рассматриваемого тела.

4. Провести поперечное сечение в произвольно выбранном положении на участке нагружения тела. Обозначить координату сечения (размер «отсеченной» части тела).

Построить расчетную схему «отсеченной» части тела: показать действующие на «отсеченную» часть заданные внешние силы, действие «оставшейся» части тела на «отсеченную» заменить реакциями.

5. Составить и решить в алгебраической форме уравнения равновесия «отсеченной» части тела.

6. Построить эпюры внутренних силовых факторов на рассматриваемом участке нагружения по найденным в п.5 выражениям.

7. Действия по пунктам 4,5,6 выполнить для других участков нагружения.

 

Примеры решения задач

 

Пример 1. Определить, исходя из условий прочности на срез и смятие, необходимый диаметр d болта в соединении, показанном на рис.1, если мм; мм; допускаемые напряжения: МПа; МПа, сила F = 120 кН. Болт установлен в отверстие без зазора.

Рис.1

 

Решение:

 

1. Схема действия сил показана на рис.1.

2. Расчет на срез.

Условие прочности на срез , (1)

где , (2)

Болт работает на срез одновременно по двум сечениям – «1-1» и «2-2», поэтому общая площадь среза

. (3)

Решая выражения (1),(2),(3) совместно относительно параметра d получим

мм.

 

3. Расчет на смятие.

Условие прочности по напряжениям смятия

. (4)

Площадь смятия равна A_CM =d δ. (5)

Из уравнен6ий (4),(5) .

Опасной в отношении смятия является деталь, площадь поверхности смятия которой меньше. Согласно данным задачи , поэтому опасной в отношении смятия является деталь №2 с площадью поверхности смятия .

Значение диаметра болта из условия прочности по напряжениям смятия

мм.

4. Выбор стандартного болта.

Из двух значений диаметра d, найденных по условиям прочности на срез и смятие, следует принять большее, т. е. мм. Согласно стандарту это болт с диаметром не нарезанной части 28 мм и резьбой М27.

 

Пример 2. Для заданной схемы нагружения вала (рис.2):

- построить эпюры крутящих моментов;

- определить диаметр вала из условия прочности по крутящему моменту;

- определить углы закручивания вала.

Исходные данные для расчета: M = 50 , МПа, м.

 

 

 

Рис2

 

1. По характеру внешней нагрузки определяем участки нагружения балки: первый участок – АВ, второй – ВС, третий – CD.

Определение внутренних силовых факторов и построение их эпюр на участках нагружения балки.

Проводим поперечное сечение 1-1 на произвольно выбранном расстоянии Х1 от сечения А, (). Строим расчетную схему «отсеченной» части балки (рис.2.1),…    

Рис.2.1

Уравнение равновесия моментов

Из уравнения равновесия

Согласно полученному выражению момент сил сопротивления на первом участке не зависит от координаты Х1, эпюра М1 – прямая линия, параллельная оси Х ,… Участок ВС Проводим поперечное сечение 2-2 на произвольно выбранном расстоянии Х2 от сечения А (). Строим расчетную схему…

Рис.2.2

Уравнение равновесия «отсеченной» части балки

Из уравнения равновесия

Эпюра момента М2 – прямая линия, параллельная оси Х , (рис.2). Участок СД Проводим поперечное сечение 3-3 на произвольно выбранном расстоянии Х3 от сечения А (). Строим расчетную схему…

Рис.2.3

Уравнение равновесия «отсеченной» части балки

Из уравнения равновесия

Эпюра момента М3 – прямая линия, параллельная оси Х, (рис.2). 3. Определяем опасное сечение вала. Вал имеет постоянное поперечное сечение,… .

Рис.3.2

Уравнения равновесия балки

 

 

Из уравнения 1) .

Из уравнения 3) .

Из уравнения 2) .

 

2. Строим расчетную схему для определения внутренних силовых факторов: заданные внешние силы и реакции связей показываем в направлении их фактического действия (рис.3.3).

Согласно расчетной схеме на балку действуют силы, приложенные в сечениях А,В,С, следовательно балка имеет участки нагружения: АВ и ВС.

 

Рис.3.3

 

3. Определение внутренних силовых факторов и построение эпюр на участке ВС.

Проводим поперечное сечение 1-1 на произвольно выбранном расстоянии Х₁ от сечения С, (). Строим расчетную схему «отсеченной» части балки, (рис.3.4): действие «оставшейся» части на «отсеченную» заменяем реакциями, действие распределенной нагрузки на «отсеченную» часть заменяем равнодействующей силой R=qX₁.

 

 

 

Рис.3.4

Уравнения равновесия «отсеченной» части балки

Из уравнения 1) .

Из уравнения 2)

Из уравнения 3) .

Значение силы Q₁ зависит от координаты Х₁ линейно - график прямая линия. Определим значение силы Q при двух значениях координаты Х₁ и проведем прямую, проходящую через эти точки

Х₁=0; ;

Х₁=a; .

 

Значение момента М₁ имеет квадратичную зависимость от координаты Х₁ – график изменения момента парабола. Для построения графика определим значение момента при двух значениях координаты Х₁ и проведем параболу, проходящую через эти точки, обращенную выпуклостью против направления действия распределенной нагрузки

Х₁=0; =0

Х₁=a;

Определение внутренних силовых факторов и построение эпюр на участке АВ.

      Рис.3.5

Индивидуальные задания

 

Задача 1. Определить длину шва сварного соединения в нахлестку двух стальных листов толщиной d= 5,0 мм, шириной а = 100 мм, растягиваемых силами F = 25 кН.

Рис.4

Задача 2. Два стальных листа соединены заклепками (рис.5). Определить число заклепок, на срез = 80 МПа, диаметр заклепки d_з = 8,0 мм, сила сдвига Q = 35 кН. Проверить прочность заклепки смятие, если толщина листа h = 7,0 мм.

 

 

 

Рис.5

Задача 3. Для заданной схемы нагружения стержня (рис.6) осевыми нагрузками проверить опасный участок на прочность, если задано: величина нагрузки F = 10,0 кН, площадь поперечного сечения участка стержня А = 100 мм²; допускаемое напряжение [s]= 170 МПа, модуль упругости при растяжении-сжатии Е = 2×10⁵ МПа, длина участка стержня а = 0,5 м.

 

 

 

Рис.6

 

Задача 4

Для заданной схемы нагружения вала (рис.7) построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания; найти опасное сечение и определить диаметр вала…      

Отчет по практическому занятию

Студент отчитывается по результатам решения задач индивидуального задания.

 

 

Занятие № 4

 

Модуль: «Детали машин»

Тема

 

Методы расчета кинематических, силовых и конструктивных параметров механизмов машин.

1.1. Цель занятия

Закрепление знаний по разделу «Детали машин», полученных на лекциях, и приобретение навыков проектного расчета механических систем.

 

1.2. Продолжительность занятия 2 часа

 

1.3. Вопросы для подготовки к занятию

1. Дайте определения понятий: машина, механизм, деталь.

2. Сформулируйте основные требования, предъявляемые к машинам.

3. Как определяют потребную мощность двигателя?

4.Дайте определения передаточного отношения и передаточного числа передачи. Сформулируйте порядок кинематического расчета передач вращательного движения.

5. От каких параметров зависит передаточное число в зубчатых и червячных передачах?

6. Сформулируйте принцип силового расчета передач вращательного движения.

7. Какие основные конструктивные параметры зубчатых колёс? От каких факторов зависят ,в основном, параметры зубчатых колёс?

8. Как определяют диаметры валов?

 

Методические рекомендации и примеры решения задач

 

При проектировании машин решают следующие основные задачи:

- обеспечение потребной мощности на рабочих органах машины;

- обеспечение потребных кинематических характеристик рабочих органов машины;

- обеспечение работоспособности машина в пределах срока службы.

Потребная мощность на рабочих органах машины обеспечивается выбором мощности двигателя с учетом потерь при передаче движения от вала двигателя к рабочим органам машины. Потери мощности характеризуются коэффициентом полезного действия (КПД). При передаче движения через последовательно соединенные механизмы КПД этих механизмов перемножаются.

Основной кинематической характеристикой передаточных механизмов вращательного движения является передаточное число, которое показывает во сколько раз изменяется скорость вращения выходного вала по сравнению со скоростью входного вала.

Работоспособность машины зависит от многих факторов. На этапе предварительного проектирования конструктивные параметры деталей определяют из условия их прочности. Расчетные формулы и типоразмеры многих деталей и устройств стандартизированы, поэтому при их расчете следует пользоваться справочной литературой.

 

Пример 1. Определить передаточное число редуктора приводной станции ленточного конвейера (рис.1), если скорость ленты V=0,85 м/с, диаметр барабана D_Б=350 мм, частота вращения вала электродвигателя n_дв=940 об/мин. Распределить передаточное число по ступеням передачи редуктора с учетом рекомендаций:

- для ступеней передачи принять стандартные значения передаточных чисел;

- передаточное число тихоходной ступени принять в меньше передаточного числа быстроходной ступени.

При принятых значениях передаточных чисел определить угловые скорости валов редуктора.

 

Рис.1

 

Решение:

 

Передаточное число приводной станции

Угловая скорость вала двигателя

Угловая скорость вала барабана

С учетом найденных значений угловых скоростей

98/4,9=20

Примем стандартное значение передаточного числа первой ступени U₁=5, тогда передаточное число второй ступени U₂=U/U₁=20/5=4

Проверяем отношение передаточных чисел U₁/U₂=5/4=1,25, что соответствует рекомендации.

Угловые скорости валов редуктора

 

Ответ: u₁=5; u₂=4;

Пример 2. Для приводной станции ленточного конвейера, рассмотренного в примере №1 (рис.1) по заданной мощности на валу барабана Р_Б=1,5кВт и найденным при решении задачи №1 значениям угловых скоростей определить потребную мощность на валу двигателя, мощность и крутящие моменты на валах редуктора.

 

Решение:

 

1. Определим значение потребной мощности на валу двигателя с учетом КПД передачи

Р_ТР=Р_Б/η_ПР,

где: ;

η_М= 0,985 – КПД муфты;

η_ПП=0,99 – КПД пары подшипников;

η_ЗЗ= 0,98 – КПД зубчатого зацепления.

.

Р_ТР=1,8/0,9=2кВт

2. Определим мощность на валах редуктора

3. Определим крутящие моменты на валах привода

Т₁=Р₁/ω₁=1,97/98=0,020 kH/м=20 Н/м

Т₂=р₁/ ω₂=1,91/19,6 =0,097 kH/м=97 Н/м

Т₃=Р₂/ ω₃=1,835/4,9= 0,374 kH/м=374 Н/м

 

Ответ: P₁=1,97 kBm; P₂=1,91 kBm; P₃=1,835 kBm; T₁=20 Н/м ; T₂=97 Н/м ;T₃=374 Н/м.

Пример 3.Определить основные геометрические параметры зубчатой цилиндрической косозубой пары по следующим исходным данным: допускаемое контактное напряжение материала зубчатых колес s_H = 410 МПа, крутящий момент на валу колеса Т₂ =290 Нм, передаточное число зубчатой пары u = 4.

Решение:

Примем коэффициент долговечности для длительно работающей передачи К_HL=1, коэффициент неравномерности нагрузки К_Hb =1.25, коэффициент ширины зубчатого венца колеса y_ва=0.4, предварительное значение угла наклона зубьев b=10^о.

Межосевое расстояние зубчатой пары из условия контактной прочности равно

.

Примем стандартное значение a_{w = 160 мм.}

Значение нормального модуля по рекомендациям m=(0.01 …0.02)a_w = =(0.01…0.02)160 =(1.6…3.2)мм Примем стандартное значение m=2мм.

Число зубьев шестерни

Число зубьев колеса

Фактический угол наклона зубьев

Угол b =14^о24^/

Диаметры делительных окружностей

Диаметры окружностей вершин зубьев

Диаметры окружностей впадин

Ширина венца зубчатого колеса и шестерни

,

примем

Ответ: a_w=160 мм, d₁=64мм, d₂ = 256мм, d_a1=68мм, d_a2260мм, d_f1=59мм, d_f2=251мм, b₁=70мм, b₂=64мм, m=2мм,b=14^o24^/.

 

Пример 4. Выполнить предварительный проектный расчет вала зубчатого колеса по следующим исходным данным: крутящий момент на валу Т=290 Нм, допускаемое напряжение на кручение принять, вал ступенчатого типа.

Решение:

1. Диаметр выходного конца вала определяем по крутящему моменту с учетом допускаемого напряжения на кручение

.

2. Диаметр вала под манжетой

, примем .

3. Диаметр вала под подшипниками

.

Внутренние посадочные диаметры подшипников кратны пяти, поэтому принимаем диаметр вала d_п=30мм.

4. Диаметр вала под колесом

d_к=d_п+(4…6)=30+(4…6)=(34…36)мм, принимаем d_к=36мм.

 

 

Индивидуальные задания

 

Задача 1.Привод к шнеку осуществляется от электродвигателя через двухступенчатый цилиндрический зубчатый редуктор и открытую коническую зубчатую передачу (см. рис.2). Найти передаточные числа редуктора, конической передачи и общее; определить угловую скорость ω₄ вала шнека; если ω₁ = 98,2 рад/с; Z₁ = 20, Z_е = 118; Z₃ = 20, Z₄ = 106, Z₅ = 20, Z₆ = 80.

 

 

 

 

Рис.2

 

Задача 2.На рис.3 показана кинематическая схема лебедки. Опреде­лить передаточное число червячного редуктора, установить число заходов червяка и число зубьев червячного колеса, если скорость наматывания каната v = 0,33 м/с; диаметр барабана D_б = 0,385 м; угловая скорость вала электро­двигателя ω =74,2 рад/с.

 

Рис.3

 

Задача 3.Для прямозубой цилиндрической зубчатой пере­дачи (рис.4) известно: a_w = 200 мм; m = 4; U = 4; Z₁ = 20.

Определить основные размеры зубчатых колес, а также угловую скорость ω₂ колеса, если угловая скорость шестерни ω₁=100 рад/с.

 

 

Рис.4

Задача 4Прямозубая передача (рис4) имеет следую­щие параметры: Z₁ = 18; Z₂ = 90; d_a1 = 100 мм. Найти модуль m межосевое расстояние а_w.

 

Задача 5.Выполнить предварительный проектный расчет вала зубчатого колеса цилиндрического редуктора по следующим исходным данным: крутящий момент на валу Т=290 Нм, допускаемое напряжение на кручение принять, вал ступенчатого типа.

 

Список рекомендуемой литературы

Основная:

1. Яблонский А.А., Никифоров В.М. Теоретическая механика.- М.: Высшая школа, 2006.

2. Яковенко Г.Н. Краткий курс теоретической механики. .- М.: Бином. Лаборатория знаний, 2006.

3. Аркуша А.И. Техническая механика. . - М.: Высшая школа, 2008.

4. Вольмир А.С., Григорьев Ю.П., Станкевич А.И. Сопротивление материалов : Изд-во: Дрофа,2007.

5. Межецкий Г.Д., Загребин Г.Г., Решетник Н.Н. и др. Сопротивление материалов : Изд-во: Дашков и Ко, 2008.

6. Михайлов А.М. Сопротивление материалов : Изд-во Академия. 2009.

7. Подскребко М.Д. Сопротивление материалов. Практикум по решению задач. - М.: Высшая школа, 2009.

8. Копнов В.А., Кривошапко С.Н. Сопротивление материалов. Руководство для решения задач и выполнения лабораторных и расчетно-графических работ. - М.: Высшая школа, 2009.

9. Сапунов В.Т. Классический курс сопротивления материалов в решениях задач. Изд-во: ЛКИ, 2008.

10. Иванов М.Н., Финогенов В.А. Детали машин. - М.: Высшая школа, 2007.

11. Вагнер В.А.,Звездаков В.П., Тюняев А.В. и др. Детали машин. - М.: Машиностроение, 2007.

12. Чернилевский Д.В. Детали машин и основы конструирования. М.: Машиностроение, 2006.

13. Дунаев П.Ф., Леликов О.П. Конструирование узлов и деталей машин. М.: Машиностроение, 2006.

14. Куклин Н.С., Куклина Г.С., Житков В.К. Детали машин. - М.: Высшая школа, 2007.

15. Вереина Л.И. Техническая механика: Изд-во Академия. 2008.

Дополнительная:

1. Детали машин. Учебно-практическое пособие для студентов специальностей 1706 и 2713 п.ф.о. и с.ф.о. 3 и 4 курса. - М.: МГУТУ, 2009, 60 с. Изд. № 4980.

2. Балакин Ю.А., Буторин Л.В. Детали машин. Рабочая программа, методические документы, тематика курсовых проектов для студентов спец. 290601 , 260602 п.ф.о. и с.ф.о. М.: МГУТУ, 2009, 32 с. Изд. № 5056.

3. Дунаев П.Ф., Леликова О.П. Детали машин. Курсовое проектирование. М.: Высшая школа, 2006. 399 с.

4. Шейнблит А.Е. Курсовое проектирование деталей машин. М.: Высшая школа, 2006. 432 с.

 

 

 

 

Буторин Леонид Васильевич

 

МЕХАНИКА

 

Практикум для студентов специальностей 260201,260202,260203,260204,260401,260504,260302, 260501 заочной формы обучения

 

 

Подписано к печати:

 

Тираж:

 

Заказ: