Кинематика точки

Способы задания движения точки

Задать движение точки - значит задать изменение ее положения по отношению к выбранной системе отсчета. Существует три основных системы отсчета: векторная, координатная, естественная. Соответственно возможны три способа задания движения точки.

В векторной системе положение точки относительно начала отсчета задается радиус-вектором (рис.1.19). Закон движения

Положение точки в системе координат OXYZ задается тремя координатами X,Y,Z (рис.1.20). Закон движения – x = x( t ), y = y( t ), z = z( t ).

Положение точки в естественной системе отсчета задается расстоянием S от начала отсчета до этой точки вдоль траектории (рис.1.21). Закон движения - s = s( t ).

 

 

Рис.1.19 Рис. 1.20 Рис.1.21

 

Определение траектории точки

В векторной системе отсчета траектория описывается выражением

В координатной системе отсчета траектория описывается выражениями z = f (x,y) - в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.

В естественной системе отсчета траектория задается.

Определение скорости точки

Мгновенное значение скорости точки равно производной по времени от перемещения точки. Вектор скорости направлен по касательной к траектории.

Скорость в векторной системе отсчета , (1.10)

 

Скорость в координатной системе ; ; . (1.11)

Скорость в естественной системе отсчета V= (1.12)

Определение ускорения точки

Мгновенное значение ускорения точки равно производной по времени от скорости точки.

Ускорение в векторной системе отсчета , (1.13)

Ускорение в координатной системе a = ,

a_x =; a_y =; a_z =

Ускорение в естественной системе отсчета , (1.15)

где a_t=- тангенциальное ускорение;

a_n=- нормальное ускорение;

R- радиус кривизны траектории в окрестности точки.

 

1.2.3. Кинематика твердых тел

 

В отличие от кинематики точки в кинематике твердых тел решаются две основные задачи:

- задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;

- определение кинематических характеристик точек тела.

Поступательное движение твердого тела

Поступательным называют движение, при котором всякая прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению (рис.1.22).

Доказана теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения (рис.1.22).

Вывод. Поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем задание и изучение его движения сводится к кинематике точки.

Рис. 1.22 Рис. 1.23

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

 

Вращательным вокруг неподвижной оси называют движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.

Положение тела определяется углом j между неподвижной плоскостью По и плоскостью П₁, связанной с телом (рис.1.23). Единица измерения угла – радиан.

Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. j = j(t) ,

угловая скорость , рад/с; (1.15)

угловое ускорение , рад/с² (1.16)

Скорость и ускорение точки тела определяются по формулам:

 

(1.17)

, (1.18)

, ,

где - тангенциальное ускорение;

- нормальное ускорение.

Вектор скорости точки перпендикулярен радиусу. Нормальное ускорение направлено по радиусу к центру кривизны траектории, тангенциальное ускорение направлено перпендикулярно радиусу.

Плоско - параллельное движение твердого тела

 

Плоско- параллельным называется движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных одной неподвижной плоскости (рис.1.24). Для изучения движения тела достаточно изучить движение одного сечения S этого тела плоскостью, параллельной неподвижной плоскости. Движение сечения S в своей плоскости можно рассматривать как сложное, состоящее из двух элементарных движений: а) поступательного и вращательного; б) вращательного относительно подвижного (мгновенного) центра.