Способы задания движения точки
Задать движение точки - значит задать изменение ее положения по отношению к выбранной системе отсчета. Существует три основных системы отсчета: векторная, координатная, естественная. Соответственно возможны три способа задания движения точки.
В векторной системе положение точки относительно начала отсчета задается радиус-вектором (рис.1.19). Закон движения
Положение точки в системе координат OXYZ задается тремя координатами X,Y,Z (рис.1.20). Закон движения – x = x( t ), y = y( t ), z = z( t ).
Положение точки в естественной системе отсчета задается расстоянием S от начала отсчета до этой точки вдоль траектории (рис.1.21). Закон движения - s = s( t ).
Рис.1.19 Рис. 1.20 Рис.1.21
Определение траектории точки
В векторной системе отсчета траектория описывается выражением
В координатной системе отсчета траектория описывается выражениями z = f (x,y) - в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
В естественной системе отсчета траектория задается.
Определение скорости точки
Мгновенное значение скорости точки равно производной по времени от перемещения точки. Вектор скорости направлен по касательной к траектории.
Скорость в векторной системе отсчета , (1.10)
Скорость в координатной системе ; ; . (1.11)
Скорость в естественной системе отсчета V= (1.12)
Определение ускорения точки
Мгновенное значение ускорения точки равно производной по времени от скорости точки.
Ускорение в векторной системе отсчета , (1.13)
Ускорение в координатной системе a = ,
ax =; ay =; az =
Ускорение в естественной системе отсчета , (1.15)
где at=- тангенциальное ускорение;
an=- нормальное ускорение;
R- радиус кривизны траектории в окрестности точки.
1.2.3. Кинематика твердых тел
В отличие от кинематики точки в кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
- задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
- определение кинематических характеристик точек тела.
Поступательное движение твердого тела
Поступательным называют движение, при котором всякая прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению (рис.1.22).
Доказана теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения (рис.1.22).
Вывод. Поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем задание и изучение его движения сводится к кинематике точки.
Рис. 1.22 Рис. 1.23
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращательным вокруг неподвижной оси называют движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
Положение тела определяется углом j между неподвижной плоскостью По и плоскостью П1, связанной с телом (рис.1.23). Единица измерения угла – радиан.
Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. j = j(t) ,
угловая скорость , рад/с; (1.15)
угловое ускорение , рад/с2 (1.16)
Скорость и ускорение точки тела определяются по формулам:
(1.17)
, (1.18)
, ,
где - тангенциальное ускорение;
- нормальное ускорение.
Вектор скорости точки перпендикулярен радиусу. Нормальное ускорение направлено по радиусу к центру кривизны траектории, тангенциальное ускорение направлено перпендикулярно радиусу.
Плоско - параллельное движение твердого тела
Плоско- параллельным называется движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных одной неподвижной плоскости (рис.1.24). Для изучения движения тела достаточно изучить движение одного сечения S этого тела плоскостью, параллельной неподвижной плоскости. Движение сечения S в своей плоскости можно рассматривать как сложное, состоящее из двух элементарных движений: а) поступательного и вращательного; б) вращательного относительно подвижного (мгновенного) центра.